уравнение Ричардса

Уравнение Ричардса описывает движение воды в ненасыщенных почвах и приписывается Лоренцо А. Ричардсу , который опубликовал это уравнение в 1931 году. [1] Это квазилинейное уравнение в частных производных ; его аналитическое решение часто ограничивается определенными начальными и граничными условиями. [2] Доказательство существования и единственности решения было дано только в 1983 году Альтом и Лукхаусом . [3] Уравнение основано на законе Дарси-Бекингема [1], описывающем поток в пористой среде в условиях переменной насыщенности, который формулируется как

д → = − К ( θ ) ( ∇ час + ∇ з ) , {\displaystyle {\vec {q}}=-\mathbf {K} (\theta)(\nabla h+\nabla z),}

где

д → {\displaystyle {\vec {q}}} - объемный поток ;
θ {\displaystyle \тета} объемное содержание воды ;
час {\displaystyle ч} — напор жидкости , который отрицателен для ненасыщенных пористых сред;
К ( час ) {\displaystyle \mathbf {К} (ч)} - ненасыщенная гидравлическая проводимость;
∇ з {\displaystyle \набла z} — геодезический градиент напора, который предполагается как для трехмерных задач. ∇ з = ( 0 0 1 ) {\displaystyle \nabla z=\left({\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}}\right)}

Учитывая закон сохранения массы для несжимаемой пористой среды и постоянной плотности жидкости, выражаемый как

∂ θ ∂ т + ∇ ⋅ д → + С = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {q}}+S=0} ,

где

С {\displaystyle S} это термин поглощения воды [T ], обычно поглощение воды корнями. [4] − 1 {\displaystyle ^{-1}}

Затем, подставляя потоки по закону Дарси-Бекингема, получаем следующее смешанное уравнение Ричардса:

∂ θ ∂ т = ∇ ⋅ К ( час ) ( ∇ час + ∇ з ) − С {\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}} = \nabla \cdot \mathbf {K} (h)(\nabla h+\nabla z)-S} .

Для моделирования одномерной инфильтрации эта форма дивергенции сводится к

∂ θ ∂ т = ∂ ∂ з ( К ( θ ) ( ∂ час ∂ з + 1 ) ) − С {\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mathbf {K} (\theta )\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+1\right)\right)-S} .

Хотя авторство уравнения приписывают Л. А. Ричардсу, первоначально оно было введено на 9 лет раньше Льюисом Фраем Ричардсоном в 1922 году. [5] [6]

Формулировки

Уравнение Ричардса появляется во многих статьях в экологической литературе, поскольку оно описывает поток в зоне аэрации между атмосферой и водоносным горизонтом. Оно также появляется в чисто математических журналах, поскольку имеет нетривиальные решения. Приведенная выше смешанная формулировка включает две неизвестные переменные: и . Это можно легко решить, рассмотрев конститутивное соотношение , которое известно как кривая удержания воды . Применяя цепное правило , уравнение Ричардса можно переформулировать как уравнение Ричардса в -форме (основанное на напоре) или -форме (основанное на насыщении). θ {\displaystyle \тета} час {\displaystyle ч} θ ( час ) {\displaystyle \тета (ч)} час {\displaystyle ч} θ {\displaystyle \тета}

Головной

Применение цепного правила к временной производной приводит к

∂ θ ( час ) ∂ т = г θ г час ∂ час ∂ т {\displaystyle {\frac {\partial \theta (h)}{\partial t}}={\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}{\frac {\partial h}{\partial t}}} ,

где известно как удерживающая способность воды . Уравнение тогда записывается как г θ г час {\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}} С ( час ) {\displaystyle C(h)}

С ( час ) ∂ час ∂ т = ∇ ⋅ ( К ( час ) ∇ час + ∇ з ) − С {\displaystyle C(h){\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {K} (h)\nabla h+\nabla z\right)-S} .

Уравнение Ричардса, основанное на голове, подвержено следующей вычислительной проблеме: дискретизированная временная производная с использованием неявного метода Роте дает следующее приближение:

Δ θ Δ т ≈ С ( час ) Δ час Δ т , и так Δ θ Δ т − С ( час ) Δ час Δ т = ε . {\displaystyle {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}\approx C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}},\quad {\mbox{and so}}\quad {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}-C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}}=\varepsilon .}

Это приближение приводит к ошибке , которая влияет на сохранение массы численного решения, поэтому необходимы специальные стратегии для обработки временных производных. [7] ε {\displaystyle \varepsilon }

На основе насыщения

Применение цепного правила к пространственной производной приводит к

K ( h ) ∇ h = K ( h ) d h d θ ∇ θ , {\displaystyle \mathbf {K} (h)\nabla h=\mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}\nabla \theta ,}

где , который можно было бы далее сформулировать как , известен как коэффициент диффузии почвенной воды . Уравнение тогда записывается как K ( h ) d h d θ {\displaystyle \mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}} K ( θ ) C ( θ ) {\displaystyle {\frac {\mathbf {K} (\theta )}{C(\theta )}}} D ( θ ) {\displaystyle \mathbf {D} (\theta )}

∂ θ ∂ t = ∇ ⋅ D ( θ ) ∇ θ − S . {\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {D} (\theta )\nabla \theta -S.}

Уравнение Ричардса, основанное на насыщении, подвержено следующим вычислительным проблемам. Поскольку пределы и , где — насыщенное (максимальное) содержание воды, а — остаточное (минимальное) содержание воды, успешное численное решение ограничено только для диапазонов содержания воды, удовлетворительных ниже полного насыщения (насыщенность должна быть даже ниже значения входа воздуха ), а также удовлетворительных выше остаточного содержания воды. [8] lim θ → θ s | | D ( θ ) | | = ∞ {\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{s}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty } lim θ → θ r | | D ( θ ) | | = ∞ {\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{r}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty } θ s {\displaystyle \theta _{s}} θ r {\displaystyle \theta _{r}}

Параметризация

Уравнение Ричардса в любой из его форм включает гидравлические свойства почвы, которые представляют собой набор из пяти параметров, представляющих тип почвы. Гидравлические свойства почвы обычно состоят из параметров кривой удержания воды по Ван Генухтену: [9] ( ), где - величина, обратная значению поступления воздуха [L −1 ], - параметр распределения размеров пор [-], и обычно предполагается как . Кроме того, также должна быть предоставлена ​​насыщенная гидравлическая проводимость (которая для неизотропной среды является тензором второго порядка). Идентификация этих параметров часто нетривиальна и была предметом многочисленных публикаций на протяжении нескольких десятилетий. [10] [11] [12] [13] [14] [15] α , n , m , θ s , θ r {\displaystyle \alpha ,\,n,\,m,\,\theta _{s},\theta _{r}} α {\displaystyle \alpha } n {\displaystyle n} m {\displaystyle m} m = 1 − 1 n {\displaystyle m=1-{\frac {1}{n}}} K s {\displaystyle \mathbf {K} _{s}}

Ограничения

Численное решение уравнения Ричардса является одной из самых сложных проблем в науке о Земле. [16] Уравнение Ричардса критиковалось за его вычислительную дороговизну и непредсказуемость [17] [18] , поскольку нет гарантии, что решатель будет сходиться для определенного набора конститутивных соотношений почвы. Для преодоления этого препятствия требуются передовые вычислительные и программные решения. Метод также критиковался за чрезмерное подчеркивание роли капиллярности [19] и за то, что он в некотором смысле «чрезмерно упрощен» [20]. При одномерном моделировании инфильтрации осадков в сухие почвы требуется тонкая пространственная дискретизация менее одного см вблизи поверхности земли [21] , что обусловлено малым размером представительного элементарного объема для многофазного потока в пористой среде. В трехмерных приложениях численное решение уравнения Ричардса подчиняется ограничениям по соотношению сторон , где отношение горизонтального разрешения к вертикальному в области решения должно быть меньше примерно 7. [ необходима цитата ]

Ссылки

  1. ^ ab Richards, LA (1931). «Капиллярная проводимость жидкостей через пористые среды». Physics . 1 (5): 318–333. Bibcode :1931Physi...1..318R. doi :10.1063/1.1745010.
  2. ^ Трейси, ФТ (август 2006 г.). «Чистые двух- и трехмерные аналитические решения уравнения Ричардса для тестирования численных решателей: ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАМЕЧАНИЕ». Water Resources Research . 42 (8). doi : 10.1029/2005WR004638 . S2CID  119938184.
  3. ^ Вильгельм Альт, Ганс; Лукхаус, Стефан (1 сентября 1983 г.). «Квазилинейные эллиптико-параболические дифференциальные уравнения». Mathematische Zeitschrift . 183 (3): 311–341. дои : 10.1007/BF01176474. ISSN  1432-1823. S2CID  120607569.
  4. ^ Феддес, РА; Зарадни, Х. (1 мая 1978 г.). «Модель для моделирования содержания почвенной воды с учетом эвапотранспирации — Комментарии». Журнал гидрологии . 37 (3): 393–397. Bibcode : 1978JHyd...37..393F. doi : 10.1016/0022-1694(78)90030-6. ISSN  0022-1694.
  5. ^ Найт, Джон; Раатс, Питер. «Вклад Льюиса Фрая Ричардсона в теорию дренажа, физику почв и континуум почва-растение-атмосфера» (PDF) . Генеральная ассамблея EGU 2016.
  6. ^ Ричардсон, Льюис Фрай (1922). Прогноз погоды с помощью числового процесса. Кембридж, The University Press. С. 262.
  7. ^ Селия, Майкл А.; Булутас, Эфтимиос Т.; Зарба, Ребекка Л. (июль 1990 г.). «Общее численное решение уравнения ненасыщенного потока с сохранением массы». Water Resources Research . 26 (7): 1483–1496. Bibcode : 1990WRR....26.1483C. doi : 10.1029/WR026i007p01483.
  8. ^ Кураж, Михал; Майер, Петр; Лепш, Матей; Трпкошова, Дагмар (2010-04-15). "Адаптивная временная дискретизация классической и двойной модели пористости уравнения Ричардса". Журнал вычислительной и прикладной математики . Методы конечных элементов в инженерии и науке (FEMTEC 2009). 233 (12): 3167–3177. Bibcode : 2010JCoAM.233.3167K. doi : 10.1016/j.cam.2009.11.056. ISSN  0377-0427.
  9. ^ van Genuchten, M. Th. (сентябрь 1980 г.). "Уравнение замкнутой формы для прогнозирования гидравлической проводимости ненасыщенных почв". Журнал Американского общества почвоведов . 44 (5): 892–898. Bibcode : 1980SSASJ..44..892V. doi : 10.2136/sssaj1980.03615995004400050002x.
  10. ^ Иноуэ, М.; Шимунек, Дж.; Сиозава, С.; Хопманс, Дж. В. (июнь 2000 г.). «Одновременная оценка гидравлических параметров почвы и параметров переноса растворенных веществ из экспериментов по нестационарной инфильтрации». Advances in Water Resources . 23 (7): 677–688. Bibcode : 2000AdWR...23..677I. doi : 10.1016/S0309-1708(00)00011-7.
  11. ^ Фодор, Нандор; Шандор, Рената; Орфан, Томас; Лихнер, Любомир; Раджкай, Кальман (октябрь 2011 г.). «Метод оценки зависимости измеренной насыщенной гидравлической проводимости». Геодерма . 165 (1): 60–68. Бибкод : 2011Geode.165...60F. doi :10.1016/j.geoderma.2011.07.004.
  12. ^ Ангуло-Харамилло, Рафаэль; Вандервер, Жан-Пьер; Рулье, Стефани; Тони, Жан-Луи; Годе, Жан-Поль; Воклен, Мишель (май 2000 г.). «Полевые измерения гидравлических свойств поверхности почвы с помощью дисковых и кольцевых инфильтрометров». Исследования почвы и обработки почвы . 55 (1–2): 1–29. doi :10.1016/S0167-1987(00)00098-2.
  13. ^ Köhne, J. Maximilian; Mohanty, Binayak P.; Šimůnek, Jirka (январь 2006 г.). «Моделирование обратной двойной проницаемости предпочтительного потока воды в почвенной колонке и его значение для переноса растворенных веществ в масштабе поля». Vadose Zone Journal . 5 (1): 59–76. Bibcode :2006VZJ.....5...59K. doi :10.2136/vzj2005.0008. ISSN  1539-1663. S2CID  781417.
  14. ^ Younes, Anis; Mara, Thierry; Fahs, Marwan; Grunberger, Olivier; Ackerer, Philippe (3 мая 2017 г.). «Оценка гидравлических и транспортных параметров с использованием экспериментов по инфильтрации в колоннах». Гидрология и науки о системах Земли . 21 (5): 2263–2275. Bibcode : 2017HESS...21.2263Y. doi : 10.5194/hess-21-2263-2017 . ISSN  1607-7938.
  15. ^ Кураз, Михал; Ячка, Лукаш; Рут Блехер, Йоханна; Лепш, Матей (1 ноября 2022 г.). «Автоматизированная методология калибровки для избежания проблем сходимости во время обратной идентификации гидравлических свойств грунта». Достижения в области инженерного программного обеспечения . 173 : 103278. doi : 10.1016/j.advengsoft.2022.103278. ISSN  0965-9978. S2CID  252508220.
  16. ^ Фартинг, Мэтью В. и Фред Л. Огден, (2017). Численное решение уравнения Ричардса: обзор достижений и проблем. Журнал Американского общества почвоведов , 81(6), стр.1257-1269.
  17. ^ Short, D., WR Dawes и I. White, (1995). Практическая возможность использования уравнения Ричардса для универсальных моделей динамики почв и воды. Envir. Int'l . 21(5):723-730.
  18. ^ Точчи, МД, К. Т. Келли и К. Т. Миллер (1997), Точное и экономичное решение уравнения Ричардса в форме напора методом прямых, Adv. Wat. Resour. , 20(1), 1–14.
  19. ^ Германн, П. (2010), Комментарий к «Теории моделирования ненасыщенного потока с учетом источника и свободной поверхности», Vadose Zone J. 9(4), 1000-1101.
  20. ^ Грей, В. Г. и С. Хассанизаде (1991), Парадоксы и реалии в теории ненасыщенного потока, Water Resour. Res. , 27(8), 1847-1854.
  21. ^ Даунер, Чарльз В. и Фред Л. Огден (2003), Hydrol. Proc. , 18, стр. 1-22. DOI:10.1002/hyp.1306.

Смотрите также

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Richards_equation&oldid=1221507682"