Двойственность Шура–Вейля

Двойственность Шура–Вейля — математическая теорема в теории представлений , которая связывает неприводимые конечномерные представления общих линейных и симметрических групп. Двойственность Шура–Вейля образует архетипическую ситуацию в теории представлений, включающую два вида симметрии , которые определяют друг друга. Она названа в честь двух пионеров теории представлений групп Ли , Иссая Шура , который открыл это явление, и Германа Вейля , который популяризировал его в своих книгах по квантовой механике и классическим группам как способ классификации представлений унитарных и общих линейных групп.

Двойственность Шура–Вейля можно доказать с помощью теоремы о двойном централизаторе . [1]

Формулировка теоремы

Рассмотрим тензорное пространство

С н ⊗ С н ⊗ ⋯ ⊗ С н {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}} с k- факторами.

Симметрическая группа S k над k буквами действует на этом пространстве (слева) путем перестановки множителей,

σ ( в 1 ⊗ в 2 ⊗ ⋯ ⊗ в к ) = в σ − 1 ( 1 ) ⊗ в σ − 1 ( 2 ) ⊗ ⋯ ⊗ в σ − 1 ( к ) . {\displaystyle \sigma (v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=v_ {\sigma ^{-1}(1)}\otimes v_{\sigma ^{- 1}(2)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma ^{-1}(k)}.}

Общая линейная группа GL n обратимых матриц размера n × n действует на него одновременным умножением матриц ,

г ( в 1 ⊗ в 2 ⊗ ⋯ ⊗ в к ) = г в 1 ⊗ г в 2 ⊗ ⋯ ⊗ г в к , г ∈ ГЛ н . {\displaystyle g(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=gv_{1}\otimes gv_{2}\otimes \cdots \otimes gv_{k},\quad г\ин {\text{GL}}_{n}.}

Эти два действия коммутируют , и в своей конкретной форме двойственность Шура– Вейля утверждает, что при совместном действии групп Sk и GL n тензорное пространство распадается в прямую сумму тензорных произведений неприводимых модулей (для этих двух групп), которые фактически определяют друг друга,

С н ⊗ С н ⊗ ⋯ ⊗ С н = ⨁ Д π к Д ⊗ ρ н Д . {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{D}\pi _{k}^{D}\otimes \rho _{n}^{D}.}

Слагаемые индексируются диаграммами Юнга D с k ячейками и не более чем n строками, а представления S k с различными D взаимно неизоморфны, и то же самое верно для представлений GL n . π к Д {\displaystyle \пи _{k}^{D}} ρ н Д {\displaystyle \rho _{n}^{D}}

Абстрактная форма двойственности Шура–Вейля утверждает, что две алгебры операторов на тензорном пространстве, порожденные действиями GL n и S k, являются полными взаимными централизаторами в алгебре эндоморфизмов Э н г С ( С н ⊗ С н ⊗ ⋯ ⊗ С н ) . {\displaystyle \mathrm {Конец} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}).}

Пример

Предположим, что k = 2 и n больше 1. Тогда двойственность Шура–Вейля — это утверждение о том, что пространство два-тензоров распадается на симметричную и антисимметричную части, каждая из которых является неприводимым модулем для GL n :

С н ⊗ С н = С 2 С н ⊕ Λ 2 С н . {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}=S^{2}\mathbb {C} ^{n}\oplus \Lambda ^{2}\mathbb {C} ^{n}.}

Симметрическая группа S 2 состоит из двух элементов и имеет два неприводимых представления: тривиальное представление и знаковое представление. Тривиальное представление S 2 порождает симметричные тензоры, которые инвариантны (т.е. не меняются) при перестановке множителей, а знаковое представление соответствует кососимметричным тензорам, которые меняют знак.

Доказательство

Сначала рассмотрим следующую схему:

  • G — конечная группа ,
  • А = С [ Г ] {\displaystyle A=\mathbb {C} [G]} групповая алгебра G ,​
  • У {\displaystyle U} конечномерный правый A -модуль , и
  • Б = Конец Г ⁡ ( У ) {\displaystyle B=\operatorname {End} _{G}(U)} , который действует на U слева и коммутирует с правым действием G (или A ). Другими словами, является централизатором в кольце эндоморфизмов . B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} End C ⁡ ( U ) {\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbb {C} }(U)}

Доказательство использует две алгебраические леммы.

Лемма 1  —  [2] Если — простой левый A -модуль, то — простой левый B -модуль. W {\displaystyle W} U ⊗ A W {\displaystyle U\otimes _{A}W}

Доказательство : Так как U полупрост по теореме Машке , то существует разложение на простые A -модули. Тогда . Так как A является левым регулярным представлением G , каждый простой G -модуль появляется в A , и мы имеем это (соответственно ноль) тогда и только тогда, когда соответствуют тому же простому множителю A (соответственно в противном случае). Следовательно, мы имеем: Теперь легко видеть, что каждый ненулевой вектор в порождает все пространство как B -модуль и поэтому является простым. (В общем случае ненулевой модуль является простым тогда и только тогда, когда каждый его ненулевой циклический подмодуль совпадает с модулем.) U = ⨁ i U i ⊕ m i {\displaystyle U=\bigoplus _{i}U_{i}^{\oplus m_{i}}} U ⊗ A W = ⨁ i ( U i ⊗ A W ) ⊕ m i {\displaystyle U\otimes _{A}W=\bigoplus _{i}(U_{i}\otimes _{A}W)^{\oplus m_{i}}} U i ⊗ A W = C {\displaystyle U_{i}\otimes _{A}W=\mathbb {C} } U i , W {\displaystyle U_{i},W} U ⊗ A W = ( U i 0 ⊗ A W ) ⊕ m i 0 = C ⊕ m i 0 . {\displaystyle U\otimes _{A}W=(U_{i_{0}}\otimes _{A}W)^{\oplus m_{i_{0}}}=\mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}.} C ⊕ m i 0 {\displaystyle \mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}} U ⊗ A W {\displaystyle U\otimes _{A}W} ◻ {\displaystyle \square }

Лемма 2  —  [3] Когда и G — симметрическая группа , подпространство является B -подмодулем тогда и только тогда, когда оно инвариантно относительно ; другими словами, B -подмодуль — это то же самое, что и -подмодуль. U = V ⊗ d {\displaystyle U=V^{\otimes d}} S d {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{d}} U {\displaystyle U} GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V)} GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V)}

Доказательство : Пусть . . Кроме того, образ W охватывает подпространство симметричных тензоров . Поскольку , образ охватывает . Поскольку плотно в W либо в евклидовой топологии, либо в топологии Зарисского, утверждение следует. W = End ⁡ ( V ) {\displaystyle W=\operatorname {End} (V)} W ↪ End ⁡ ( U ) , w ↦ w d = d ! w ⊗ ⋯ ⊗ w {\displaystyle W\hookrightarrow \operatorname {End} (U),w\mapsto w^{d}=d!w\otimes \cdots \otimes w} Sym d ⁡ ( W ) {\displaystyle \operatorname {Sym} ^{d}(W)} B = Sym d ⁡ ( W ) {\displaystyle B=\operatorname {Sym} ^{d}(W)} W {\displaystyle W} B {\displaystyle B} GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V)} ◻ {\displaystyle \square }

Двойственность Шура–Вейля теперь следует. Мы берем в качестве симметрической группы и d -й степени тензора конечномерного комплексного векторного пространства V . G = S d {\displaystyle G={\mathfrak {S}}_{d}} U = V ⊗ d {\displaystyle U=V^{\otimes d}}

Пусть обозначает неприводимое -представление, соответствующее разбиению и . Тогда по лемме 1 V λ {\displaystyle V^{\lambda }} S d {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{d}} λ {\displaystyle \lambda } m λ = dim ⁡ V λ {\displaystyle m_{\lambda }=\dim V^{\lambda }}

S λ ( V ) := V ⊗ d ⊗ S d V λ {\displaystyle S^{\lambda }(V):=V^{\otimes d}\otimes _{{\mathfrak {S}}_{d}}V^{\lambda }}

неприводим как -модуль. Более того, когда - левое полупростое разложение, имеем: [4] GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V)} A = ⨁ λ ( V λ ) ⊕ m λ {\displaystyle A=\bigoplus _{\lambda }(V^{\lambda })^{\oplus m_{\lambda }}}

V ⊗ d = V ⊗ d ⊗ A A = ⨁ λ ( V ⊗ d ⊗ S d V λ ) ⊕ m λ {\displaystyle V^{\otimes d}=V^{\otimes d}\otimes _{A}A=\bigoplus _{\lambda }(V^{\otimes d}\otimes _{{\mathfrak {S}}_{d}}V^{\lambda })^{\oplus m_{\lambda }}} ,

что является полупростым разложением как -модуля. GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V)}

Обобщения

Алгебра Брауэра играет роль симметрической группы в обобщении двойственности Шура-Вейля на ортогональные и симплектические группы.

В более общем смысле, алгебра разбиения и ее подалгебры приводят к ряду обобщений двойственности Шура-Вейля.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Этингоф, Павел; Гольберг, Олег; Хензель, Себастьян; Лю, Тянькай; Швенднер, Алекс; Вайнтроб, Дмитрий; Юдовина, Елена (2011), Введение в теорию представлений. С историческими интермедиями Славы Геровича , Zbl  1242.20001, Теорема 5.18.4
  2. ^ Фултон и Харрис 1991, Лемма 6.22.
  3. ^ Фултон и Харрис 1991, Лемма 6.23.
  4. ^ Фултон и Харрис 1991, Теорема 6.3. (2), (4)

Ссылки

  • Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
  • Роджер Хау , Перспективы теории инвариантов: дуальность Шура, действия без множественности и далее . Лекции Шура (1992) (Тель-Авив), 1–182, Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Рамат-Ган, 1995. MR 1321638
  • Иссай Шур , Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen . Диссертация. Берлин. 76 С (1901) ЖМФ 32.0165.04
  • Иссаи Шур , Über die Rastellungen Darstellungen der allgemeinen Linear Gruppe . Sitzungsberichte Akad. Берлин 1927, 58–75 (1927) JMF 53.0108.05
  • Сенгупта, Амбар Н. (2012). "Глава 10: Двойственность характера". Представление конечных групп, полупростое введение. Springer. ISBN 978-1-4614-1232-8. OCLC  875741967.
  • Герман Вейль , Классические группы. Их инварианты и представления . Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, 1939. xii+302 стр. MR 0000255
  • Как конструктивно/комбинаторно доказать двойственность Шура-Вейля?
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Schur–Weyl_duality&oldid=1248677336"