Аффинная группа по классу остатков

В математике , в частности в теории групп , аффинные по классам вычетов группы — это определенные группы перестановок, действующие на ( целые числа ), элементы которых являются биективными аффинными по классам вычетов отображениями .${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Отображение называется аффинным по классу остатков , если существует ненулевое целое число , такое что ограничения на классы остатков (mod ) являются аффинными . Это означает, что для любого класса остатков существуют коэффициенты , такие что ограничение отображения на множество задается как${\displaystyle е:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} }$${\displaystyle м}$${\displaystyle f}$${\displaystyle м}$${\displaystyle r(m)\in \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$${\displaystyle a_{r(m)},b_{r(m)},c_{r(m)}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r(m)=\{r+km\mid k\in \mathbb {Z} \}}$

${\displaystyle f|_{r(m)}:r(m)\rightarrow \mathbb {Z} ,\ n\mapsto {\frac {a_{r(m)}\cdot n+b_{r(m)}}{c_{r(m)}}}}$.

Аффинные группы по классам вычетов счетны и доступны для вычислительных исследований . Многие из них действуют многократно транзитивно на своих подмножествах или на них.${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Особенно базовым типом аффинных перестановок по классам остатков являются транспозиции классов : если даны непересекающиеся классы остатков и , соответствующая транспозиция классов — это перестановка , которая меняет местами и для каждого и которая фиксирует все остальное. Здесь предполагается, что и что .${\displaystyle r_{1}(m_{1})}$${\displaystyle r_{2}(m_{2})}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle r_{1}+км_{1}}$${\displaystyle r_{2}+км_{2}}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z}}$${\displaystyle 0\leq r_{1}<m_{1}}$${\displaystyle 0\leq r_{2}<m_{2}}$

Множество всех транспозиций классов порождает счетную простую группу , обладающую следующими свойствами:${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Он не является конечно сгенерированным .
• В него вкладывается каждая конечная группа , каждое свободное произведение конечных групп и каждая свободная группа конечного ранга.
• Класс ее подгрупп замкнут относительно взятия прямых произведений , взятия сплетений с конечными группами и взятия ограниченных сплетений с бесконечной циклической группой .
• Она имеет конечно порожденные подгруппы, которые не имеют конечных представлений .
• Она имеет конечно порожденные подгруппы с алгоритмически неразрешимой проблемой членства .
• Она имеет несчетный ряд простых подгрупп, который параметризуется множествами нечетных простых чисел .

Несложно обобщить понятие аффинной по классу вычетов группы на группы, действующие на подходящих кольцах, отличных от , хотя до сих пор в этом направлении было проделано лишь немного работы.${\displaystyle \mathbb {Z} }$

См. также гипотезу Коллатца , которая является утверждением о сюръективном , но не инъективном аффинном отображении по классам вычетов.

• Стефан Коль. Restklassenweise affine Gruppen. Диссертация, Университет Штутгарта, 2005. Архивный сервер Немецкой национальной библиотеки OPUS-Datenbank (Университет Штутгарта).
• Стефан Коль. RCWA – Residue-Class-Wise Affine Groups. Пакет GAP. 2005.
• Стефан Коль. Простая группа, порожденная инволюциями, меняющими классы вычетов целых чисел. Math. Z. 264 (2010), № 4, 927–938. [1]