Локальная дзета-функция

В теории чисел локальная дзета-функция Z ( V ,  s ) (иногда называемая конгруэнтной дзета-функцией или дзета-функцией Хассе–Вейля ) определяется как

${\displaystyle Z(V,s)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}(q^{-s})^{k}\right)}$

где V — неособое n -мерное проективное алгебраическое многообразие над полем F _q с q элементами, а N _k — число точек V, определенных над конечным расширением поля F _{q ^k} поля F _q . ^[1]

Выполнив преобразование переменной t  =  q ^{− s} , получим

${\displaystyle {\mathit {Z}}(V,t)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }N_{k}{\frac {t^{k}}{k}}\right)}$

как формальный степенной ряд по переменной .${\displaystyle т}$

Эквивалентно, локальная дзета-функция иногда определяется следующим образом:

${\displaystyle (1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1\,}$

${\displaystyle (2)\ \ {\frac {d}{dt}}\log {\mathit {Z}}(V,t)=\sum _{k=1}^{\infty }N_{k} т^{к-1}\ .}$

Другими словами, локальная дзета-функция Z ( V ,  t ) с коэффициентами в конечном поле F _q определяется как функция, логарифмическая производная которой порождает число N _k решений уравнения, определяющего V в расширении степени k F _{q ^k} .

Для данного конечного поля F с точностью до изоморфизма существует только одно поле F _k с

${\displaystyle [F_{k}:F]=k\,}$,

для k = 1, 2, ... . Когда F — уникальное поле с q элементами, F _k — уникальное поле с элементами. Учитывая набор полиномиальных уравнений — или алгебраическое многообразие V — определенное над F , мы можем подсчитать число${\displaystyle q^{k}}$

${\displaystyle N_{k}\,}$

решений в F _k и создаем производящую функцию

${\displaystyle G(t)=N_{1}t+N_{2}t^{2}/2+N_{3}t^{3}/3+\cdots \,}$.

Правильное определение для Z ( t ) — это приравнять log Z к G , поэтому

${\displaystyle Z=\exp(G(t))\,}$

и Z (0) = 1, так как G (0) = 0, а Z ( t ) априори является формальным степенным рядом .

Логарифмическая производная

${\displaystyle Z'(t)/Z(t)\,}$

равно производящей функции

${\displaystyle G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

Например, предположим, что все N _k равны 1; это происходит, например, если мы начинаем с уравнения типа X = 0, так что геометрически мы принимаем V за точку. Тогда

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)}$

является расширением логарифма (для | t | < 1). В этом случае имеем

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)}}\ .}$

Чтобы взять что-то более интересное, пусть V будет проективной прямой над F. Если F имеет q элементов, то это имеет q + 1 точек, включая одну точку на бесконечности . Следовательно, мы имеем

${\displaystyle N_{k}=q^{k}+1}$

и

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)}$

для | t | достаточно малого, и поэтому

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\ .}$

Первое исследование этих функций было в диссертации 1923 года Эмиля Артина . Он получил результаты для случая гиперэллиптической кривой и предположил дальнейшие основные положения теории применительно к кривым. Затем теория была развита Ф. К. Шмидтом и Гельмутом Хассе . ^[2] Самые ранние известные нетривиальные случаи локальных дзета-функций были неявно изложены в Disquisitiones Arithmeticae Карла Фридриха Гаусса , статья 358. Там некоторые частные примеры эллиптических кривых над конечными полями, имеющими комплексное умножение, имеют свои точки, подсчитанные с помощью циклотомии . ^[3]

Определения и некоторые примеры см. также ^{[4] .}

Связь между определениями G и Z можно объяснить несколькими способами. (См., например, формулу бесконечного произведения для Z ниже.) На практике это делает Z рациональной функцией t , что интересно даже в случае V — эллиптической кривой над конечным полем.

Локальные дзета-функции Z умножаются для получения глобальных дзета-функций,${\displaystyle \дзета}$

${\displaystyle \zeta =\prod Z}$

Они обычно включают в себя различные конечные поля (например, целое семейство полей Z / p Z , где p пробегает все простые числа ).

В этих полях переменная t заменяется на p ^−s , где s — комплексная переменная, традиционно используемая в рядах Дирихле . (Подробнее см. дзета-функция Хассе–Вейля .)

Глобальные продукты Z в двух случаях, использованных в качестве примеров в предыдущем разделе, таким образом, получаются как и после сдачи в аренду .${\displaystyle \дзета (с)}$${\displaystyle \дзета (с)\дзета (с-1)}$${\displaystyle q=p}$

Для проективных кривых C над F , которые не являются особыми , можно показать, что

${\displaystyle Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}\ ,}$

где P ( t ) — многочлен степени 2 g , где g — род C . Переписываем

${\displaystyle P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,}$

гипотеза Римана для кривых над конечными полями состояний

${\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2}\ .}$

Например, для случая эллиптической кривой есть два корня, и легко показать, что абсолютные значения корней равны q ^1/2 . Теорема Хассе заключается в том, что они имеют одинаковое абсолютное значение; и это имеет непосредственные последствия для числа точек.

Андре Вейль доказал это для общего случая около 1940 года ( примечание Comptes Rendus , апрель 1940 г.): в последующие годы он провел много времени, излагая соответствующую алгебраическую геометрию . Это привело его к общим гипотезам Вейля . Александр Гротендик разработал теорию схем с целью их разрешения. Поколение спустя Пьер Делинь завершил доказательство. (См. étale cohomology для основных формул общей теории.)

Это является следствием формулы следа Лефшеца для морфизма Фробениуса, что

${\displaystyle Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.}$

Здесь — разделенная схема конечного типа над конечным полем F с элементами, а Frob _q — геометрический Фробениус, действующий на -адических этальных когомологиях с компактными носителями , подъем до алгебраического замыкания поля F . Это показывает, что дзета-функция является рациональной функцией от .${\displaystyle X}$${\displaystyle д}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle {\overline {X}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle т}$

Формула бесконечного произведения для имеет вид${\displaystyle Z(X,t)}$

${\displaystyle Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}.}$

Здесь произведение пробегает все замкнутые точки x множества X , а deg( x ) — это степень x . Локальная дзета-функция Z(X, t) рассматривается как функция комплексной переменной s посредством замены переменных q ^{− s} .

В случае, когда X — это многообразие V, обсуждавшееся выше, замкнутые точки — это классы эквивалентности x=[P] точек P на , где две точки эквивалентны, если они сопряжены над F . Степень x — это степень расширения поля F, порожденного координатами P . Легко видеть, что логарифмическая производная бесконечного произведения Z(X, t) — это производящая функция, обсуждавшаяся выше, а именно${\displaystyle {\overline {V}}}$

${\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

• Список дзета-функций
• Догадки Вейля
• Эллиптическая кривая