Релятивистское распределение Брейта-Вигнера

Релятивистское распределение Брейта-Вигнера (по формуле ядерного резонанса 1936 года ^[1] Грегори Брейта и Юджина Вигнера ) представляет собой непрерывное распределение вероятностей со следующей функцией плотности вероятности , ^[2]

${\displaystyle f(E)={\frac {k}{\ \left(E^{2}-M^{2}\right)^{2}+M^{2}\Gamma ^{2}\ }}\ ,}$

где k — константа пропорциональности, равная

${\displaystyle k={\frac {\ 2{\sqrt {2\ }}\ M\ \Gamma \ \gamma \ }{\ \pi {\sqrt {M^{2}+\gamma \ }}\ }}\quad }$с${\displaystyle \quad \gamma ={\sqrt {M^{2}\left(M^{2}+\Gamma ^{2}\right)\ }}~.}$

(Это уравнение записано с использованием натуральных единиц , ħ = c = 1.   )  

Чаще всего он используется для моделирования резонансов (нестабильных частиц) в физике высоких энергий . В этом случае E — энергия центра масс , которая производит резонанс, M — масса резонанса, а Γ — ширина резонанса (или ширина распада ), связанная с его средним временем жизни согласно τ = 1 / Γ . (С учетом единиц формула имеет вид τ = ħ / Γ . )

Вероятность создания резонанса при заданной энергии E пропорциональна f ( E ) , так что график скорости создания нестабильной частицы как функции энергии вычерчивает форму релятивистского распределения Брейта-Вигнера. Обратите внимание, что для значений E вне максимума при M таких, что | E ² − M ² | = M Γ   , (следовательно, | E − M | = Γ / 2   для M ≫ Γ   ), распределение f ослабляется до половины своего максимального значения, что оправдывает название для Γ , ширина на половине максимума .     

В пределе исчезающей ширины,   Γ → 0   , частица становится стабильной, поскольку распределение Лоренца f бесконечно обостряется до   2 M δ ( E ² − M ² )   , где   δ   — дельта-функция Дирака (точечный импульс).

В общем случае Γ также может быть функцией E ; эта зависимость обычно важна только тогда, когда Γ не мала по сравнению с M и необходимо учитывать зависимость ширины от фазового пространства . (Например, при распаде ро-мезона на пару пионов . ) Множитель M ² , который умножает   Γ ^{2 ,} также следует заменить на E ² (или E ⁴ / M ²   и т. д.), когда резонанс широкий. ^[3]       

Форма релятивистского распределения Брейта-Вигнера возникает из пропагатора нестабильной частицы, ^[4] который имеет знаменатель вида p ² − M ² + i M Γ   . (Здесь p ² — квадрат четырехимпульса , переносимого этой частицей в рассматриваемой древовидной диаграмме Фейнмана.) Тогда пропагатор в своей системе покоя пропорционален квантово-механической амплитуде распада, используемого для восстановления этого резонанса, 

${\displaystyle \ {\frac {\sqrt {k\ }}{\ \left(E^{2}-M^{2}\right)+i\ M\ \Gamma \ }}~.}$

Полученное распределение вероятностей пропорционально абсолютному квадрату амплитуды, поэтому вышеприведенное релятивистское распределение Брейта-Вигнера для функции плотности вероятности.

Форма этого распределения похожа на амплитуду решения классического уравнения движения для ведомого гармонического осциллятора, затухающего и ведомого синусоидальной внешней силой. Она имеет стандартную резонансную форму распределения Лоренца или Коши , но включает релятивистские переменные s = p ²   , здесь   = E ²   . Распределение является решением дифференциального уравнения для квадрата амплитуды относительно энергии (частоты) в таком классическом ведомом осцилляторе,  

${\displaystyle f'\!(\mathrm {E} )\ \left(\left(\ \mathrm {E} ^{2}-M^{2}\right)^{2}+\Gamma ^{2}\ M^{2}\right)-4\ \mathrm {E} \ \left(M^{2}-\mathrm {E} ^{2}\right)\ f(\mathrm {E} )=0\ ,}$

или скорее

${\displaystyle {\frac {\ f'\!(\mathrm {E} )\ }{\ f(\mathrm {E} )\ }}~=~{\frac {\ 4\ \left(M^{2}-\mathrm {E} ^{2}\right)\ \mathrm {E} \ }{\ \left(\ \mathrm {E} ^{2}-M^{2}\right)^{2}+\Gamma ^{2}\ M^{2}\ }}\ ,}$

с

${\displaystyle f(M)={\frac {k}{~\Gamma ^{2}\ M^{2}\ }}~.}$

В эксперименте падающий луч, который производит резонанс, всегда имеет некоторое распределение энергии вокруг центрального значения. Обычно это гауссово/нормальное распределение . Результирующая форма резонанса в этом случае задается сверткой распределения Брейта-Вигнера и гауссова распределения,

${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k}{\ (E'^{2}-M^{2})^{2}+(M\ \Gamma )^{2}\ }}\ {\frac {1}{\ \sigma {\sqrt {2\pi \ }}\ }}\ e^{-{\frac {\ (E'-E)^{2}}{\ 2\sigma ^{2}\ }}}\operatorname {d} E'~.}$

Эту функцию можно упростить ^[5], введя новые переменные,

${\displaystyle \ t={\frac {\ E-E'\ }{\ {\sqrt {2\ }}\sigma \ }}\ ,\quad u_{1}={\frac {\ E-M\ }{\ {\sqrt {2\ }}\sigma \ }}\ ,\quad u_{2}={\frac {\ E+M\ }{\ {\sqrt {2\ }}\sigma \ }}\ ,\quad a={\frac {\ k\ \pi \ }{~2\ \sigma ^{2}\ }}\ ,}$

чтобы получить

${\displaystyle \ V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )={\frac {\ H_{2}(a,u_{1},u_{2})\ }{\ \sigma ^{2}2{\sqrt {\pi \ }}\ }}\ ,}$

где релятивистская функция уширения линии ^[5] имеет следующее определение:

${\displaystyle \ H_{2}(a,u_{1},u_{2})={\frac {\ a\ }{\ \pi \ }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {~e^{-t^{2}}}{~(u_{1}-t)^{2}(u_{2}-t)^{2}+a^{2}\ }}\operatorname {d} t~.}$

${\displaystyle H_{2}}$является релятивистским аналогом аналогичной функции уширения линии ^[6] для профиля Фойгта, используемого в спектроскопии (см. также § 7.19 ^[7] ).