Теория сэндвича

Часть серии статей о
Механика сплошной среды
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi {dx}}}$ Законы диффузии Фика
Законы Консервации Масса Импульс Энергия Неравенства Клаузиус–Дюгем (энтропия)
Механика твёрдого тела Деформация Эластичность линейный Пластичность закон Гука Стресс Напряжение Конечная деформация Бесконечно малая деформация Совместимость Изгиб Контактная механика фрикционный Теория разрушения материалов Механика разрушения
Механика жидкости Жидкости Статика  · Динамика Принцип Архимеда  · Принцип Бернулли Уравнения Навье–Стокса Уравнение Пуазейля  · Закон Паскаля Вязкость ( Ньютоновский  · неньютоновский ) Плавучесть  · Смешивание  · Давление Жидкости Адгезия Капиллярное действие Хроматография Когезия (химия) Поверхностное натяжение Газы Атмосфера Закон Бойля Закон Шарля Комбинированный газовый закон Закон Фика Закон Гей-Люссака Закон Грэма плазма
Реология Вязкоупругость Реометрия Реометр Умные жидкости Электрореологический Магнитореологический Ферромагнитные жидкости
Ученые Бернулли Бойл Коши Чарльз Эйлер Фик Гей-Люссак Грэм Гук Ньютон Навье Нолл Паскаль Стокса Трусделл
в т е

Теория сэндвичей ^{[1] [2]} описывает поведение балки , пластины или оболочки , состоящей из трех слоев — двух лицевых панелей и одного сердечника. Наиболее часто используемая теория сэндвичей является линейной и является расширением теории балок первого порядка . Линейная теория сэндвичей важна для проектирования и анализа сэндвич-панелей , которые используются в строительстве зданий, транспортных средств, самолетов и холодильной технике.

Некоторые преимущества сэндвич-конструкций:

• Сэндвич-сечения являются композитными . Они обычно состоят из сердцевины с низкой или средней жесткостью , которая соединена с двумя жесткими внешними лицевыми панелями. Композит имеет значительно более высокое отношение жесткости на сдвиг к весу, чем эквивалентная балка, изготовленная только из материала сердцевины или материала лицевой панели. Композит также имеет высокое отношение прочности на разрыв к весу.
• Высокая жесткость лицевого слоя обеспечивает высокое отношение жесткости на изгиб к весу композита.

Поведение балки с поперечным сечением типа «сэндвич» под нагрузкой отличается от поведения балки с постоянным упругим поперечным сечением. Если радиус кривизны при изгибе велик по сравнению с толщиной балки типа «сэндвич», а деформации в материалах компонентов малы, деформацию композитной балки типа «сэндвич» можно разделить на две части

• деформации, вызванные изгибающими моментами или деформациями изгиба, и
• деформации, вызванные поперечными силами, также называемые деформацией сдвига.

Теории сэндвич-балок, пластин и оболочек обычно предполагают, что опорное напряженное состояние — это состояние нулевого напряжения. Однако во время отверждения разница температур между лицевыми панелями сохраняется из-за термического разделения материалом сердцевины. Эта разница температур в сочетании с различным линейным расширением лицевых панелей может привести к изгибу сэндвич-балки в направлении более теплой лицевой панели. Если изгиб ограничен в процессе производства, в компонентах сэндвич-композита могут возникнуть остаточные напряжения . Наложение опорного напряженного состояния на решения, предоставляемые теорией сэндвичей, возможно, когда задача линейна. Однако, когда ожидаются большие упругие деформации и вращения, начальное напряженное состояние должно быть включено непосредственно в теорию сэндвичей.

В инженерной теории сэндвич-балок ^[2] предполагается, что осевая деформация изменяется линейно по поперечному сечению балки, как в теории Эйлера-Бернулли , т. е.

${\displaystyle \varepsilon _ {xx}(x,z)=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Таким образом, осевое напряжение в сэндвич-балке определяется по формуле

${\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)=-z~E(z)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}} }}$

где - модуль Юнга , который является функцией расположения вдоль толщины балки. Изгибающий момент в балке тогда определяется как${\displaystyle E(z)}$

${\displaystyle M_{x}(x)=\int \int z~\sigma _{xx}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y=-\left(\int \int z^{2}E(z)~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=:-D~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Величина называется изгибной жесткостью сэндвич-балки. Сдвиговая сила определяется как${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Q_{x}}$

${\displaystyle Q_{x}={\frac {\mathrm {d} M_{x}}{\mathrm {d} x}}~.}$

Используя эти соотношения, можно показать, что напряжения в сэндвич-балке с сердечником толщиной и модулем и двумя обшивками толщиной и модулем каждая определяются выражением${\displaystyle 2ч}$${\displaystyle E^{c}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E^{f}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {f} }M_{x}}{D}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {zE^{\mathrm {c} }M_{x}}{D}}\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&={\cfrac {Q_{x}E^{\mathrm {f} }}{2D}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&={\cfrac {Q_{x}}{2D}}\left[E^{\mathrm {c} }\left(h^{2}-z^{2}\right)+E^{\mathrm {f} }f(f+2h)\right]\end{aligned}}}$

Вывод напряжений в инженерных многослойных балках

С ${\displaystyle {\cfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}=-{\cfrac {M_{x}(x)}{D}}}$ мы можем записать осевое напряжение как ${\displaystyle \sigma _{xx}(x,z)={\cfrac {z~E(z)~M_{x}(x)}{D}}}$ Уравнение равновесия для двумерного твердого тела имеет вид ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial z}}=0}$ где - касательное напряжение . Следовательно,${\displaystyle \tau _{xz}}$ ${\displaystyle \tau _{xz}(x,z)=\int {\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}~\mathrm {d} z+C(x)=\int {\cfrac {z~E(z)}{D}}~{\frac {\mathrm {d} M_{x}}{\mathrm {d} x}}~\mathrm {d} z+C(x)}$ где - константа интегрирования. Следовательно,${\displaystyle C(x)}$ ${\displaystyle \tau _{xz}(x,z)={\cfrac {Q_{x}}{D}}\int z~E(z)~\mathrm {d} z+C(x)}$ Предположим, что к верхней поверхности сэндвич-балки не приложены сдвигающие усилия. Касательное напряжение в верхней обшивке определяется по формуле ${\displaystyle \tau _{xz}^{\mathrm {face} }(x,z)={\cfrac {Q_{x}E^{f}}{D}}\int _{z}^{h+f}z~\mathrm {d} z+C(x)={\cfrac {Q_{x}E^{f}}{2D}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]+C(x)}$ При , подразумевается, что . Тогда касательное напряжение в верхней части ядра, , определяется выражением${\displaystyle z=h+f}$${\displaystyle \tau _{xz}(x,h+f)=0}$${\displaystyle C(x)=0}$${\displaystyle z=h}$ ${\displaystyle \tau _{xz}(x,h)={\cfrac {Q_{x}E^{f}f(f+2h)}{2D}}}$ Аналогично, касательное напряжение в ядре можно рассчитать как ${\displaystyle \tau _{xz}^{\mathrm {core} }(x,z)={\cfrac {Q_{x}E^{c}}{D}}\int _{z}^{h}z~\mathrm {d} z+C(x)={\cfrac {Q_{x}E^{c}}{2D}}\left(h^{2}-z^{2}\right)+C(x)}$ Константа интегрирования определяется из непрерывности касательного напряжения на границе сердечника и лицевой поверхности. Таким образом,${\displaystyle C(x)}$ ${\displaystyle C(x)={\cfrac {Q_{x}E^{f}f(f+2h)}{2D}}}$ и ${\displaystyle \tau _{xz}^{\mathrm {core} }(x,z)={\cfrac {Q_{x}}{2D}}\left[E^{c}\left(h^{2}-z^{2}\right)+E^{f}f(f+2h)\right]}$

Для сэндвич-балки с идентичными лицевыми панелями и единичной шириной значение равно ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=E^{f}\int _{w}\int _{-h-f}^{-h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^{c}\int _{w}\int _{-h}^{h}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y+E^{f}\int _{w}\int _{h}^{h+f}z^{2}~\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y\\&={\frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+{\frac {2}{3}}E^{c}h^{3}+2E^{f}fh(f+h)~.\end{aligned}}}$

Если , то можно аппроксимировать как${\displaystyle E^{f}\gg E^{c}}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle D\approx {\frac {2}{3}}E^{f}f^{3}+2E^{f}fh(f+h)=2fE^{f}\left({\frac {1}{3}}f^{2}+h(f+h)\right)}$

и напряжения в сэндвич-балке можно приблизительно рассчитать как

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{{\frac {2}{3}}f^{3}+2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{{\frac {4}{3}}f^{3}+4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{{\frac {2}{3}}f^{2}+h(f+h)}}\end{aligned}}}$

Если, кроме того, , то${\displaystyle f\ll 2h}$

${\displaystyle D\approx 2E^{f}fh(f+h)}$

и приблизительные напряжения в балке равны

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {zM_{x}}{2fh(f+h)}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{4fh(f+h)}}\left[(h+f)^{2}-z^{2}\right]~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}(f+2h)}{4h(f+h)}}\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}}$

Если предположить, что лицевые панели достаточно тонкие, чтобы напряжения можно было считать постоянными по всей толщине, то мы имеем приближение

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {f} }&\approx \pm {\cfrac {M_{x}}{2fh}}~;~~&\sigma _{xx}^{\mathrm {c} }&\approx 0\\\tau _{xz}^{\mathrm {f} }&\approx 0~;~~&\tau _{xz}^{\mathrm {c} }&\approx {\cfrac {Q_{x}}{2h}}\end{aligned}}}$

Таким образом, задачу можно разделить на две части: одна из них касается только сдвига сердечника, а другая — только изгибающих напряжений в обшивках.

Основными положениями линейных многослойных теорий балок с тонкими обшивками являются:

• поперечная нормальная жесткость сердечника бесконечна, т.е. толщина сердечника в направлении z не изменяется при изгибе
• нормальная жесткость сердечника в плоскости мала по сравнению с жесткостью лицевых листов, т.е. сердечник не удлиняется и не сжимается в направлении x
• лицевые панели ведут себя в соответствии с предположениями Эйлера-Бернулли , т.е. в лицевых панелях нет сдвига по оси xz, а толщина лицевых панелей в направлении z не изменяется

Однако напряжения сдвига xz в ядре не игнорируются.

Определяющие соотношения для двумерных ортотропных линейно-упругих материалов имеют вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{zx}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{13}&0\\C_{13}&C_{33}&0\\0&0&C_{55}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{zz}\\\varepsilon _{zx}\end{bmatrix}}}$

Предположения теории сэндвичей приводят к упрощенным соотношениям

${\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=C_{11}^{\mathrm {face} }~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }~;~~\sigma _{zz}^{\mathrm {face} }=\sigma _{xz}^{\mathrm {face} }=0~;~~\sigma _{zz}^{\mathrm {core} }=\sigma _{xx}^{\mathrm {core} }=0}$

и

${\displaystyle \varepsilon _{zz}^{\mathrm {face} }=\varepsilon _{xz}^{\mathrm {face} }=0~;~~\varepsilon _{zz}^{\mathrm {core} }=\varepsilon _{xx}^{\mathrm {core} }=0}$

Уравнения равновесия в двух измерениях имеют вид

${\displaystyle {\cfrac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial z}}=0~;~~{\cfrac {\partial \sigma _{zx}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}=0}$

Предположения для сэндвич-балки и уравнения равновесия подразумевают, что

${\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }\equiv \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }(z)~;~~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=\mathrm {constant} }$

Поэтому для однородных обшивок и сердечника деформации также имеют вид

${\displaystyle \varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }\equiv \varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }(z)~;~~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }=\mathrm {constant} }$

Пусть сэндвич-балка подвергается воздействию изгибающего момента и поперечной силы . Пусть полный прогиб балки из-за этих нагрузок будет . На соседнем рисунке показано, что при малых смещениях полный прогиб срединной поверхности балки можно выразить как сумму двух прогибов, чистого изгибного прогиба и чистого сдвига , т.е.${\displaystyle M}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w_{b}}$${\displaystyle w_{s}}$

${\displaystyle w(x)=w_{b}(x)+w_{s}(x)}$

Из геометрии деформации мы видим, что инженерная деформация сдвига ( ) в ядре связана с эффективной деформацией сдвига в композите соотношением${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{2h}}~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }}$

Обратите внимание, что деформация сдвига в ядре больше, чем эффективная деформация сдвига в композите, и что при выводе приведенного выше соотношения предполагаются малые деформации ( ). Эффективная деформация сдвига в балке связана со смещением сдвига соотношением${\displaystyle \tan \gamma =\gamma }$

${\displaystyle \gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }={\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Предполагается, что лицевые панели деформируются в соответствии с предположениями теории балок Эйлера-Бернулли. Предполагается, что общий прогиб лицевых панелей является суперпозицией прогибов, вызванных изгибом, и прогибов, вызванных сдвигом сердечника. Смещения лицевых панелей в -направлении из-за изгиба определяются как${\displaystyle x}$

${\displaystyle u_{b}^{\mathrm {face} }(x,z)=-z~{\cfrac {\mathrm {d} w_{b}}{\mathrm {d} x}}}$

Смещение верхней обшивки из-за сдвига в сердечнике равно

${\displaystyle u_{s}^{\mathrm {topface} }(x,z)=-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

и нижняя лицевая сторона -

${\displaystyle u_{s}^{\mathrm {botface} }(x,z)=-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Нормальные деформации в двух лицевых панелях определяются по формуле

${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\cfrac {\partial u_{b}}{\partial x}}+{\cfrac {\partial u_{s}}{\partial x}}}$

Поэтому,

${\displaystyle \varepsilon _{xx}^{\mathrm {topface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {botface} }=-z~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Напряжение сдвига в ядре определяется по формуле

${\displaystyle \sigma _{zx}^{\mathrm {core} }=C_{55}^{\mathrm {core} }~\varepsilon _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {C_{55}^{\mathrm {core} }}{2}}~\gamma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~\gamma _{zx}^{\mathrm {beam} }}$

или,

${\displaystyle \sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\tfrac {2h+f}{4h}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Нормальные напряжения в лицевых листах определяются по формуле

${\displaystyle \sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=C_{11}^{\mathrm {face} }~\varepsilon _{xx}^{\mathrm {face} }}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{xx}^{\mathrm {topface} }&=-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z-h-{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\left({\tfrac {2h+f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\\\sigma _{xx}^{\mathrm {botface} }&=-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(z+h+{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=&-z~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left({\tfrac {2h+f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\end{aligned}}}$

Результирующая нормальная сила в облицовке определяется как

${\displaystyle N_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{-f/2}^{f/2}\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }~\mathrm {d} z_{f}}$

и результирующие моменты определяются как

${\displaystyle M_{xx}^{\mathrm {face} }:=\int _{-f/2}^{f/2}z_{f}~\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }~\mathrm {d} z_{f}}$

где

${\displaystyle z_{f}^{\mathrm {topface} }:=z-h-{\tfrac {f}{2}}~;~~z_{f}^{\mathrm {botface} }:=z+h+{\tfrac {f}{2}}}$

Используя выражения для нормального напряжения в двух лицевых панелях, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-f\left(h+{\tfrac {f}{2}}\right)~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}=-N_{xx}^{\mathrm {botface} }\\M_{xx}^{\mathrm {topface} }&=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}\left({\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M_{xx}^{\mathrm {botface} }\end{aligned}}}$

В ядре результирующий момент равен

${\displaystyle M_{xx}^{\mathrm {core} }:=\int _{-h}^{h}z~\sigma _{xx}^{\mathrm {core} }~\mathrm {d} z=0}$

Суммарный изгибающий момент в балке равен

${\displaystyle M=N_{xx}^{\mathrm {topface} }~(2h+f)+2~M_{xx}^{\mathrm {topface} }}$

или,

${\displaystyle M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Сдвиговая сила в ядре определяется как${\displaystyle Q_{x}}$

${\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {core} }=\kappa \int _{-h}^{h}\sigma _{xz}~dz={\tfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

где - коэффициент коррекции сдвига. Сила сдвига в лицевых панелях может быть рассчитана из изгибающих моментов с использованием соотношения${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {face} }={\cfrac {\mathrm {d} M_{xx}^{\mathrm {face} }}{\mathrm {d} x}}}$

или,

${\displaystyle Q_{x}^{\mathrm {face} }=-{\cfrac {f^{3}~C_{11}^{\mathrm {face} }}{12}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}}$

Для тонких лицевых панелей сила сдвига в лицевых панелях обычно игнорируется. ^[2]

Жесткость изгиба сэндвич-балки определяется по формуле

${\displaystyle D^{\mathrm {beam} }=-M/{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Из выражения для полного изгибающего момента в балке имеем

${\displaystyle M=-{\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {f^{3}}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Для малых деформаций сдвига приведенное выше выражение можно записать как

${\displaystyle M\approx -{\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Таким образом, жесткость на изгиб сэндвич-балки (с ) определяется выражением${\displaystyle f\ll 2h}$

${\displaystyle D^{\mathrm {beam} }\approx {\cfrac {f[3(2h+f)^{2}+f^{2}]}{6}}~C_{11}^{\mathrm {face} }\approx {\cfrac {f(2h+f)^{2}}{2}}~C_{11}^{\mathrm {face} }}$

и что из лицевых листов

${\displaystyle D^{\mathrm {face} }={\cfrac {f^{3}}{12}}~C_{11}^{\mathrm {face} }}$

Жесткость балки на сдвиг определяется по формуле

${\displaystyle S^{\mathrm {beam} }=Q_{x}/{\tfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}}$

Следовательно, жесткость балки на сдвиг, равная жесткости сердечника на сдвиг, равна

${\displaystyle S^{\mathrm {beam} }=S^{\mathrm {core} }={\cfrac {\kappa (2h+f)}{2}}~C_{55}^{\mathrm {core} }}$

Связь между изгибом и сдвигом можно получить, используя непрерывность тяг между сердечником и лицевыми панелями. Если мы приравняем тяги напрямую, то получим

${\displaystyle n_{x}~\sigma _{xx}^{\mathrm {face} }=n_{z}~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }}$

На обоих интерфейсах лицевой стороны-сердечника , но в верхней части сердечника и в нижней части сердечника . Таким образом, непрерывность тяги в приводит к${\displaystyle n_{x}=1}$${\displaystyle n_{z}=1}$${\displaystyle n_{z}=-1}$${\displaystyle z=\pm h}$

${\displaystyle 2fh~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2h+f)~C_{55}^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=4h^{2}~C_{11}^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{b}}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

Вышеуказанное соотношение используется редко из-за наличия вторых производных прогиба сдвига. Вместо этого предполагается, что

${\displaystyle n_{z}~\sigma _{zx}^{\mathrm {core} }={\cfrac {\mathrm {d} N_{xx}^{\mathrm {face} }}{\mathrm {d} x}}}$

что подразумевает, что

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=-2fh~\left({\cfrac {C_{11}^{\mathrm {face} }}{C_{55}^{\mathrm {core} }}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{b}}{\mathrm {d} x^{3}}}}$

Используя приведенные выше определения, основные уравнения баланса для изгибающего момента и поперечной силы имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}M&=D^{\mathrm {beam} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w_{s}}{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(D^{\mathrm {beam} }+2D^{\mathrm {face} }\right)~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q&=S^{\mathrm {core} }~{\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}-2D^{\mathrm {face} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{aligned}}}$

Мы можем альтернативно выразить вышесказанное в виде двух уравнений, которые можно решить относительно и как${\displaystyle w}$${\displaystyle w_{s}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\left({\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}\right)~{\cfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}\\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}-{\cfrac {1}{S^{\mathrm {core} }}}~{\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}=-\left(1+{\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}$

Используя приближения

${\displaystyle Q\approx {\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}~;~~q\approx {\cfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} x}}}$

где - интенсивность приложенной нагрузки на балку, имеем${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {2D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {2D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}\\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w_{s}}{\mathrm {d} x^{3}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} w_{s}}{\mathrm {d} x}}=-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{2D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}$

Для решения этой системы двух связанных обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом приложенной нагрузки, приложенного изгибающего момента и граничных условий смещения можно использовать несколько методов.

Предполагая, что каждое частичное поперечное сечение удовлетворяет гипотезе Бернулли , баланс сил и моментов на деформированном элементе многослойной балки можно использовать для вывода уравнения изгиба многослойной балки.

Результирующие напряжения и соответствующие деформации балки и поперечного сечения можно увидеть на рисунке 1. Следующие соотношения можно вывести с использованием теории линейной упругости : ^{[3] [4]}

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{\mathrm {core} }&=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma _{2}}{\mathrm {d} x}}+\vartheta \right)=D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}+\vartheta \right)\\M^{\mathrm {face} }&=-D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}\\Q^{\mathrm {core} }&=S^{\mathrm {core} }\gamma \\Q^{\mathrm {face} }&=-D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}\end{aligned}}\,}$

где

${\displaystyle w\,}$	поперечное смещение балки
${\displaystyle \gamma \,}$	Средняя деформация сдвига в сэндвиче	${\displaystyle \gamma =\gamma _{1}+\gamma _{2}\,}$
${\displaystyle \gamma _{1}\,}$	Вращение лицевых панелей	${\displaystyle \gamma _{1}={\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}\,}$
${\displaystyle \gamma _{2}\,}$	Сдвиговая деформация в ядре
${\displaystyle M^{\mathrm {core} }\,}$	Изгибающий момент в ядре
${\displaystyle D^{\mathrm {beam} }\,}$	Жесткость сэндвич-балки на изгиб
${\displaystyle M^{\mathrm {face} }\,}$	Изгибающий момент в лицевых листах
${\displaystyle D^{\mathrm {face} }\,}$	Жесткость на изгиб лицевых панелей
${\displaystyle Q^{\mathrm {core} }\,}$	Сдвиговая сила в ядре
${\displaystyle Q^{\mathrm {face} }\,}$	Усилие сдвига в лицевых листах
${\displaystyle S^{\mathrm {core} }\,}$	Жесткость сердечника на сдвиг
${\displaystyle \vartheta \,}$	Дополнительный изгиб в результате перепада температуры	${\displaystyle \vartheta ={\frac {\alpha (T_{o}-T_{u})}{e}}\,}$
${\displaystyle \alpha \,}$	Температурный коэффициент расширения конвертеров

Суперпозиция уравнений для наружных слоев и сердечника приводит к следующим уравнениям для полной силы сдвига и полного изгибающего момента :${\displaystyle Q}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&S^{\mathrm {core} }\gamma -D^{\mathrm {face} }{\cfrac {\mathrm {d} ^{3}w}{\mathrm {d} x^{3}}}=Q&\quad \quad &(1)\\&D^{\mathrm {beam} }\left({\cfrac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} x}}+\vartheta \right)-\left(D^{\mathrm {beam} }+D^{\mathrm {face} }\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}=M&\quad \quad &(2)\,\end{alignedat}}}$

Мы можем альтернативно выразить вышеизложенное в виде двух уравнений, которые можно решить относительно и , т.е.${\displaystyle w}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {D^{\mathrm {face} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {face} }}{D^{\mathrm {beam} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M}{D^{\mathrm {beam} }}}-{\cfrac {q}{S^{\mathrm {core} }}}-\vartheta \\&\left({\frac {D^{\mathrm {beam} }}{S^{\mathrm {core} }}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\gamma }{\mathrm {d} x^{2}}}-\left(1+{\frac {D^{\mathrm {beam} }}{D^{\mathrm {face} }}}\right)\gamma =-\left({\cfrac {D^{\mathrm {beam} }}{D^{\mathrm {face} }}}\right){\frac {Q}{S^{\mathrm {core} }}}\,\end{aligned}}}$