Распределение риса

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\displaystyle \nu \geq 0}$, расстояние между точкой отсчета и центром двумерного распределения, , масштаб ${\displaystyle \сигма \geq 0}$
Поддерживать	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)}$
СДФ	${\displaystyle 1-Q_{1}\left({\frac {\nu }{\sigma }},{\frac {x}{\sigma }}\right)}$ где Q 1 — это Q-функция Маркума
Иметь в виду	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})}$
Дисперсия	${\displaystyle 2\сигма ^{2}+\ну ^{2}-{\frac {\пи \сигма ^{2}}{2}}L_{1/2}^{2}\left({\frac {-\ну ^{2}}{2\сигма ^{2}}}\right)}$
Асимметрия	(сложный)
Избыточный эксцесс	(сложный)

В теории вероятностей распределение Райса или распределение Райса (или, реже, распределение Райса ) — это распределение вероятностей величины циркулярно-симметричной двумерной нормальной случайной величины , возможно, с ненулевым средним (нецентральное). Оно было названо в честь Стивена О. Райса (1907–1986).

Функция плотности вероятности имеет вид

${\displaystyle f(x\mid \nu ,\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right),}$

где I ₀ ( z ) — модифицированная функция Бесселя первого рода с нулевым порядком.

В контексте замирания Райса распределение часто также переписывается с использованием параметра формы , определяемого как отношение вклада мощности по пути прямой видимости к оставшимся многолучевым распространениям, и параметра масштаба , определяемого как общая мощность, полученная по всем путям. ^[1]${\displaystyle K={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle \Omega =\nu ^{2}+2\sigma ^{2}}$

Характеристическая функция распределения Райса имеет вид: ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{X}(t\mid \nu ,\sigma )=\exp \left(-{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)&\left[\Psi _{2}\left(1;1,{\frac {1}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right.\\[8pt]&\left.{}+i{\sqrt {2}}\sigma t\Psi _{2}\left({\frac {3}{2}};1,{\frac {3}{2}};{\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}},-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\right)\right],\end{align}}}$

где — одна из конфлюэнтных гипергеометрических функций Хорна с двумя переменными, сходящихся для всех конечных значений и . Она задается как: ^{[4] [5]}${\displaystyle \Psi _{2}\left(\альфа ;\гамма ,\гамма ';x,y\right)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle у}$

${\displaystyle \Psi _{2}\left(\alpha ;\gamma ,\gamma ';x,y\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{m+n}}{(\gamma )_{m}(\gamma ')_{n}}}{\frac {x^{m}y^{n}}{m!n!}},}$

где

${\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\cdots (x+n-1)={\frac {\Гамма (x+n)}{\Гамма (x)}}}$

это восходящий факториал .

Вот первые несколько сырых моментов :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}^{'}&=\sigma {\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{1/2}(-\nu ^{2 }/2\sigma ^{2})\\\mu _{2}^{'}&=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}\,\\\mu _{3}^{'}&=3\sigma ^{3}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{3/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^ {2})\\\mu _{4}^{'}&=8\sigma ^{4}+8\sigma ^{2}\nu ^{2}+\nu ^{4}\,\\ \му _{5}^{'}&=15\сигма ^{5}{\sqrt {\pi /2}}\,\,L_{5/2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2})\\\mu _{6}^ {'}&=48\sigma ^{6}+72\sigma ^{4}\nu ^{2}+18\sigma ^{2}\nu ^{4}+\nu ^{6}\end{aligned}}}$

и, в общем, сырые моменты задаются

${\displaystyle \mu _{k}^{'}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1\!+\!k/2)\,L_{k/2} (-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).\,}$

Здесь L _q ( x ) обозначает полином Лагерра :

${\displaystyle L_{q}(x)=L_{q}^{(0)}(x)=M(-q,1,x)=\,_{1}F_{1}(-q;1;x)}$

где — конфлюэнтная гипергеометрическая функция первого рода. Когда k четно, сырые моменты становятся простыми полиномами по σ и ν , как в примерах выше.${\displaystyle M(a,b,z)=_{1}F_{1}(a;b;z)}$

Для случая q = 1/2:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1/2}(x)&=\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {1}{2}};1;x\right)\\&=e^{x/2}\left[\left(1-x\right)I_{0}\left(-{\frac {x}{2}}\right)-xI_{1}\left(-{\frac {x}{2}}\right)\right].\end{aligned}}}$

Второй центральный момент , дисперсия , равен

${\displaystyle \mu _{2}=2\sigma ^{2}+\nu ^{2}-(\pi \sigma ^{2}/2)\,L_{1/2}^{2}(-\nu ^{2}/2\sigma ^{2}).}$

Обратите внимание, что указывает на квадрат полинома Лагерра , а не на обобщенный полином Лагерра.${\displaystyle L_{1/2}^{2}(\cdot )}$${\displaystyle L_{1/2}(\cdot )}$${\displaystyle L_{1/2}^{(2)}(\cdot ).}$

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(|\nu |,\sigma \right)}$если где и являются статистически независимыми нормальными случайными величинами, а — любое действительное число.${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$${\displaystyle X\sim N\left(\nu \cos \theta ,\sigma ^{2}\right)}$${\displaystyle Y\sim N\left(\nu \sin \theta ,\sigma ^{2}\right)}$${\displaystyle \theta }$
• Другой случай, когда необходимо выполнить следующие шаги:${\displaystyle R\sim \mathrm {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)}$
  1. Сгенерировать, имея распределение Пуассона с параметром (также средним, для Пуассона)${\displaystyle P}$${\displaystyle \lambda ={\frac {\nu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}.}$
  2. Сгенерировать распределение хи -квадрат с 2 P + 2 степенями свободы.${\displaystyle X}$
  3. Набор${\displaystyle R=\sigma {\sqrt {X}}.}$
• Если то имеет нецентральное распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы и параметром нецентральности .${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (\nu ,1)}$${\displaystyle R^{2}}$${\displaystyle \nu ^{2}}$
• Если то имеет нецентральное хи-распределение с двумя степенями свободы и параметром нецентральности .${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (\nu ,1)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \nu }$
• Если тогда , т.е. для частного случая распределения Райса, заданного выражением , распределение становится распределением Рэлея , для которого дисперсия равна .${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$${\displaystyle R\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma )}$${\displaystyle \nu =0}$${\displaystyle \mu _{2}={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$
• Если то имеет экспоненциальное распределение . ^[6]${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} (0,\sigma )}$${\displaystyle R^{2}}$
• Если тогда имеет обратное райсовское распределение. ^[7]${\displaystyle R\sim \operatorname {Rice} \left(\nu ,\sigma \right)}$${\displaystyle 1/R}$
• Сложенное нормальное распределение является одномерным частным случаем распределения Райса.

При больших значениях аргумента полином Лагерра принимает вид ^[8]

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }L_{\nu }(x)={\frac {|x|^{\nu }}{\Gamma (1+\nu )}}.}$

Видно, что когда ν становится большим или σ становится маленьким, среднее значение становится ν , а дисперсия становится σ ² .

Переход к гауссовой аппроксимации происходит следующим образом. Из теории функций Бесселя имеем

${\displaystyle I_{\alpha }(z)\to {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+\cdots \right){\text{ as }}z\rightarrow \infty }$

Итак, в большой области асимптотическое разложение распределения Райса:${\displaystyle x\nu /\sigma ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,\nu ,\sigma )={}&{\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right)I_{0}\left({\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\right)\\{\text{ is }}\\&{\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left({\frac {-(x^{2}+\nu ^{2})}{2\sigma ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{2\pi x\nu }}}\exp \left({\frac {2x\nu }{2\sigma ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\sigma ^{2}}{8x\nu }}+\cdots \right)\\\rightarrow {}&{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\nu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right){\sqrt {\frac {x}{\nu }}},\;\;\;{\text{ as }}{\frac {x\nu }{\sigma ^{2}}}\rightarrow \infty \end{aligned}}}$

Более того, когда плотность сосредоточена вокруг и из-за гауссовой экспоненты, мы также можем записать и в конечном итоге получить нормальное приближение${\textstyle \nu }$${\textstyle |x-\nu |\ll \sigma }$${\textstyle {\sqrt {{x}/{\nu }}}\approx 1}$

${\displaystyle f(x,\nu ,\sigma )\approx {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\nu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),\;\;\;{\frac {\nu }{\sigma }}\gg 1}$

Приближение становится пригодным для использования${\displaystyle {\frac {\nu }{\sigma }}>3}$

Существует три различных метода оценки параметров распределения Райса: (1) метод моментов , ^{[9] [10] [11] [12]} (2) метод максимального правдоподобия , ^{[9] [10] [11] [13]} и (3) метод наименьших квадратов. ^{[ требуется ссылка ]} В первых двух методах интерес представляет оценка параметров распределения, ν и σ, из выборки данных. Это можно сделать с помощью метода моментов, например, выборочного среднего и выборочного стандартного отклонения. Выборочное среднее является оценкой μ ₁ ^' , а выборочное стандартное отклонение является оценкой μ ₂ ^1/2 .

Ниже приведен эффективный метод, известный как «метод инверсии Коая» ^[14] для решения оценочных уравнений , основанных на выборочном среднем и выборочном стандартном отклонении одновременно. Этот метод инверсии также известен как формула фиксированной точки SNR . Более ранние работы ^{[9] [15]} по методу моментов обычно использовали метод нахождения корня для решения задачи, что неэффективно.

Во-первых, отношение выборочного среднего к выборочному стандартному отклонению определяется как r , т.е. . Формула фиксированной точки SNR выражается как${\displaystyle r=\mu _{1}^{'}/\mu _{2}^{1/2}}$

${\displaystyle g(\theta )={\sqrt {\xi {(\theta )}\left[1+r^{2}\right]-2}},}$

где — отношение параметров, т.е. , и определяется по формуле:${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta ={\nu }/{\sigma }}$${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$

${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}=2+\theta ^{2}-{\frac {\pi }{8}}\exp {(-\theta ^{2}/2)}\left[(2+\theta ^{2})I_{0}(\theta ^{2}/4)+\theta ^{2}I_{1}(\theta ^{2}/4)\right]^{2},}$

где и — модифицированные функции Бесселя первого рода .${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle I_{1}}$

Обратите внимание, что является коэффициентом масштабирования и связан с соотношением:${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu _{2}}$

${\displaystyle \mu _{2}=\xi {\left(\theta \right)}\sigma ^{2}.}$

Чтобы найти неподвижную точку, , из , выбирается начальное решение, , которое больше нижней границы, которая равна и возникает, когда ^[14] (обратите внимание, что это распределения Рэлея). Это обеспечивает отправную точку для итерации, которая использует функциональную композицию, ^{[ необходимо разъяснение ]} и это продолжается до тех пор, пока не станет меньше некоторого небольшого положительного значения. Здесь обозначает композицию той же функции, , раз. На практике мы связываем финал для некоторого целого числа как неподвижную точку, , т.е. .${\displaystyle \theta ^{*}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\theta }_{0}}$${\displaystyle {\theta }_{\text{lower bound}}=0}$${\textstyle r={\sqrt {\pi /(4-\pi )}}}$${\displaystyle r=\mu _{1}^{'}/\mu _{2}^{1/2}}$${\displaystyle \left|g^{i}\left(\theta _{0}\right)-\theta _{i-1}\right|}$${\displaystyle g^{i}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \theta ^{*}}$${\displaystyle \theta ^{*}=g\left(\theta ^{*}\right)}$

После нахождения фиксированной точки оценки и находятся с помощью функции масштабирования следующим образом:${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi {\left(\theta \right)}}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {\mu _{2}^{1/2}}{\sqrt {\xi \left(\theta ^{*}\right)}}},}$

и

${\displaystyle \nu ={\sqrt {\left(\mu _{1}^{'~2}+\left(\xi \left(\theta ^{*}\right)-2\right)\sigma ^{2}\right)}}.}$

Чтобы еще больше ускорить итерацию, можно использовать метод Ньютона для нахождения корня. ^[14] Этот конкретный подход весьма эффективен.

• Евклидова норма двумерного кругово-симметричного нормально распределенного случайного вектора .
• Райсовское замирание (для многолучевой интерференции )
• Влияние ошибки прицеливания на стрельбу по мишеням. ^[16]
• Анализ разнесенных приемников в радиосвязи. ^{[17] [18]}
• Распределение эксцентриситетов для моделей внутренней части Солнечной системы после долгосрочного численного интегрирования . ^[19]

• Распределение Хойта
• Распределение Рэлея

• Абрамовиц, М. и Стеган, И.А. (ред.), Справочник по математическим функциям , Национальное бюро стандартов, 1964; перепечатано Dover Publications, 1965. ISBN 0-486-61272-4 
• Райс, С.О. , Математический анализ случайного шума. Bell System Technical Journal 24 (1945) 46–156.
• I. Soltani Bozchalooi; Ming Liang (20 ноября 2007 г.). «Подход к выбору параметров вейвлета при шумоподавлении и обнаружении неисправностей на основе индекса гладкости». Журнал звука и вибрации . 308 ( 1– 2): 253– 254. Bibcode :2007JSV...308..246B. doi :10.1016/j.jsv.2007.07.038.
• Ван, Донг; Чжоу, Цян; Цуй, Квок-Леунг (2017). «О распределении модуля коэффициентов вейвлета Габора и верхней границе безразмерного индекса гладкости в случае аддитивных гауссовых шумов: пересмотр». Журнал звука и вибрации . 395 : 393– 400. doi :10.1016/j.jsv.2017.02.013.
• Лю, С. и Ханзо, Л., Унифицированный точный анализ производительности BER асинхронных систем DS-CDMA с использованием модуляции BPSK по каналам с замиранием, IEEE Transactions on Wireless Communications, том 6, выпуск 10, октябрь 2007 г., стр. 3504–3509.
• Аннамалай, А., Телламбура, К. и Бхаргава, В.К., Характеристики приемника с равным усилением и разнесением в беспроводных каналах, Труды IEEE по коммуникациям, том 48, октябрь 2000 г., стр. 1732–1745.
• Эрдели, А., Магнус, В., Оберхеттингер, Ф. и Трикоми, Ф.Г., Высшие трансцендентные функции, том 1. Архивировано 11 августа 2011 г. в Wayback Machine McGraw-Hill Book Company Inc., 1953.
• Шривастава, Х. М. и Карлссон, П. В., Множественные гауссовские гипергеометрические ряды. Ellis Horwood Ltd., 1985.
• Sijbers J., den Dekker AJ, Scheunders P. и Van Dyck D., «Оценка максимального правдоподобия параметров распределения Райса» Архивировано 19 октября 2011 г. в Wayback Machine , IEEE Transactions on Medical Imaging, том 17, № 3, стр. 357–361, (1998)
• Варадараджан Д. и Халдар Дж. П., «Структура мажорирования-минимизации для райсовских и нецентральных изображений Хи-МРТ», Труды IEEE по медицинской визуализации, том 34, № 10, стр. 2191–2202, (2015)
• den Dekker, AJ; Sijbers, J (декабрь 2014 г.). «Распределение данных в магнитно-резонансных изображениях: обзор». Physica Medica . 30 (7): 725– 741. doi :10.1016/j.ejmp.2014.05.002. PMID  25059432.
• Коай, К. Г. и Бассер, П. Дж., Аналитически точная схема коррекции для извлечения сигнала из шумных магнитных сигналов МР, Журнал магнитного резонанса, том 179, выпуск = 2, стр. 317–322, (2006)
• Абди, А., Тепеделенлиоглу, К., Кавех, М. и Джаннакис, Г. Об оценке параметра K для распределения затухания Райса, IEEE Communications Letters, том 5, номер 3, март 2001 г., стр. 92–94.
• Талукдар, КК; Лоуинг, Уильям Д. (март 1991 г.). «Оценка параметров распределения Райса». Журнал Акустического Общества Америки . 89 (3): 1193– 1197. Bibcode : 1991ASAJ...89.1193T. doi : 10.1121/1.400532.
• Bonny, JM; Renou, JP; Zanca, M. (ноябрь 1996 г.). «Оптимальное измерение величины и фазы по данным МРТ». Журнал магнитного резонанса, серия B. 113 ( 2): 136– 144. Bibcode : 1996JMRB..113..136B. doi : 10.1006/jmrb.1996.0166. PMID  8954899.

• Код MATLAB для распределения Райса/Райса (PDF, среднее значение и дисперсия, а также генерация случайных выборок)