Модель волатильности SABR

В математических финансах модель SABR является моделью стохастической волатильности , которая пытается уловить улыбку волатильности на рынках деривативов. Название расшифровывается как « стохастическая альфа , бета , ро », ссылаясь на параметры модели. Модель SABR широко используется практиками в финансовой отрасли, особенно на рынках процентных деривативов . Она была разработана Патриком С. Хаганом, Дипом Кумаром, Эндрю Лесневски и Дианой Вудворд. ^[1]

Модель SABR описывает один форвард , такой как форвардная ставка LIBOR , форвардная ставка свопа или форвардная цена акций. Это один из стандартов на рынке, используемый участниками рынка для котирования волатильности. Волатильность форварда описывается параметром . SABR — это динамическая модель, в которой и представлены стохастическими переменными состояния, временная эволюция которых задается следующей системой стохастических дифференциальных уравнений :${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \сигма}$

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}\left(F_{t}\right)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\сигма _{t}=\альфа \сигма _{t}^{}\,dZ_{t},}$

с заданным нулевым временем (наблюдаемым в данный момент) значениями и . Здесь и — два коррелированных винеровских процесса с коэффициентом корреляции :${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle \сигма _{0}}$${\displaystyle W_{т}}$${\displaystyle Z_{т}}$${\displaystyle -1<\ро <1}$

${\displaystyle dW_{t}\,dZ_{t}=\rho \,dt}$

Постоянные параметры удовлетворяют условиям . — параметр, подобный волатильности, для волатильности. — мгновенная корреляция между базовым активом и его волатильностью. Начальная волатильность контролирует высоту уровня подразумеваемой волатильности ATM . Как корреляция , так и контролирует наклон подразумеваемого перекоса. Волатильность волатильности контролирует его кривизну.${\displaystyle \бета,\;\альфа}$${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \ро}$${\displaystyle \сигма _{0}}$${\displaystyle \ро}$${\displaystyle \бета}$${\displaystyle \альфа}$

Приведенная выше динамика представляет собой стохастическую версию модели CEV с параметром асимметрии : по сути, она сводится к модели CEV, если Параметр часто называют volvol , и его смысл заключается в логнормальной волатильности параметра волатильности .${\displaystyle \бета}$${\displaystyle \альфа =0}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle \сигма}$

Мы рассматриваем европейский опцион (скажем, колл) на форвард , выполненный в , который истекает через несколько лет. Стоимость этого опциона равна соответствующим образом дисконтированному ожидаемому значению выплаты при распределении вероятностей процесса .${\displaystyle F}$${\displaystyle К}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle \max(F_{T}-K,\;0)}$${\displaystyle F_{t}}$

За исключением особых случаев и , не известно никакого закрытого выражения для этого распределения вероятностей. Общий случай может быть решен приближенно с помощью асимптотического разложения по параметру . В типичных рыночных условиях этот параметр мал, и приближенное решение на самом деле довольно точное. Также важно, что это решение имеет довольно простую функциональную форму, его очень легко реализовать в компьютерном коде, и оно хорошо подходит для управления рисками больших портфелей опционов в реальном времени.${\displaystyle \бета =0}$${\displaystyle \бета =1}$${\displaystyle \varepsilon =T\alpha ^{2}}$

Удобно выразить решение в терминах подразумеваемой волатильности опциона. А именно, мы приводим цену модели SABR опциона к форме формулы оценки модели Блэка . Тогда подразумеваемая волатильность, которая является значением параметра логнормальной волатильности в модели Блэка, заставляющего ее соответствовать цене SABR, приблизительно определяется как:${\displaystyle \sigma _{\textrm {impl}}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}=\alpha \;{\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}+1/\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\},}$

где для ясности мы установили . Формула не определена, когда , поэтому мы заменяем ее пределом как , который получается путем замены множителя на 1. Значение обозначает удобно выбранную среднюю точку между и (например, среднее геометрическое или среднее арифметическое ). Мы также установили${\displaystyle C\left(F\right)=F^{\beta }}$${\displaystyle К=Ф_{0}}$${\displaystyle K\to F_{0}}$${\displaystyle {\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta)}}}$${\displaystyle F_{\text{середина}}}$${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle К}$${\displaystyle {\sqrt {F_{0}K}}}$${\displaystyle \left(F_{0}+K\right)/2}$

${\displaystyle \zeta ={\frac {\alpha}{\sigma_{0}}}\;\int _{K}^{F_{0}}{\frac {dx}{C(x)}}={\frac {\alpha}{\sigma_{0}(1-\beta)}}\;\left(F_{0}{}^{1-\beta}-K^{1-\beta}\right),}$

и

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {C'(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}={\frac {\beta }{F_{\text{mid}}}}\;,}$

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {C''(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}=-{\frac {\beta (1-\beta )}{\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}}\;,}$

Функция, входящая в формулу выше, определяется как${\displaystyle D\left(\zeta \right)}$

${\displaystyle D(\zeta )=\log \left({\frac {{\sqrt {1-2\rho \zeta +\zeta ^{2}}}+\zeta -\rho }{1-\rho }}\right).}$

В качестве альтернативы можно выразить цену SABR в терминах модели Башелье . Тогда подразумеваемая нормальная волатильность может быть асимптотически вычислена с помощью следующего выражения:

${\displaystyle \sigma _{\text{impl}}^{\text{n}}=\alpha \;{\frac {F_{0}-K}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\}.}$

Стоит отметить, что нормальная подразумеваемая волатильность SABR, как правило, несколько точнее логнормальной подразумеваемой волатильности.

Точность аппроксимации и степень арбитража можно дополнительно улучшить, если использовать эквивалентную волатильность в рамках модели CEV с той же самой для ценообразования опционов. ^[2]${\displaystyle \бета}$

Расширение модели SABR для отрицательных процентных ставок , которое приобрело популярность в последние годы, — это смещенная модель SABR, в которой предполагается, что смещенная форвардная ставка следует процессу SABR.

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}(F_{t}+s)^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

для некоторого положительного сдвига . Поскольку сдвиги включены в рыночные котировки, и существует интуитивно понятная мягкая граница того, как могут стать отрицательные ставки, смещенный SABR стал лучшей рыночной практикой для размещения отрицательных ставок.${\displaystyle s}$

Модель SABR также можно модифицировать для покрытия отрицательных процентных ставок путем:

${\displaystyle dF_{t}=\sigma _{t}|F_{t}|^{\beta }\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},}$

для и свободного граничного условия для . Доступны его точное решение для нулевой корреляции, а также эффективное приближение для общего случая. ^[3] Очевидным недостатком этого подхода является априорное предположение о потенциальных крайне отрицательных процентных ставках через свободную границу.${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1/2}$${\displaystyle F=0}$

Хотя асимптотическое решение очень легко реализовать, плотность, подразумеваемая приближением, не всегда безарбитражна, особенно для очень низких страйков (она становится отрицательной или плотность не интегрируется в единицу).

Одна из возможностей «исправить» формулу — использовать метод стохастической коллокации и спроецировать соответствующую подразумеваемую, некорректную модель на полином безарбитражных переменных, например, нормальных. Это гарантирует равенство вероятности в точках коллокации, в то время как сгенерированная плотность будет безарбитражной. ^[4] При использовании метода проекции аналитические европейские цены опционов доступны, а подразумеваемые волатильности остаются очень близкими к изначально полученным с помощью асимптотической формулы.

Другая возможность — положиться на быстрый и надежный решатель уравнений в частных производных на эквивалентном расширении прямого уравнения в частных производных, которое численно сохраняет нулевой и первый моменты, тем самым гарантируя отсутствие арбитража. ^[5]

Модель SABR можно расширить, предположив, что ее параметры зависят от времени. Однако это усложняет процедуру калибровки. Расширенный метод калибровки модели SABR, зависящей от времени, основан на так называемых «эффективных параметрах». ^[6]

В качестве альтернативы Герреро и Орландо ^[7] показывают, что зависящая от времени локальная стохастическая волатильность (SLV) может быть сведена к системе автономных PDE, которые могут быть решены с использованием теплового ядра с помощью метода факторизации Вей-Нормана и алгебраических методов Ли. Явные решения, полученные с помощью указанных методов, сопоставимы с традиционным моделированием Монте-Карло, что позволяет сократить время численных вычислений.

Поскольку процесс стохастической волатильности следует геометрическому броуновскому движению , его точное моделирование является простым. Однако моделирование процесса форвардных активов не является тривиальной задачей. Обычно рассматриваются схемы моделирования на основе Тейлора, такие как Эйлер–Маруяма или Мильштейн . Недавно были предложены новые методы для почти точного моделирования Монте-Карло модели SABR. ^[8] Недавно были рассмотрены обширные исследования для модели SABR. ^[9] Для нормальной модели SABR ( без граничного условия в ) известен метод моделирования в замкнутой форме. ^[10]${\displaystyle \beta =0}$${\displaystyle F=0}$

• Волатильность (финансы)
• Стохастическая волатильность
• Мера, нейтральная к риску

• Хаган, Патрик; Лесневски, Эндрю; Вудворд, Диана (2005-03-22). "Распределение вероятностей в модели SABR стохастической волатильности" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2021-03-08 . Получено 2022-04-30 .
• Бартлетт, Брюс (февраль 2006 г.). "Хеджирование в рамках модели SABR" (PDF) . Уилмотт . Архивировано из оригинала (PDF) 2020-12-30 . Получено 2022-04-30 .
• Хаган, Патрик; Лесневски, Эндрю (2008-04-30). "Модель рынка LIBOR со стохастической волатильностью в стиле SABR" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2022-03-03 . Получено 2022-04-30 .
• Хаган, Патрик С.; Кумар, Дип; Лесневски, Эндрю С.; Вудворд, Диана Э. (29.01.2014). «SABR без арбитража». Wilmott . Vol. 2014, no. 69. pp.  60–75 . doi :10.1002/wilm.10290 . Получено 30.04.2022 .
• Облой, Ян (18 марта 2008 г.). «Настройте свою улыбку – поправка к Хагану и др.». arXiv : 0708.0998 [q-fin.CP].
• Уэст, Грэм. "Краткое изложение подходов к модели SABR для производных инструментов на акции smile". Riskworx . Архивировано из оригинала 2015-09-14 . Получено 2022-04-30 .
• Анри-Лабордер, Пьер (15.02.2005). «Объединение моделей BGM и SABR: краткий экскурс в гиперболическую геометрию». arXiv : physics/0602102 .
• Джордан, Ричард; Тир, Чарльз (17.05.2011). «Асимптотические приближения моделей CEV и SABR». SSRN  1850709.
• "Калибровка SABR". 2012-12-26. Архивировано из оригинала 2016-05-27 . Получено 2022-04-30 .
• Антонов, Александр; Спектор, Майкл (2012-03-23). ​​«Расширенная аналитика для модели SABR». SSRN  2026350.
• Антонов, Александр; Коников, Майкл; Спектор, Майкл (2019-05-02). Современная аналитика SABR: формулы и идеи для квантов, бывших физиков и математиков (Springer Briefs in Quantitative Finance) 1-е изд . doi : 10.1007/978-3-030-10656-0. ISBN 978-3-030-10655-3. ISSN  2192-7014. S2CID  182484805./ Пресс-релиз, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк – 24 июня 2019 г.
• Гулисашвили, Арчил; Хорват, Бланка; Жакье, Антуан (Джек) (2016-11-22). "Масса в нуле в некоррелированной модели SABR и асимптотика подразумеваемой волатильности". SSRN  2563510.