Возрождающаяся функция

Термин «возрождающаяся функция» (от лат . resurgere , вставать снова) происходит от теории возрождающихся функций и инопланетного исчисления французского математика Жана Экалле . Теория развилась из суммируемости расходящихся рядов (см. суммирование Бореля ) и рассматривает аналитические функции с изолированными сингулярностями . Он ввел этот термин в конце 1970-х годов. ^[1]

Ресургентные функции имеют приложения в асимптотическом анализе , в теории дифференциальных уравнений , в теории возмущений и в квантовой теории поля .

Для аналитических функций с изолированными особенностями можно вывести исчисление Алиена — специальную алгебру для их производных.

-Ресургентная функция является элементом , т.е. элементом вида из , где и является -продолжаемым ростком . ^[2]${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \mathbb {C} \delta \oplus {\hat {\mathcal {R}}}_{\Omega }}$${\displaystyle c\delta +{\hat {\phi }}}$${\displaystyle \mathbb {C} \delta \oplus \mathbb {C} \{\zeta \}}$${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$${\displaystyle {\hat {\phi }}}$${\displaystyle \Омега}$

Степенной ряд , формальное преобразование Бореля которого является -резургентной функцией, называется -резургентным рядом .${\displaystyle {\widetilde {\phi }}\in \mathbb {C} [[z^{-1}]]}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \Омега}$

Конвергенция в :${\displaystyle \infty}$

Формальный степенной ряд сходится в , если соответствующий формальный степенной ряд имеет положительный радиус сходимости. обозначает пространство формальных степенных рядов, сходящихся в . ^[2]${\displaystyle \phi (z)\in \mathbb {C} [[z^{-1}]]}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \psi (t)=\phi (1/z)\in \mathbb {C} [[t]]}$${\displaystyle \mathbb {C} \{z^{-1}\}}$${\displaystyle \infty}$

Формальное преобразование Бореля:

Формальное преобразование Бореля (названное в честь Эмиля Бореля ) — это оператор , определяемый формулой${\displaystyle {\mathcal {B}}:z^{-1}\mathbb {C} [[z^{-1}]]\to \mathbb {C} [[\zeta ]]}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}:\phi =\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{-n-1}\mapsto {\hat {\phi } }=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {\zeta ^{n}}{n!}}}$. ^[2]

Свертка в :${\displaystyle \mathbb {C} \{\zeta \}}$

Пусть , тогда свертка задается выражением${\displaystyle {\hat {\phi }}, {\hat {\psi }}\in \mathbb {C} [[\zeta ]]}$

${\displaystyle {\hat {\phi }}*{\hat {\psi }}:= {\mathcal {B}}[\phi \psi ]}$.

С помощью присоединения мы можем добавить единицу к свертке в и ввести векторное пространство , где мы обозначаем элемент с помощью . Используя соглашение, мы можем записать пространство как и определить${\displaystyle \mathbb {C} [[\zeta ]]}$${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} [[z]]}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle \дельта}$${\displaystyle \{0\}\times \mathbb {C} [[\zeta ]]:=\mathbb {C} [[\zeta ]]}$${\displaystyle \mathbb {C} \delta \oplus \mathbb {C} [[z]]}$

${\displaystyle (a\delta +{\hat {\phi }})*(b\delta +{\hat {\psi }}):=ab\delta +a {\hat {\psi }}+b{ \hat {\phi }}+{\hat {\phi }}*{\hat {\psi }}}$

и установить . ^[2]${\displaystyle {\mathcal {B}}1:=\delta }$

${\displaystyle \Омега}$-пересуммируемое семя:

Пусть будет непустым дискретным подмножеством и определим .${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {D} _{R}=\{\zeta \in \mathbb {C} \mid |\zeta -0|<R\}\setminus \{0\}}$

Пусть — радиус сходимости . Является -продолжаемым семенем , если существует такое, что и , и аналитическое продолжение вдоль некоторого пути в , начинающегося в точке из .${\displaystyle r}$${\displaystyle {\hat {\phi }}}$${\displaystyle {\hat {\phi }}}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle R}$${\displaystyle r\geq R>0}$${\displaystyle \mathbb {D} _{R}\cap \Omega =\emptyset }$${\displaystyle {\hat {\phi }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Omega }$${\displaystyle \mathbb {D} _{R}}$

${\displaystyle {\hat {\mathcal {R}}}_{\Omega }}$обозначает пространство -продолжаемых ростков в . ^[2]${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \mathbb {C} \{\zeta \}}$

• Les Fonctions Résurgentes , Жан Экаль, тт. 1–3, изд. Математика. Орсе, 1981–1985 гг.
• Расходящиеся ряды, суммируемость и возрождение I , Клод Митчи и Дэвид Созин, Springer Verlag
• «Экскурсия по теории возрождения», Жан Экаль