Формула Шютте–Несбитта

В математике формула Шютте –Несбитта является обобщением принципа включения–исключения . Она названа в честь Дональда Р. Шютте и Сесила Дж. Несбитта .

Вероятностная версия формулы Шютте–Несбитта имеет практическое применение в актуарной науке , где она используется для расчета чистой единовременной премии по пожизненным рентам и страхованию жизни на основе общего симметричного статуса.

Рассмотрим множество Ω и подмножества A ₁ , ..., A _m . Пусть

${\displaystyle N(\omega )=\sum _{n=1}^{m}1_{A_{n}}(\omega ),\qquad \omega \in \Omega ,}$

( 1 )

обозначим число подмножеств, к которым принадлежит ω ∈ Ω , где мы используем индикаторные функции множеств A ₁ , ..., A _m . Кроме того, для каждого k ∈ {0, 1, ..., m } пусть

${\displaystyle N_{k}(\omega )=\sum _{\scriptstyle J\subset \{1,\ldots ,m\} \atop \scriptstyle |J|=k}1_{\cap _{j\in J}A_{j}}(\omega ),\qquad \omega \in \Omega ,}$

( 2 )

обозначим число пересечений ровно k множеств из A ₁ , ..., A _m , к которым принадлежит ω , где пересечение по пустому набору индексов определяется как Ω , следовательно, N ₀ = 1 _Ω . Пусть V обозначает векторное пространство над полем R , таким как действительные или комплексные числа (или, в более общем смысле, модуль над кольцом R с мультипликативным тождеством ). Тогда для каждого выбора c ₀ , ..., c _m ∈ V ,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m}1_{\{N=n\}}c_{n}=\sum _{k=0}^{m}N_{k}\sum _{l=0}^{k}(-1)^{k-l}{\binom {k}{l}}c_{l},}$

( 3 )

где 1 _{{ N = n }} обозначает индикаторную функцию множества всех ω ∈ Ω с N ( ω ) = n , а — биномиальный коэффициент . Равенство ( 3 ) говорит о том, что две V -значные функции, определенные на Ω , одинаковы.${\displaystyle \textstyle {\binom {k}{l}}}$

Докажем, что ( 3 ) выполняется поточечно. Возьмем ω ∈ Ω и определим n = N ( ω ) . Тогда левая часть ( 3 ) равна c _n . Пусть I обозначает множество всех тех индексов i ∈ {1, ..., m }, таких что ω ∈ A _i , следовательно, I содержит ровно n индексов. Если J ⊂ {1, ..., m } с k элементами, то ω принадлежит пересечению ∩ _{j ∈ J} A _j тогда и только тогда, когда J является подмножеством I . Согласно комбинаторной интерпретации биномиального коэффициента , существует N _k = таких подмножеств (биномиальный коэффициент равен нулю при k > n ). Поэтому правая часть ( 3 ), вычисленная при ω , равна${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n}{k}}\sum _{l=0}^{k}(-1)^{k-l}{\binom {k}{l}}c_{l}=\sum _{l=0}^{m}\underbrace {\sum _{k=l}^{n}(-1)^{k-l}{\binom {n}{k}}{\binom {k}{l}}} _{=:\,(*)}c_{l},}$

где мы использовали, что первый биномиальный коэффициент равен нулю для k > n . Обратите внимание, что сумма (*) пуста и поэтому определяется как ноль для n < l . Используя факториальную формулу для биномиальных коэффициентов, следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}(*)&=\sum _{k=l}^{n}(-1)^{k-l}{\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\,{\frac {k!}{l!\,(k-l)!}}\\&=\underbrace {\frac {n!}{l!\,(n-l)!}} _{={\binom {n}{l}}}\underbrace {\sum _{k=l}^{n}(-1)^{k-l}{\frac {(n-l)!}{(n-k)!\,(k-l)!}}} _{=:\,(**)}\\\end{aligned}}}$

Переписывая (**) с индексом суммирования j = k − l и используя биномиальную формулу для третьего равенства, получаем, что

${\displaystyle {\begin{aligned}(**)&=\sum _{j=0}^{n-l}(-1)^{j}{\frac {(n-l)!}{(n-l-j)!\,j!}}\\&=\sum _{j=0}^{n-l}(-1)^{j}{\binom {n-l}{j}}=(1-1)^{n-l}=\delta _{ln},\end{aligned}}}$

что является дельтой Кронекера . Подставляя этот результат в приведенную выше формулу и отмечая, что n выбирает l равно 1 для l = n , следует, что правая часть ( 3 ), оцененная при ω, также сводится к c _n .

В качестве частного случая возьмем для V кольцо многочленов R [ x ] с неопределенным x . Тогда ( 3 ) можно переписать более компактно как

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m}1_{\{N=n\}}x^{n}=\sum _{k=0}^{m}N_{k}(x-1)^{k}.}$

( 4 )

Это тождество для двух полиномов , коэффициенты которых зависят от ω , что подразумевается в обозначениях.

Доказательство ( 4 ) с использованием ( 3 ): Подстановка c _n = x ⁿ для n ∈ {0, ..., m } в ( 3 ) и использование биномиальной формулы показывает, что

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m}1_{\{N=n\}}x^{n}=\sum _{k=0}^{m}N_{k}\underbrace {\sum _{l=0}^{k}{\binom {k}{l}}(-1)^{k-l}x^{l}} _{=\,(x-1)^{k}},}$

что доказывает ( 4 ).

Рассмотрим линейный оператор сдвига E и линейный оператор разности Δ , которые мы здесь определяем на пространстве последовательностей V следующим образом :

${\displaystyle {\begin{aligned}E:V^{\mathbb {N} _{0}}&\to V^{\mathbb {N} _{0}},\\E(c_{0},c_{1},c_{2},c_{3},\ldots )&\mapsto (c_{1},c_{2},c_{3},\ldots ),\\\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta :V^{\mathbb {N} _{0}}&\to V^{\mathbb {N} _{0}},\\\Delta (c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}\ldots )&\mapsto (c_{1}-c_{0},c_{2}-c_{1},c_{3}-c_{2},\ldots ).\\\end{aligned}}}$

Подстановка x = E в ( 4 ) показывает, что

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m}1_{\{N=n\}}E^{n}=\sum _{k=0}^{m}N_{k}\Delta ^{k},}$

( 5 )

где мы использовали, что Δ = E – I , где I обозначает оператор тождества . Обратите внимание, что E ⁰ и Δ ⁰ равны оператору тождества  I в пространстве последовательностей, E ^k и Δ ^k обозначают k -кратную композицию .

Прямое доказательство ( 5 ) операторным методом

Чтобы доказать ( 5 ), мы сначала хотим проверить уравнение

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m}1_{\{N=n\}}E^{n}=\prod _{j=1}^{m}(1_{A_{j}^{\mathrm {c} }}I+1_{A_{j}}E)}$

( ✳ )

включающее индикаторные функции множеств A ₁ , ..., A _m и их дополнений относительно Ω . Предположим, что ω из Ω принадлежит ровно k множествам из A ₁ , ..., A _m , где k ∈ {0, ..., m } , для простоты записи скажем, что ω принадлежит только A ₁ , ..., A _k . Тогда левая часть ( ✳ ) равна E ^k . В правой части ( ✳ ) первые k множителей равны E , остальные равны I , их произведение также равно E ^k , следовательно, формула ( ✳ ) верна.

Обратите внимание, что

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{A_{j}^{\mathrm {c} }}I+1_{A_{j}}E&=I-1_{A_{j}}I+1_{A_{j}}E\\&=I+1_{A_{j}}(E-I)=I+1_{A_{j}}\Delta ,\qquad j\in \{0,\ldots ,m\}.\end{aligned}}}$

Подставляя этот результат в уравнение ( ✳ ) и расширяя произведение, получаем

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m}1_{\{N=n\}}E^{n}=\sum _{k=0}^{m}\sum _{\scriptstyle J\subset \{1,\ldots ,m\} \atop \scriptstyle |J|=k}1_{\cap _{j\in J}A_{j}}\Delta ^{k},}$

поскольку произведение индикаторных функций является индикаторной функцией пересечения. Используя определение ( 2 ), следует результат ( 5 ).

Пусть (Δ ^k c ) ₀ обозначает 0-й компонент k -кратной композиции Δ ^k , примененной к c = ( c ₀ , c ₁ , ..., c _m , ...) , где Δ ⁰ обозначает тождество. Тогда ( 3 ) можно переписать более компактным образом как

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m}1_{\{N=n\}}c_{n}=\sum _{k=0}^{m}N_{k}(\Delta ^{k}c)_{0}.}$

( 6 )

Рассмотрим произвольные события A ₁ , ..., A _m в вероятностном пространстве (Ω, F , )${\displaystyle \mathbb {P} }$ и пусть E обозначает оператор ожидания . Тогда N из ( 1 ) — случайное число этих событий, которые происходят одновременно. Используя N _k из ( 2 ), определим

${\displaystyle S_{k}=\mathbb {E} [N_{k}]=\sum _{\scriptstyle J\subset \{1,\ldots ,m\} \atop \scriptstyle |J|=k}\mathbb {P} {\biggl (}\bigcap _{j\in J}A_{j}{\biggr )},\qquad k\in \{0,\ldots ,m\},}$

( 7 )

где пересечение по пустому индексному множеству снова определяется как Ω , следовательно, S ₀ = 1. Если кольцо R также является алгеброй над действительными или комплексными числами, то, взяв математическое ожидание коэффициентов в ( 4 ) и используя обозначения из ( 7 ),

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m}\mathbb {P} (N=n)x^{n}=\sum _{k=0}^{m}S_{k}(x-1)^{k}}$

( 4' )

в R [ x ] . Если R — поле действительных чисел , то это функция генерации вероятности распределения вероятности N .

Аналогично, ( 5 ) и ( 6 ) дают

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m}\mathbb {P} (N=n)E^{n}=\sum _{k=0}^{m}S_{k}\Delta ^{k}}$

( 5' )

и для каждой последовательности c = ( c ₀ , c ₁ , c ₂ , c ₃ , ..., c _m , ...) ,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{m}\mathbb {P} (N=n)\,c_{n}=\sum _{k=0}^{m}S_{k}\,(\Delta ^{k}c)_{0}.}$

( 6' )

Величина в левой части ( 6' ) представляет собой ожидаемое значение  c _N .

1. В актуарной науке название формулы Шютте–Несбитта относится к уравнению ( 6' ), где V обозначает множество действительных чисел.
2. Левая часть уравнения ( 5' ) представляет собой выпуклую комбинацию степеней оператора сдвига E , ее можно рассматривать как ожидаемое значение случайного оператора E ^N . Соответственно, левая часть уравнения ( 6' ) представляет собой ожидаемое значение случайной компоненты c _N . Обратите внимание, что оба имеют дискретное распределение вероятностей с конечным носителем , поэтому ожидания являются просто четко определенными конечными суммами.
3. Вероятностную версию принципа включения-исключения можно вывести из уравнения ( 6' ), выбрав последовательность c = (0, 1, 1, ...) : левая часть сводится к вероятности события { N ≥ 1} , которое является объединением A ₁ , ..., A _m , а правая часть равна S ₁ – S ₂ + S ₃ – ... – (–1) ^m S _m , поскольку (Δ ⁰ c ) ₀ = 0 и (Δ ^k c ) ₀ = –(–1) ^k для k ∈ {1, ..., m } .
4. Уравнения ( 5 ), ( 5' ), ( 6 ) и ( 6' ) также верны, когда оператор сдвига и оператор разности рассматриваются в подпространстве, подобном  пространству ℓ  ^p .
5. При желании формулы ( 5 ), ( 5' ), ( 6 ) и ( 6' ) можно рассматривать в конечных измерениях, поскольку имеют значение только первые m + 1 компоненты последовательностей. Следовательно, представим линейный оператор сдвига E и линейный оператор разности Δ как отображения ( m + 1) -мерного евклидова пространства в себя, заданные матрицами ( m + 1) × ( m + 1 )

${\displaystyle E={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&0&1\\0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}},\qquad \Delta ={\begin{pmatrix}-1&1&0&\cdots &0\\0&-1&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&-1&1\\0&\cdots &0&0&-1\end{pmatrix}},}$

и пусть I обозначает ( m + 1) -мерную единичную матрицу . Тогда ( 6 ) и ( 6' ) справедливы для любого вектора c = ( c ₀ , c ₁ , ..., c _m ) ^T в ( m + 1) -мерном евклидовом пространстве, где показатель T в определении c обозначает транспонирование .

1. Уравнения ( 5 ) и ( 5' ) справедливы для произвольного линейного оператора E до тех пор, пока Δ представляет собой разность E и тождественного оператора I.
2. Вероятностные версии ( 4' ), ( 5' ) и ( 6' ) можно обобщить на любое конечномерное пространство .

Для хрестоматийных презентаций вероятностной формулы Шютте–Несбитта ( 6' ) и ее приложений к актуарной науке см. Gerber (1997). Глава 8, или Bowers et al. (1997), Глава 18 и Приложение, стр. 577–578.

Для независимых событий формула ( 6' ) появилась в обсуждении статьи Роберта П. Уайта и TNE Гревилла Дональдом Р. Шютте и Сесилом Дж. Несбиттом , см. Schuette & Nesbitt (1959). В двухстраничной заметке Gerber (1979) Ганс У. Гербер назвал ее формулой Шютте–Несбитта и обобщил ее на произвольные события. Кристиан Бухта, см. Buchta (1994), заметил комбинаторную природу формулы и опубликовал элементарное комбинаторное доказательство ( 3 ).

Сесил Дж. Несбитт, доктор философии , FSA , MAAA, получил математическое образование в Университете Торонто и Институте перспективных исследований в Принстоне . Он преподавал актуарную математику в Мичиганском университете с 1938 по 1980 год. Он служил в Обществе актуариев с 1985 по 1987 год в качестве вице-президента по исследованиям и разработкам. Профессор Несбитт умер в 2001 году. (Краткая биография взята из Bowers et al. (1997), стр. xv.)

Дональд Ричард Шютт был аспирантом К. Несбитта, позже он стал профессором в Университете Висконсин-Мэдисон .

Вероятностная версия формулы Шютте–Несбитта ( 6' ) обобщает гораздо более старые формулы Варинга , которые выражают вероятность событий { N = n } и { N ≥ n } через S ₁ , S ₂ , ..., S _m . Точнее, с обозначением биномиального коэффициента ,${\displaystyle \textstyle {\binom {k}{n}}}$

${\displaystyle \mathbb {P} (N=n)=\sum _{k=n}^{m}(-1)^{k-n}{\binom {k}{n}}S_{k},\qquad n\in \{0,\ldots ,m\},}$

( 8 )

и

${\displaystyle \mathbb {P} (N\geq n)=\sum _{k=n}^{m}(-1)^{k-n}{\binom {k-1}{n-1}}S_{k},\qquad n\in \{1,\ldots ,m\},}$

( 9 )

см. Феллер (1968), разделы IV.3 и IV.5 соответственно.

Чтобы увидеть, что эти формулы являются частными случаями вероятностной версии формулы Шютте–Несбитта, отметим, что по биномиальной теореме

${\displaystyle \Delta ^{k}=(E-I)^{k}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{k-j}E^{j},\qquad k\in \mathbb {N} _{0}.}$

Применяя это операторное тождество к последовательности c = (0, ..., 0, 1, 0, 0, ...) с n ведущими нулями и отмечая, что ( E  ^j c ) ₀ = 1 , если j = n , и ( E  ^j c ) ₀ = 0 в противном случае, формула ( 8 ) для { N = n } следует из ( 6' ).

Применяя тождество к c = (0, ..., 0, 1, 1, 1, ...) с n ведущими нулями и отмечая, что ( E  ^j c ) ₀ = 1, если j ≥ n , и ( E  ^j c ) ₀ = 0 в противном случае, уравнение ( 6' ) подразумевает, что

${\displaystyle \mathbb {P} (N\geq n)=\sum _{k=n}^{m}S_{k}\sum _{j=n}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{k-j}.}$

Разлагая (1 – 1) ^k с помощью биномиальной теоремы и используя уравнение (11) формул, содержащих биномиальные коэффициенты , получаем

${\displaystyle \sum _{j=n}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{k-j}=-\sum _{j=0}^{n-1}{\binom {k}{j}}(-1)^{k-j}=(-1)^{k-n}{\binom {k-1}{n-1}}.}$

Следовательно, имеем формулу ( 9 ) для { N ≥ n } .

Задача: Предположим, что есть m человек в возрасте x ₁ , ..., x _m с оставшимися случайными (но независимыми) сроками жизни T ₁ , ..., T _m . Предположим, что группа подписывает договор страхования жизни, который выплачивает им через t лет сумму c _{n ,} если ровно n человек из m все еще живы через t лет. Какова ожидаемая выплата по этому договору страхования через t лет?

Решение: Пусть A _j обозначает событие, что человек j проживет t лет, что означает, что A _j = { T _j > t } . В актуарной нотации вероятность этого события обозначается как _t p _{x j} и может быть взята из таблицы смертности . Используйте независимость для вычисления вероятности пересечений. Рассчитайте S ₁ , ..., S _m и используйте вероятностную версию формулы Шютте–Несбитта ( 6' ) для вычисления ожидаемого значения c _N .

Пусть σ будет случайной перестановкой множества {1, ..., m } и пусть A _j обозначает событие, что j является неподвижной точкой σ , что означает, что A _j = { σ ( j ) = j } . Когда числа в J , которое является подмножеством {1, ..., m } , являются неподвижными точками, то существует ( m – | J |)! способов переставить оставшиеся m – | J | чисел, следовательно

${\displaystyle \mathbb {P} {\biggl (}\bigcap _{j\in J}A_{j}{\biggr )}={\frac {(m-|J|)!}{m!}}.}$

Согласно комбинаторной интерпретации биномиального коэффициента , существуют различные варианты выбора подмножества J из {1, ..., m } с k элементами, поэтому ( 7 ) упрощается до${\displaystyle \textstyle {\binom {m}{k}}}$

${\displaystyle S_{k}={\binom {m}{k}}{\frac {(m-k)!}{m!}}={\frac {1}{k!}}.}$

Таким образом, используя ( 4' ), функция генерации вероятности числа N неподвижных точек определяется как

${\displaystyle \mathbb {E} [x^{N}]=\sum _{k=0}^{m}{\frac {(x-1)^{k}}{k!}},\qquad x\in \mathbb {R} .}$

Это частичная сумма бесконечного ряда, дающего экспоненциальную функцию при x – 1 , которая, в свою очередь, является функцией генерации вероятности распределения Пуассона с параметром 1. Следовательно, когда m стремится к бесконечности , распределение N сходится к распределению Пуассона с параметром 1 .

• Номера встреч

• Боуэрс, Ньютон Л.; Гербер, Ганс У.; Хикман, Джеймс К.; Джонс, Дональд А.; Несбитт, Сесил Дж. (1997), Актуарная математика (2-е изд.), Общество актуариев, ISBN 0-938959-46-8, ЗБЛ  0634.62107
• Бухта, Кристиан (1994), «Элементарное доказательство формулы Шютта – Несбитта», Mitteilungen der Schweiz. Vereinigung der Versicherungsmathematiker , 1994 (2): 219–220, Zbl  0825.62745
• Феллер, Уильям (1968) [1950], Введение в теорию вероятностей и ее приложения , Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics, т. I (переработанное издание, 3-е изд.), Нью-Йорк, Лондон, Сидней: John Wiley and Sons, ISBN 0-471-25708-7, ЗБЛ  0155.23101
• Гербер, Ганс У. (1979), «Доказательство формулы Шютте–Несбитта для зависимых событий» (PDF) , Actuarial Research Clearing House , 1 : 9–10
• Гербер, Ханс У. (1997) [1986], Математика страхования жизни (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-62242-X, ЗБЛ  0869.62072
• Шуэтт, Дональд Р.; Несбитт, Сесил Дж. (1959), «Обсуждение предыдущей статьи Роберта П. Уайта и Т. Н. Э. Гревилла» (PDF) , Труды Общества актуариев , 11 (29AB): 97–99

• Сесил Дж. Несбитт в проекте «Генеалогия математики»
• Дональд Р. Шуэтт в проекте «Генеалогия математики»