Падающие и растущие факториалы

В математике убывающий факториал ( иногда называемый убывающим факториалом , ^[1] убывающим последовательным произведением или нижним факториалом ) определяется как многочлен$${\displaystyle {\begin{align}(x)_{n}=x^{\underline {n}}&=\overbrace {x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)} ^{n{\text{ факторы}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(xk).\end{align}}}$$

Возрастающий факториал (иногда называемый функцией Похгаммера , полиномом Похгаммера , восходящим факториалом , ^[1] возрастающим последовательным произведением или верхним факториалом ) определяется как$${\displaystyle {\begin{align}(x)^{n}=x^{\overline {n}}&=\overbrace {x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)} ^{n{\text{ факторы}}}\\&=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).\end{align}}}$$

Значение каждого из них принимается равным 1 ( пустое произведение ), когда . Эти символы в совокупности называются факториальными степенями . ^[2]${\displaystyle n=0}$

Символ Похгаммера , введенный Лео Августом Похгаммером , представляет собой обозначение , где n — неотрицательное целое число . Он может представлять как растущий, так и падающий факториал, при этом разные статьи и авторы используют разные соглашения. Сам Похгаммер фактически использовал его в еще одном значении, а именно для обозначения биномиального коэффициента . ^[3]${\displaystyle (x)_{n}}$${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle {\tbinom {x}{n}}}$

В этой статье символ используется для представления падающего факториала, а символ используется для восходящего факториала. Эти соглашения используются в комбинаторике , ^[4] хотя обозначения Кнута с подчеркиванием и надчеркиванием и становятся все более популярными. ^{[2] [5]} В теории специальных функций (в частности, гипергеометрической функции ) и в стандартном справочнике Абрамовица и Стигуна символ Похгаммера используется для представления восходящего факториала. ^{[6] [7]}${\displaystyle (x)_{n}}$${\displaystyle x^{(n)}}$${\displaystyle x^{\underline {n}}}$${\displaystyle x^{\overline {n}}}$${\displaystyle (x)_{n}}$

Когда является положительным целым числом, дает число n -перестановок (последовательностей различных элементов) из x -элементного набора или, что эквивалентно, число инъективных функций из набора размера в набор размера . Возрастающий факториал дает число разбиений набора -элементов на упорядоченные последовательности (возможно, пустые). ^[a]${\displaystyle x}$${\displaystyle (x)_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{(n)}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$

Первые несколько убывающих факториалов следующие: Первые несколько возрастающих факториалов следующие: Коэффициенты, которые появляются в разложениях, являются числами Стерлинга первого рода (см. ниже).$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x)_{0}&&&=1\\(x)_{1}&&&=x\\(x)_{2}&=x(x-1)&&=x^{2}-x\\(x)_{3}&=x(x-1)(x-2)&&=x^{3}-3x^{2}+2x\\(x)_{4}&=x(x-1)(x-2)(x-3)&&=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\end{alignedat}}}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x^{(0)}&&&=1\\x^{(1)}&&&=x\\x^{(2)}&=x(x+1)&&=x^{2}+x\\x^{(3)}&=x(x+1)(x+2)&&=x^{3}+3x^{2}+2x\\x^{(4)}&=x(x+1)(x+2)(x+3)&&=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\end{alignedat}}}$$

Когда переменная является положительным целым числом, число равно числу n -перестановок из набора элементов x , то есть числу способов выбора упорядоченного списка длины n , состоящего из различных элементов, взятых из набора размера . Например, — это число различных подиумов — назначений золотых, серебряных и бронзовых медалей — возможных в гонке из восьми человек. С другой стороны, — это «число способов расположения флагов на флагштоках» ^[8] , где все флаги должны быть использованы, и на каждом флагштоке может быть любое количество флагов. Эквивалентно, это число способов разбить набор размера (флаги) на различимые части (шесты) с линейным порядком элементов, назначенных каждой части (порядок флагов на данном шесте).${\displaystyle x}$${\displaystyle (x)_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (8)_{3}=8\times 7\times 6=336}$${\displaystyle x^{(n)}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$

Растущие и падающие факториалы просто связаны друг с другом:$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{(x)}_{n}&={(x-n+1)}^{(n)}&&=(-1)^{n}(-x)^{(n)},\\x^{(n)}&={(x+n-1)}_{n}&&=(-1)^{n}(-x)_{n}.\end{alignedat}}}$$

Убывающие и возрастающие факториалы целых чисел напрямую связаны с обычным факториалом :$${\displaystyle {\begin{align}n!&=1^{(n)}=(n)_{n},\\[6pt](m)_{n}&={\frac {m!}{(mn)!}},\\[6pt]m^{(n)}&={\frac {(m+n-1)!}{(m-1)!}}.\end{align}}}$$

Возрастающие факториалы половинных целых чисел напрямую связаны с двойным факториалом :$${\displaystyle {\begin{align}\left[{\frac {1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},\quad \left[{\frac {2m+1}{2}}\right]^{(n)}={\frac {(2(n+m)-1)!!}{2^{n}(2m-1)!!}}.\end{align}}}$$

Убывающие и возрастающие факториалы можно использовать для выражения биномиального коэффициента :$${\displaystyle {\begin{align}{\frac {(x)_{n}}{n!}}&={\binom {x}{n}},\\[6pt]{\frac {x^{(n)}}{n!}}&={\binom {x+n-1}{n}}.\end{align}}}$$

Таким образом, многие тождества для биномиальных коэффициентов переносятся на падающие и растущие факториалы.

Растущие и убывающие факториалы хорошо определены в любом единичном кольце и, следовательно, могут быть приняты, например, за комплексное число , включая отрицательные целые числа, или за многочлен с комплексными коэффициентами, или за любую комплекснозначную функцию .${\displaystyle x}$

Убывающий факториал можно расширить до действительных значений с помощью предоставленной гамма-функции , и это действительные числа, которые не являются отрицательными целыми числами: то же самое можно сделать и с возрастающим факториалом:${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+n}$$${\displaystyle (x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\ ,}$$$${\displaystyle x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\ .}$$

Убывающие факториалы появляются при многократном дифференцировании простых степенных функций:$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{n}x^{a}=(a)_{n}\cdot x^{a-n}.}$$

Возрастающий факториал также является неотъемлемой частью определения гипергеометрической функции : Гипергеометрическая функция определяется для степенным рядом при условии, что . Обратите внимание, однако, что в литературе по гипергеометрическим функциям обычно используется обозначение для возрастающих факториалов.${\displaystyle |z|<1}$$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}b^{(n)}}{c^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}$$${\displaystyle c\neq 0,-1,-2,\ldots }$${\displaystyle (a)_{n}}$

Падающие и растущие факториалы тесно связаны с числами Стирлинга . Действительно, расширение произведения выявляет числа Стирлинга первого рода$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{k}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}\\\end{aligned}}}$$

А обратные соотношения используют числа Стерлинга второго рода$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(x)_{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{(k)}.\end{aligned}}}$$

Убывающие и возрастающие факториалы связаны друг с другом через числа Лаха${\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}}$ : ^[9]$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)x^{(k)}\\x^{(n)}&=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-1)^{n-k}(x)_{k}\end{aligned}}}$$

Поскольку убывающие факториалы являются основой для кольца полиномов , можно выразить произведение двух из них как линейную комбинацию убывающих факториалов: ^[10]$${\displaystyle (x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\binom {n}{k}}k!\cdot (x)_{m+n-k}\ .}$$

Коэффициенты называются коэффициентами связи и имеют комбинаторную интерпретацию как число способов идентифицировать (или «склеить») k элементов из набора размера m и набора размера n .${\displaystyle {\tbinom {m}{k}}{\tbinom {n}{k}}k!}$

Существует также формула связи для отношения двух возрастающих факториалов, заданная как$${\displaystyle {\frac {x^{(n)}}{x^{(i)}}}=(x+i)^{(n-i)},\quad {\text{for }}n\geq i.}$$

Кроме того, мы можем расширить обобщенные законы экспоненты и отрицательные возрастающие и убывающие степени с помощью следующих тождеств: ^{[11] (стр. 52)}

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}=(x)_{n}(x-n)_{m}\\[6pt]x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}=x^{(n)}(x+n)^{(m)}\\[6pt]x^{(-n)}&={\frac {\Gamma (x-n)}{\Gamma (x)}}={\frac {(x-n-1)!}{(x-1)!}}={\frac {1}{(x-n)^{(n)}}}={\frac {1}{(x-1)_{n}}}={\frac {1}{(x-1)(x-2)\cdots (x-n)}}\\[6pt](x)_{-n}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+n+1)}}={\frac {x!}{(x+n)!}}={\frac {1}{(x+n)_{n}}}={\frac {1}{(x+1)^{(n)}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}\end{aligned}}}$$

Наконец, формулы умножения и умножения для убывающих и возрастающих факториалов дают следующие соотношения:$${\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{k+mn}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x-k-j}{m}}\right)_{n}\,,&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt]x^{(k+mn)}&=x^{(k)}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+k+j}{m}}\right)^{(n)},&{\text{for }}m&\in \mathbb {N} \\[6pt](ax+b)^{(n)}&=x^{n}\prod _{j=0}^{n-1}\left(a+{\frac {b+j}{x}}\right),&{\text{for }}x&\in \mathbb {Z} ^{+}\\[6pt](2x)^{(2n)}&=2^{2n}x^{(n)}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{(n)}.\end{aligned}}}$$

Убывающий факториал встречается в формуле, которая представляет полиномы с использованием оператора прямой разности и которая формально аналогична теореме Тейлора :${\displaystyle \Delta f(x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x{+}1)-f(x),}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{n}f(0)}{n!}}(x)_{n}.}$$

В этой формуле и во многих других местах падающий факториал в исчислении конечных разностей играет роль в дифференциальном исчислении. Обратите внимание, например, на сходство с .${\displaystyle (x)_{n}}$${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle \Delta (x)_{n}=n(x)_{n-1}}$${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}x^{n}=nx^{n-1}}$

Аналогичный результат справедлив для растущего факториала и оператора обратной разности.

Изучение аналогий этого типа известно как теневое исчисление . Общая теория, охватывающая такие отношения, включая падающие и растущие факториальные функции, дается теорией полиномиальных последовательностей биномиального типа и последовательностей Шеффера . Падающие и растущие факториалы являются последовательностями Шеффера биномиального типа, как показано в соотношениях:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(a)_{n-j}(b)_{j}\\[6pt](a+b)^{(n)}&=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{(n-j)}b^{(j)}\end{aligned}}}$$

где коэффициенты такие же, как в биномиальной теореме .

Аналогично, производящая функция полиномов Похгаммера тогда сводится к теневой экспоненте,

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\left(1+t\right)^{x},}$$

с

$${\displaystyle \operatorname {\Delta } _{x}\left(1+t\right)^{x}=t\cdot \left(1+t\right)^{x}.}$$

Альтернативная запись для возрастающего факториала$${\displaystyle x^{\overline {m}}\equiv (x)_{+m}\equiv (x)_{m}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$

и для падающего факториала$${\displaystyle x^{\underline {m}}\equiv (x)_{-m}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}\quad {\text{for integer }}m\geq 0}$$

восходит к А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно. ^[2] Грэхем, Кнут и Паташник ^{[11] (стр. 47, 48)} предлагают произносить эти выражения как « to the rise» и « to the fall» соответственно.${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$

Альтернативная нотация для восходящего факториала менее распространена . Когда используется для обозначения восходящего факториала, нотация обычно используется для обычного нисходящего факториала, чтобы избежать путаницы. ^[3]${\displaystyle x^{(n)}}$${\displaystyle (x)_{n}^{+}}$${\displaystyle (x)_{n}^{+}}$${\displaystyle (x)_{n}^{-}}$

Символ Похгаммера имеет обобщенную версию, называемую обобщенным символом Похгаммера , используемую в многомерном анализе . Существует также q -аналог , q -символ Похгаммера .

Для любой фиксированной арифметической функции и символических параметров x , t , соответствующие обобщенные факториальные произведения имеют вид${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$

$${\displaystyle (x)_{n,f,t}:=\prod _{k=0}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)}$$

можно изучать с точки зрения классов обобщенных чисел Стирлинга первого рода, определяемых следующими коэффициентами при степенях x в разложениях ( x ) _{n , f , t ,} а затем следующим соответствующим треугольным рекуррентным соотношением:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=\left[x^{k-1}\right](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}}$$

Эти коэффициенты удовлетворяют ряду аналогичных свойств для чисел Стирлинга первого рода , а также рекуррентным соотношениям и функциональным уравнениям, связанным с f -гармоническими числами, ^[12]$${\displaystyle F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}{\frac {t^{k}}{f(k)^{r}}}\,.}$$

• Поххаммер k -символ
• идентичность Вандермонда

• Вайсштейн, Эрик В. «Символ Поххаммера». MathWorld .