Адаптивное расширение набора

В теории полезности расширение набора ответов ( RS ) представляет собой расширение отношения предпочтения отдельных элементов до частичного отношения предпочтения наборов элементов.

Предположим, что есть четыре элемента: Человек утверждает, что он ранжирует элементы в следующем общем порядке :${\displaystyle w,x,y,z}$

${\displaystyle w\prec x\prec y\prec z}$

(т.е. z — его лучший предмет, затем y, затем x, затем w). Предполагая, что предметы являются независимыми товарами , можно сделать вывод, что:

${\displaystyle \{w,x\}\prec \{y,z\}}$– человек предпочитает два своих лучших предмета двум худшим предметам;

${\displaystyle \{w,y\}\prec \{x,z\}}$– человек предпочитает свои лучшие и третьи по качеству предметы вторым и четвертым по качеству предметам.

Но мы не можем сделать никаких выводов о наборах ; мы не знаем, какой из них предпочитает человек.${\displaystyle \{w,z\},\{x,y\}}$

Расширение RS ранжирования представляет собой частичный порядок наборов элементов, включающий все отношения, которые можно вывести из ранжирования элементов и предположения о независимости.${\displaystyle w\prec x\prec y\prec z}$

Пусть будет набором объектов и общим порядком на .${\displaystyle О}$${\displaystyle \preceq}$${\displaystyle О}$

Расширение RS является частичным порядком на . Его можно определить несколькими эквивалентными способами. ^[1]${\displaystyle \preceq}$${\displaystyle 2^{O}}$

Исходное расширение RS ^{[2] : 44–48} строится следующим образом. Для каждого пучка , каждого элемента и каждого элемента , возьмем следующие соотношения:${\displaystyle X\subseteq O}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\notin X}$

• ${\displaystyle X\setminus \{x\}\prec ^{RS}X}$(- добавление элемента улучшает комплект)
• Если то (- замена элемента на лучший элемент улучшает комплект).${\displaystyle x\preceq y}$${\displaystyle X\preceq ^{RS}(X\setminus \{x\})\cup \{y\}}$

Расширение RS является транзитивным замыканием этих отношений.

Расширение PD основано на объединении элементов одного набора с элементами другого набора.

Формально, тогда и только тогда, когда существует инъективная функция из в такая, что для каждого , .${\displaystyle X\preceq ^{PD}Y}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x\preceq f(x)}$

Расширение SD (названное в честь стохастического доминирования ) определено не только для дискретных наборов, но и для дробных наборов (наборов, содержащих доли элементов). Неформально, набор Y является SD-предпочтительным по сравнению с набором X, если для каждого элемента z набор Y содержит по крайней мере столько же объектов, которые по крайней мере так же хороши, как z, как и набор X.

Формально, если и только если для каждого элемента :${\displaystyle X\preceq ^{SD}Y}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \sum _{x\succeq z}X[x]\leq \sum _{y\succeq z}Y[y]}$

где - доля товара в наборе .${\displaystyle X[x]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

Если пучки дискретны, определение имеет более простую форму. тогда и только тогда, для каждого элемента :${\displaystyle X\preceq ^{SD}Y}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle |\{x\in X|x\succeq z\}|\leq |\{y\in Y|y\succeq z\}|}$

Расширение AU основано на понятии аддитивной функции полезности .

Многие различные функции полезности совместимы с данным порядком. Например, порядок совместим со следующими функциями полезности:${\displaystyle w\prec x\prec y\prec z}$

${\displaystyle u_{1}(w)=0,u_{1}(x)=2,u_{1}(y)=4,u_{1}(z)=7}$

${\displaystyle u_{2}(w)=0,u_{2}(x)=2,u_{2}(y)=4,u_{2}(z)=5}$

Если предположить, что элементы независимы, то функция полезности наборов является аддитивной, поэтому полезность набора представляет собой сумму полезностей его элементов, например:

${\displaystyle u_{1}(\{w,x\})=2,u_{1}(\{w,z\})=7,u_{1}(\{x,y\})=6}$

${\displaystyle u_{2}(\{w,x\})=2,u_{2}(\{w,z\})=5,u_{2}(\{x,y\})=6}$

Пакет имеет меньшую полезность, чем согласно обеим функциям полезности. Более того, для каждой функции полезности, совместимой с приведенным выше рейтингом:${\displaystyle \{w,x\}}$${\displaystyle \{w.z\}}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u(\{w,x\})<u(\{w,z\})}$.

Напротив, полезность набора может быть как меньше, так и больше полезности .${\displaystyle \{w,z\}}$${\displaystyle \{x,y\}}$

Это мотивирует следующее определение:

${\displaystyle X\preceq ^{AU}Y}$тогда и только тогда, когда для каждой аддитивной функции полезности совместимо с :${\displaystyle u}$${\displaystyle \preceq }$

${\displaystyle u(X)\leq u(Y)}$

• ${\displaystyle X\preceq ^{SD}Y}$подразумевает . ^[1]${\displaystyle X\preceq ^{RS}Y}$
• ${\displaystyle X\preceq ^{RS}Y}$и эквивалентны. ^[1]${\displaystyle X\preceq ^{PD}Y}$
• ${\displaystyle X\preceq ^{PD}Y}$подразумевает . Доказательство : Если , то существует инъекция такая, что для всех , . Следовательно, для каждой функции полезности, совместимой с , . Следовательно, если аддитивно, то . ^[1]${\displaystyle X\preceq ^{AU}Y}$${\displaystyle X\preceq ^{PD}Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x\preceq f(x)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \preceq }$${\displaystyle u(x)\leq u(f(x))}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u(X)\leq u(Y)}$
• Известно, что и эквивалентны, см., например, ^[3]${\displaystyle \preceq ^{AU}}$${\displaystyle \preceq ^{SD}}$

Следовательно, все четыре расширения и и и эквивалентны.${\displaystyle \preceq ^{RS}}$${\displaystyle \preceq ^{PD}}$${\displaystyle \preceq ^{SD}}$${\displaystyle \preceq ^{AU}}$

Полный порядок на пачках называется адаптивным ^{[4] : 287–288} , если он содержит адаптивное расширение некоторого полного порядка на элементах. То есть он содержит все отношения, которые подразумеваются базовым порядком элементов, и добавляет еще некоторые отношения, которые не подразумеваются и не противоречат друг другу.

Аналогично, функция полезности на связках называется отзывчивой, если она индуцирует отзывчивый порядок. Чтобы быть более явным, ^[5] функция полезности u отзывчива, если для каждой связки X и каждых двух элементов y , z , которые не находятся в X : .${\displaystyle u(y)\geq u(z)\implies u(X\cup \{y\})\geq u(X\cup \{z\})}$

Аддитивность подразумевает отзывчивость, но не наоборот:

• Если общий порядок является аддитивным (представленным аддитивной функцией ), то по определению он содержит расширение AU , что эквивалентно , поэтому он является отзывчивым. Аналогично, если функция полезности является аддитивной, то , поэтому отзывчивость удовлетворяется.${\displaystyle \preceq ^{AU}}$${\displaystyle \preceq ^{RS}}$${\displaystyle u(X\cup \{y\})-u(X\cup \{z\})=u(y)-u(z)}$
• С другой стороны, полный порядок может быть отзывчивым, но не аддитивным: он может содержать расширение AU, которое согласуется со всеми аддитивными функциями, но может также содержать другие отношения, которые несовместимы с одной аддитивной функцией.

Например, ^[6] предположим, что есть четыре элемента с . Отзывчивость ограничивает только отношение между наборами одинакового размера с одним замененным элементом или наборами разных размеров, где маленький содержится в большом. Она ничего не говорит о наборах разных размеров, которые не являются подмножествами друг друга. Так, например, отзывчивый заказ может иметь и . Но это несовместимо с аддитивностью: нет аддитивной функции, для которой в то время как .${\displaystyle w\prec x\prec y\prec z}$${\displaystyle \{z\}\prec \{x,y\}}$${\displaystyle \{w,z\}\succ \{w,x,y\}}$${\displaystyle u(\{z\})<u(\{x,y\})}$${\displaystyle u(\{w,z\})>u(\{w,x,y\})}$

• Слабо аддитивный
• Последовательность выбора