Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник , иногда называемый ортогональным треугольником или прямоугольным треугольником , — это треугольник , в котором две стороны перпендикулярны , образуя прямой угол ( 1⁄4 оборота или 90 градусов ).

Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой ( стороной на рисунке). Стороны, примыкающие к прямому углу, называются катетами (или катетами , единственное число: катет ). Сторона может быть определена как сторона, примыкающая к углу и противолежащая (или противолежащая ) углу , в то время как сторона — это сторона, примыкающая к углу и противолежащая углу${\displaystyle с}$${\displaystyle a}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$

Каждый прямоугольный треугольник является половиной прямоугольника , разделенного по его диагонали . Когда прямоугольник является квадратом , его прямоугольная половина является равнобедренной , с двумя равными сторонами и двумя равными углами. Когда прямоугольник не является квадратом, его прямоугольная половина является разносторонней .

Каждый треугольник, основанием которого является диаметр окружности , а вершина лежит на окружности, является прямоугольным треугольником с прямым углом в вершине и гипотенузой в качестве основания; и наоборот, описанная окружность любого прямоугольного треугольника имеет гипотенузу в качестве своего диаметра. Это теорема Фалеса .

Катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника удовлетворяют теореме Пифагора : сумма площадей квадратов, построенных на двух катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Если длины всех трех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, треугольник называется пифагоровым треугольником , а длины его сторон вместе называются пифагоровой тройкой .${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника дают один из способов определения и понимания тригонометрии — науки о метрических соотношениях между длинами и углами.

Три стороны прямоугольного треугольника связаны теоремой Пифагора , которую в современной алгебраической нотации можно записать

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$

где — длина гипотенузы ( стороны, противолежащей прямому углу), а и — длины катетов ( остальных двух сторон). Пифагоровы тройки — это целые числа, удовлетворяющие этому уравнению. Эта теорема была доказана еще в древности и является предложением I.47 в « Началах » Евклида : «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен квадратам на сторонах, содержащих прямой угол».${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a,b,c}$

Как и в любом треугольнике, площадь равна половине основания, умноженного на соответствующую высоту. В прямоугольном треугольнике, если один катет взять за основание, то другой — за высоту, поэтому площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух катетов. Как формула, площадь равна${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}$

где и - катеты треугольника.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Если вписанная окружность касается гипотенузы в точке , то, приняв полупериметр за , мы имеем и а площадь определяется по формуле${\displaystyle AB}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$${\displaystyle |PA|=s-a}$${\displaystyle |PB|=s-b,}$

${\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|=(s-a)(s-b).}$

Эта формула применима только к прямоугольным треугольникам. ^[1]

Если из вершины провести высоту под прямым углом к ​​гипотенузе, то треугольник разделится на два меньших треугольника, которые оба подобны исходному и, следовательно, подобны друг другу. Отсюда:

• Высота к гипотенузе равна среднему геометрическому ( среднему пропорциональному ) двум отрезкам гипотенузы. ^{[2] : 243}
• Каждый катет треугольника представляет собой среднее пропорциональное гипотенузе и части гипотенузы, прилегающей к катету.

В уравнениях,

${\displaystyle f^{2}=de,}$(иногда это называют теоремой о высоте прямоугольного треугольника )

${\displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle a^{2}=cd}$

где показаны на диаграмме. ^[3] Таким образом${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}$

Более того, высота к гипотенузе связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}$

Решения этого уравнения в целых значениях см . здесь .${\displaystyle a,b,c,f,}$

Высота от любой из сторон совпадает с другой стороной. Поскольку они пересекаются в прямоугольной вершине, ортоцентр прямоугольного треугольника — пересечение его трех высот — совпадает с прямоугольной вершиной.

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой равен${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}$

Радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы,

${\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}$

Таким образом, сумма радиусов описанной и вписанной окружностей равна половине суммы катетов: ^[6]

${\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}.}$

Один из катетов можно выразить через вписанный радиус, а другой катет как

${\displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}$

Треугольник со сторонами , полупериметром , площадью , высотой, противолежащей самой длинной стороне, радиусом описанной окружности, вписанным радиусом , касательной к соответственно, и медианами является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда верно любое из утверждений в следующих шести категориях. Каждое из них, таким образом, также является свойством любого прямоугольного треугольника.${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle a\leq b<c}$ ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle h_{c}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}}$${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}$

• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Pythagorean theorem}})}$
• ${\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}$
• ${\displaystyle s=2R+r.}$^[7]
• ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}$^[8]

• ${\displaystyle A}$и являются взаимодополняющими . ^[9]${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}$^[10]
• ${\displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}$

• ${\displaystyle T={\frac {ab}{2}}}$
• ${\displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}$
• ${\displaystyle T=r(2R+r)}$
• ${\displaystyle T={\frac {(2s-c)^{2}-c^{2}}{4}}=s(s-c)}$
• ${\displaystyle T=|PA|\cdot |PB|,}$где точка касания вписанной окружности на самой длинной стороне ^[11]${\displaystyle P}$${\displaystyle AB.}$

• ${\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}$
• ${\displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}$
• ${\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
• ${\displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.}$^[12]

• ${\displaystyle h_{c}={\frac {ab}{c}}}$
• ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.}$^{[6] : Проб. 954, стр. 26}
• Длина одной медианы равна радиусу описанной окружности .
• Самая короткая высота (из вершины с наибольшим углом) — это геометрическое среднее отрезков , на которые она делит противоположную (самую длинную) сторону. Это теорема о высоте прямоугольного треугольника .

• Треугольник можно вписать в полукруг , одна сторона которого совпадает со всем диаметром ( теорема Фалеса ).
• Центр описанной окружности находится в середине самой длинной стороны.
• Самая длинная сторона — диаметр описанной окружности. ${\displaystyle (c=2R).}$
• Описанная окружность касается окружности девяти точек . ^[8]
• Ортоцентр лежит на описанной окружности. ^[6 ]
• Расстояние между инцентром и ортоцентром равно . ^[6]${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$

Тригонометрические функции для острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для заданного угла можно построить прямоугольный треугольник с этим углом и сторонами, обозначенными как противолежащая, прилежащая и гипотенуза относительно этого угла в соответствии с определениями выше. Эти отношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а только от заданного угла, поскольку все треугольники, построенные таким образом, подобны . Если для заданного угла α противолежащая сторона, прилежащая сторона и гипотенуза обозначены и соответственно, то тригонометрические функции будут${\displaystyle O,}$ ${\displaystyle A,}$${\displaystyle H,}$

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.}$

Для выражения гиперболических функций в виде отношения сторон прямоугольного треугольника см. гиперболический треугольник гиперболического сектора .

Значения тригонометрических функций можно точно оценить для определенных углов, используя прямоугольные треугольники со специальными углами. К ним относятся треугольник 30-60-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любого кратного и равнобедренный прямоугольный треугольник или треугольник 45-45-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любого кратного${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\pi ,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi .}$

Пусть и будут средним гармоническим , средним геометрическим и средним арифметическим двух положительных чисел и с Если прямоугольный треугольник имеет катеты и и гипотенузу, то ^[13]${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle G,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a>b.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A,}$

${\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi ,\qquad {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},}$

где золотое сечение . Поскольку стороны этого прямоугольного треугольника находятся в геометрической прогрессии , это треугольник Кеплера .${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}}$

Теорема Фалеса гласит, что если — диаметр окружности, а — любая другая точка окружности, то — прямоугольный треугольник с прямым углом в Обратное утверждение гласит, что гипотенуза прямоугольного треугольника — диаметр описанной окружности . Как следствие, центр описанной окружности находится в середине диаметра, поэтому медиана, проходящая через прямоугольную вершину, является радиусом, а радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы.${\displaystyle BC}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle A.}$

Для медиан прямоугольного треугольника справедливы следующие формулы :

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}$

Медиана гипотенузы прямоугольного треугольника делит треугольник на два равнобедренных треугольника, поскольку медиана равна половине гипотенузы.

Средние линии и линии от ног удовлетворяют ^{[6] : стр.136, №3110}${\displaystyle m_{a}}$${\displaystyle m_{b}}$

${\displaystyle 4c^{4}+9a^{2}b^{2}=16m_{a}^{2}m_{b}^{2}.}$

В прямоугольном треугольнике линия Эйлера содержит медиану на гипотенузе, то есть проходит как через прямоугольную вершину, так и через середину стороны, противоположной этой вершине. Это происходит потому, что ортоцентр прямоугольного треугольника, пересечение его высот, приходится на прямоугольную вершину, в то время как его описанный центр, пересечение его перпендикулярных серединных сторон , приходится на середину гипотенузы.

В любом прямоугольном треугольнике диаметр вписанной окружности меньше половины гипотенузы, и, что еще лучше, он меньше или равен произведению гипотенузы ^{[14] : стр.281}${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1).}$

В прямоугольном треугольнике с катетами и гипотенузой${\displaystyle a,b}$${\displaystyle c,}$

${\displaystyle c\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+b)}$

с равенством только в равнобедренном случае. ^{[14] : стр.282, стр.358}

Если обозначена высота от гипотенузы, то${\displaystyle h_{c},}$

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b)}$

с равенством только в равнобедренном случае. ^{[14] : стр.282}

Если отрезки длин и , исходящие из вершины, делят гипотенузу на отрезки длины , то ^{[2] : стр. 216–217}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}c,}$

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}$

Прямоугольный треугольник — единственный треугольник, имеющий два, а не один или три отдельных вписанных квадрата. ^[15]

Даны любые два положительных числа и Пусть и будут сторонами двух вписанных квадратов в прямоугольный треугольник с гипотенузой Тогда${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h>k.}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle c.}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}$

Эти стороны и радиус вписанной окружности связаны аналогичной формулой:${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}.}$

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме радиусов вписанной и трех вневписанных окружностей :

${\displaystyle a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}.}$

• Остроугольные и тупоугольные треугольники (косые треугольники)
• Спираль Феодора

• Вайсштейн, Эрик В. «Прямоугольный треугольник». MathWorld .
• Вентворт, Джорджия (1895). Учебник геометрии. Джинн и Ко.

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Прямоугольные треугольники» .

• Калькулятор для прямоугольных треугольников Архивировано 2017-09-30 на Wayback Machine
• Расширенный калькулятор прямоугольного треугольника