Векторы строк и столбцов

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (November 2022) (Learn how and when to remove this message)

В линейной алгебре вектор -столбец с ⁠ ⁠${\displaystyle m}$ элементами представляет собой матрицу ^[1], состоящую из одного столбца ⁠ ⁠ элементов, например,${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle m}$$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}.}$$

Аналогично, вектор-строка представляет собой матрицу для некоторой ⁠ ⁠ , состоящую из одной строки ⁠ ⁠ записей, (В этой статье жирный шрифт используется как для векторов-строк, так и для векторов-столбцов.)${\displaystyle 1\times n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}.}$$

Транспонирование (обозначается T ) любого вектора -строки является вектором-столбцом, а транспонирование любого вектора-столбца является вектором-строкой: и$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}.}$$

Набор всех векторов-строк с n элементами в заданном поле (например, действительных чисел ) образует n -мерное векторное пространство ; аналогично, набор всех векторов-столбцов с m элементами образует m -мерное векторное пространство.

Пространство векторов-строк с n элементами можно рассматривать как двойственное пространство пространства векторов-столбцов с n элементами, поскольку любой линейный функционал на пространстве векторов-столбцов можно представить как левое умножение уникального вектора-строки.

Чтобы упростить запись векторов-столбцов в тексте, иногда их записывают как векторы-строки, к которым применяется операция транспонирования.

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$$

или

$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$$

Некоторые авторы также используют соглашение о записи как векторов-столбцов, так и векторов-строк в виде строк, но разделяя элементы векторов-строк запятыми , а элементы векторов-столбцов — точками с запятой (см. альтернативную нотацию 2 в таблице ниже). ^{[ необходима ссылка ]}

	Вектор строки	Вектор столбца
Стандартная матричная запись (пробелы в массиве, без запятых, знаки транспонирования)	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}{\text{ or }}{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$
Альтернативная запись 1 (запятые, транспонированные знаки)	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$
Альтернативная запись 2 (запятые и точки с запятой, без знаков транспонирования)	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{bmatrix}}}$

Умножение матриц включает в себя действие умножения каждого вектора-строки одной матрицы на каждый вектор-столбец другой матрицы.

Скалярное произведение двух векторов-столбцов a , b , рассматриваемых как элементы координатного пространства, равно матричному произведению транспонированного a на b ,

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\intercal }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,,}$$

В силу симметрии скалярного произведения, скалярное произведение двух векторов-столбцов a , b также равно матричному произведению транспонированного b на a ,

$${\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\intercal }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,.}$$

Матричное произведение столбца и вектора-строки дает внешнее произведение двух векторов a , b , пример более общего тензорного произведения . Матричное произведение представления вектора-столбца a и представления вектора-строки b дает компоненты их диадического произведения,

$${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,}$$

что является транспонированием матричного произведения представления вектора столбца b и представления вектора строки a ,

$${\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\intercal }={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.}$$

Матрица M размера n × n может представлять линейную карту и действовать на векторы строк и столбцов как матрица преобразования линейной карты . Для вектора строки v произведение v M является другим вектором строки p :

$${\displaystyle \mathbf {v} M=\mathbf {p} \,.}$$

Другая матрица Q размером n × n может действовать на p ,

$${\displaystyle \mathbf {p} Q=\mathbf {t} \,.}$$

Тогда можно записать t = p Q = v MQ , так что преобразование произведения матриц MQ отображает v непосредственно в t . Продолжая работу с векторами-строками, матричные преобразования, дополнительно перестраивающие n -пространство, могут быть применены справа от предыдущих выходов.

Когда вектор-столбец преобразуется в другой вектор-столбец под действием матрицы n × n , операция выполняется слева,

$${\displaystyle \mathbf {p} ^{\mathrm {T} }=M\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\,,\quad \mathbf {t} ^{\mathrm {T} }=Q\mathbf {p} ^{\mathrm {T} },}$$

что приводит к алгебраическому выражению QM v ^T для составного выхода из входа v ^T. Матричные преобразования поднимаются слева при этом использовании вектора-столбца для входа в матричное преобразование.

• Ковариантность и контравариантность векторов
• Индексная нотация
• Вектор единиц
• Вектор с одним входом
• Стандартный единичный вектор
• Единичный вектор

• Экслер, Шелдон Джей (1997), Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, архивировано из оригинала 1 марта 2001 г.
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: Современное введение (2-е изд.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Антон, Говард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия приложений) (9-е изд.), Wiley International
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Pearson Prentice Hall