тест Шура

В математическом анализе тест Шура , названный в честь немецкого математика Иссая Шура , представляет собой оценку операторной нормы интегрального оператора через его ядро ​​Шварца (см. теорему о ядре Шварца ).${\displaystyle L^{2}\to L^{2}}$

Вот одна из версий. ^[1] Пусть — два измеримых пространства (например , ). Пусть — интегральный оператор с неотрицательным ядром Шварца , , :${\displaystyle X,\,Y}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \,Т}$${\displaystyle \,К(х,у)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y}$

${\displaystyle Tf(x)=\int _{Y}K(x,y)f(y)\,dy.}$

Если существуют действительные функции и числа такие, что${\displaystyle \,p(x)>0}$${\displaystyle \,q(y)>0}$${\displaystyle \,\альфа,\бета >0}$

${\displaystyle (1)\qquad \int _{Y}K(x,y)q(y)\,dy\leq \alpha p(x)}$

почти для всех и${\displaystyle \,x}$

${\displaystyle (2)\qquad \int _{X}p(x)K(x,y)\,dx\leq \beta q(y)}$

для почти всех , затем расширяется до непрерывного оператора с операторной нормой${\displaystyle \,y}$${\displaystyle \,Т}$ ${\displaystyle T:L^{2}\to L^{2}}$

${\displaystyle \Vert T\Vert _{L^{2}\to L^{2}}\leq {\sqrt {\alpha \beta }}.}$

Такие функции называются тестовыми функциями Шура.${\displaystyle \,p(x)}$${\displaystyle \,q(y)}$

В оригинальной версии — это матрица и . ^[2]${\displaystyle \,Т}$${\displaystyle \,\альфа =\бета =1}$

Обычно тест Шура используют так: Тогда мы получаем:${\displaystyle \,p(x)=q(y)=1.}$

${\displaystyle \Vert T\Vert _{L^{2}\to L^{2}}^{2}\leq \sup _{x\in X}\int _{Y}|K(x,y)|\,dy\cdot \sup _{y\in Y}\int _{X}|K(x,y)|\,dx.}$

Это неравенство справедливо независимо от того, является ли ядро ​​Шварца неотрицательным или нет.${\displaystyle \,К(х,у)}$

Аналогичное утверждение об операторных нормах известно как неравенство Юнга для интегральных операторов : ^[3]${\displaystyle L^{p}\to L^{q}}$

если

${\displaystyle \sup _{x}{\Big (}\int _{Y}|K(x,y)|^{r}\,dy{\Big )}^{1/r}+\sup _{y}{\Big (}\int _{X}|K(x,y)|^{r}\,dx{\Big )}^{1/r}\leq C,}$

где удовлетворяет , для некоторых , то оператор расширяется до непрерывного оператора , причем${\displaystyle r}$${\displaystyle {\frac {1}{r}}=1-{\Big (}{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}{\Big )}}$${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty }$${\displaystyle Tf(x)=\int _{Y}K(x,y)f(y)\,dy}$${\displaystyle T:L^{p}(Y)\to L^{q}(X)}$${\displaystyle \Vert T\Vert _{L^{p}\to L^{q}}\leq C.}$

Используя неравенство Коши–Шварца и неравенство (1), получаем:

${\displaystyle {\begin{align}|Tf(x)|^{2}=\left|\int _{Y}K(x,y)f(y)\,dy\right|^{2}&\leq \left(\int _{Y}K(x,y)q(y)\,dy\right)\left(\int _{Y}{\frac {K(x,y)f(y)^{2}}{q(y)}}dy\right)\\&\leq \alpha p(x)\int _{Y}{\frac {K(x,y)f(y)^{2}}{q(y)}}\,dy.\end{align}}}$

Интегрируя приведенное выше соотношение в , используя теорему Фубини и применяя неравенство (2), получаем:${\displaystyle x}$

${\displaystyle \Vert Tf\Vert _{L^{2}}^{2}\leq \alpha \int _{Y}\left(\int _{X}p(x)K(x,y)\,dx\right){\frac {f(y)^{2}}{q(y)}}\,dy\leq \alpha \beta \int _{Y}f(y)^{2}dy=\alpha \beta \Vert f\Vert _{L^{2}}^{2}.}$

Отсюда следует, что для любого .${\displaystyle \Vert Tf\Vert _{L^{2}}\leq {\sqrt {\alpha \beta }}\Vert f\Vert _{L^{2}}}$${\displaystyle f\in L^{2}(Y)}$

• Неравенство Харди–Литтлвуда–Соболева