Скалярная электродинамика

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  "Scalar electrodynamics" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2007 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В теоретической физике скалярная электродинамика — это теория калибровочного поля U(1) , связанного с заряженным скалярным полем со спином 0 , которое занимает место фермионов Дирака в «обычной» квантовой электродинамике . Скалярное поле заряжено, и при соответствующем потенциале оно способно нарушать калибровочную симметрию посредством абелева механизма Хиггса .

Модель состоит из комплексного скалярного поля, минимально связанного с калибровочным полем .${\displaystyle \фи (x)}$${\displaystyle A_{\mu }(x)}$

В этой статье обсуждается теория плоского пространства-времени ( пространство Минковского ), поэтому эти поля можно рассматривать (наивно) как функции , и . Теорию также можно определить для искривленного пространства-времени, но эти определения следует заменить более тонкими. Калибровочное поле также известно как главная связь , а именно главная связь.${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle A_{\mu }:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow (\mathbb {R} ^{1,3})^{*}}$${\displaystyle {\text{U}}(1)}$

Динамика задается плотностью Лагранжа

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\mathcal {L}}&=&(D_{\mu }\phi )^{*}D^{\mu }\phi -V(\phi ^{ *}\phi )-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\\&=&(\partial _{\mu }\phi )^{* }(\partial ^{\mu }\phi )-ie((\partial _{\mu }\phi )^{*}\phi -\phi ^{*}(\partial _{\mu }\phi ) )A^{\mu }+e^{2}A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi -V(\phi ^{*}\phi )-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\end{array}}}$

где

• ${\displaystyle F_{\mu \nu } = (\partial _ {\mu }A_ {\nu }-\partial _ {\nu }A_ {\mu })}$это напряженность электромагнитного поля или кривизна соединения.
• ${\displaystyle D_{\mu }\phi =(\partial _ {\mu }\phi -ieA_ {\mu }\phi)}$является ковариантной производной поля${\displaystyle \фи}$
• ${\displaystyle е=-|е|<0}$это электрический заряд
• ${\displaystyle V(\phi ^{*}\phi)}$— потенциал комплексного скалярного поля.

Эта модель инвариантна относительно калибровочных преобразований, параметризованных с помощью . Это вещественная функция${\displaystyle \лямбда (x)}$${\displaystyle \lambda :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {R} .}$

${\displaystyle \phi '(x)=e^{ie\lambda (x)}\phi (x)\quad {\textrm {and}}\quad A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }\lambda (x).}$

С геометрической точки зрения — это бесконечно малое изменение тривиализации, которое порождает конечное изменение тривиализации. В физике принято работать в условиях неявного выбора тривиализации, поэтому калибровочное преобразование действительно можно рассматривать как изменение тривиализации.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle e^{ie\lambda }:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\text{U}}(1).}$

Если потенциал таков, что его минимум достигается при ненулевом значении , эта модель демонстрирует механизм Хиггса . Это можно увидеть, изучая флуктуации относительно конфигурации с наименьшей энергией: можно увидеть, что калибровочное поле ведет себя как массивное поле с массой, пропорциональной минимальному значению . Как показали в 1973 году Нильсен и Олесен, эта модель в измерениях допускает независимые от времени конфигурации конечной энергии, соответствующие вихрям, переносящим магнитный поток. Магнитный поток, переносимый этими вихрями, квантуется (в единицах ) и проявляется как топологический заряд, связанный с топологическим током${\displaystyle |\phi |}$${\displaystyle e}$${\displaystyle |\phi |}$${\displaystyle 2+1}$${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{e}}}$

${\displaystyle J_{top}^{\mu }=\epsilon ^{\mu \nu \rho }F_{\nu \rho }\ .}$

Эти вихри похожи на вихри, возникающие в сверхпроводниках II типа. Эту аналогию использовали Нильсен и Олесен при получении своих решений.

Простой выбор потенциала для демонстрации механизма Хиггса:

${\displaystyle V(|\phi |^{2})=\lambda (|\phi |^{2}-\Phi ^{2})^{2}.}$

Потенциал минимизируется при , который выбирается больше нуля. Это создает круг минимумов со значениями , для действительного числа.${\displaystyle |\phi |=\Phi }$${\displaystyle \Phi e^{i\theta }}$${\displaystyle \theta }$

Эту теорию можно обобщить из теории с калибровочной симметрией, содержащей скалярное поле со значениями в , связанное с калибровочным полем , в теорию с калибровочной симметрией относительно калибровочной группы , группы Ли .${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle G}$

Скалярное поле оценивается в пространстве представления калибровочной группы , что делает его вектором ; метка «скалярного» поля относится только к преобразованию под действием группы Лоренца , поэтому его по-прежнему называют скалярным полем в смысле скаляра Лоренца . Калибровочное поле представляет собой -значную 1-форму, где — алгебра Ли группы G.${\displaystyle \phi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• HB Nielsen и P. Olesen (1973). "Модели вихревых линий для двойных струн". Nuclear Physics B. 61 : 45–61. Bibcode :1973NuPhB..61...45N. doi :10.1016/0550-3213(73)90350-7.

• Пескин, М. и Шредер, Д.; Введение в квантовую теорию поля (Westview Press, 1995) ISBN 0-201-50397-2