Алгебра Роббинса

Эта статья включает список ссылок , связанных чтений или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Июнь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В абстрактной алгебре алгебра Роббинса — это алгебра , содержащая одну бинарную операцию , обычно обозначаемую как , и одну унарную операцию, обычно обозначаемую как , удовлетворяющую следующим аксиомам :${\displaystyle \лор }$${\displaystyle \отрицательный}$

Для всех элементов a , b и c :

1. Ассоциативность :${\displaystyle a\lor \left(b\lor c\right)=\left(a\lor b\right)\lor c}$
2. Коммутативность :${\displaystyle a\lor b=b\lor a}$
3. Уравнение Роббинса :${\displaystyle \neg \left(\neg \left(a\lor b\right)\lor \neg \left(a\lor \neg b\right)\right)=a}$

В течение многих лет предполагалось, но не было доказано, что все алгебры Роббинса являются булевыми алгебрами . Это было доказано в 1996 году, поэтому термин «алгебра Роббинса» теперь является просто синонимом «булевой алгебры».

В 1933 году Эдвард Хантингтон предложил новый набор аксиом для булевых алгебр, состоящий из (1) и (2) выше, а также:

• Уравнение Хантингтона :${\displaystyle \neg (\neg a\lor b) \lor \neg (\neg a\lor \neg b) = a.}$

Из этих аксиом Хантингтон вывел обычные аксиомы булевой алгебры.

Вскоре после этого Герберт Роббинс выдвинул гипотезу Роббинса , а именно, что уравнение Хантингтона можно заменить тем, что стало называться уравнением Роббинса, и результатом все равно будет булева алгебра . будет интерпретировать булево соединение и булево дополнение . Булева встреча и константы 0 и 1 легко определяются из примитивов алгебры Роббинса. В ожидании проверки гипотезы система Роббинса была названа «алгеброй Роббинса».${\displaystyle \лор }$${\displaystyle \отрицательный}$

Проверка гипотезы Роббинса требовала доказательства уравнения Хантингтона или какой-либо другой аксиоматизации булевой алгебры как теорем алгебры Роббинса. Хантингтон, Роббинс, Альфред Тарский и другие работали над этой проблемой, но не смогли найти доказательство или контрпример.

Уильям МакКьюн доказал эту гипотезу в 1996 году, используя автоматизированный доказатель теорем EQP . Полное доказательство гипотезы Роббинса в одной последовательной нотации и близкое к МакКьюну, см. Mann (2003). Дан (1998) упростил машинное доказательство МакКьюна.

• Алгебраическая структура
• Минимальные аксиомы для булевой алгебры

• Дан, Б.И. (1998) Аннотация к статье «Алгебры Роббинса являются булевыми: пересмотр компьютерно-генерированного решения МакКьюна проблемы Роббинса», Журнал алгебры 208(2): 526–32.
• Манн, Аллен (2003) «Полное доказательство гипотезы Роббинса».
• Уильям Маккьюн , «Алгебры Роббинса являются булевыми», со ссылками на доказательства и другие статьи.