Относительный интерьер
Обобщение топологического интерьера

В математике относительная внутренность множества является уточнением концепции внутренней части , которая часто более полезна при работе с низкоразмерными множествами, помещенными в многомерные пространства .

Формально, относительная внутренность множества (обозначаемая ) определяется как его внутренность внутри аффинной оболочки [ 1] Другими словами, где — аффинная оболочка , а — шар радиуса с центром в . Для построения шара может быть использована любая метрика; все метрики определяют то же множество, что и относительная внутренность. С {\displaystyle S} перелинт ⁡ ( С ) {\displaystyle \operatorname {relint} (S)} С . {\displaystyle С.} перелинт ⁡ ( С ) := { х ∈ С :  существует  ϵ > 0  такой что  Б ϵ ( х ) ∩ афф ⁡ ( С ) ⊆ С } , {\displaystyle \operatorname {relint} (S):=\{x\in S:{\text{ существует }}\epsilon >0{\text{ такой, что }}B_{\epsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (S)\subseteq S\},} афф ⁡ ( С ) {\displaystyle \operatorname {aff} (S)} С , {\displaystyle S,} Б ϵ ( х ) {\displaystyle B_{\epsilon}(x)} ϵ {\displaystyle \epsilon} х {\displaystyle x}

Множество относительно открыто , если оно равно своей относительной внутренней части. Обратите внимание, что когда является замкнутым подпространством полного векторного пространства (всегда, когда полное векторное пространство конечномерно), то быть относительно замкнутым эквивалентно быть замкнутым. афф ⁡ ( С ) {\displaystyle \operatorname {aff} (S)}

Для любого выпуклого множества относительная внутренность эквивалентно определяется как [2] [3], где означает, что существует некоторое такое, что . С ⊆ Р н {\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}} перелинт ⁡ ( С ) := { х ∈ С :  для всех  у ∈ С ,  существует некоторый  λ > 1  такой что  λ х + ( 1 − λ ) у ∈ С } = { х ∈ С :  для всех  у ≠ х ∈ С ,  существует некоторый  з ∈ С  такой что  х ∈ ( у , з ) } . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {relint} (C)&:=\{x\in C:{\text{ для всех }}y\in C,{\text{ существует некоторое }}\lambda >1{\text{ такое, что }}\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}\\&=\{x\in C:{\text{ для всех }}y\neq x\in C,{\text{ существует некоторое }}z\in C{\text{ такое, что }}x\in (y,z)\}.\end{aligned}}} х ∈ ( у , з ) {\displaystyle x\in (y,z)} 0 < λ < 1 {\displaystyle 0<\лямбда <1} х = λ з + ( 1 − λ ) у {\displaystyle x=\lambda z+(1-\lambda)y}

Сравнение с интерьером

  • Внутренняя часть точки в хотя бы одномерном окружающем пространстве пуста, но ее относительная внутренняя часть — это сама точка.
  • Внутренняя часть отрезка прямой в по крайней мере двумерном окружающем пространстве пуста, но ее относительная внутренняя часть представляет собой отрезок прямой без его конечных точек.
  • Внутренняя часть диска в окружающем пространстве, по крайней мере, трехмерном, пуста, но его относительная внутренняя часть представляет собой тот же диск, но без круглого края.

Характеристики

Теорема  —  Если непусто и выпукло, то его относительная внутренность является объединением вложенной последовательности непустых компактных выпуклых подмножеств . А ⊂ Р н {\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}} г е л я н т ( А ) {\displaystyle \mathrm {relint} (A)} К 1 ⊂ К 2 ⊂ К 3 ⊂ ⋯ ⊂ г е л я н т ( А ) {\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset K_{3}\subset \cdots \subset \mathrm {relint} (A)}

Доказательство

Поскольку мы всегда можем спуститься до аффинной области , WLOG, относительная внутренняя область имеет размерность . Теперь пусть . А {\displaystyle А} н {\displaystyle n} К дж ≡ [ − дж , дж ] н ∩ { х ∈ инт ( К ) : г я с т ( х , ( инт ( К ) ) с ) ≥ 1 дж } {\displaystyle K_{j}\equiv [-j,j]^{n}\cap \left\{x\in {\text{int}}(K):\mathrm {dist} (x,({\ text{int}}(K))^{c})\geq {\frac {1}{j}}\right\}}

Теорема [4]  —  Здесь «+» обозначает сумму Минковского .

  • г е л я н т ( С 1 ) + г е л я н т ( С 2 ) ⊂ г е л я н т ( С 1 + С 2 ) {\displaystyle \mathrm {relint} (S_{1})+\mathrm {relint} (S_{2})\subset \mathrm {relint} (S_{1}+S_{2})} для общих множеств. Они равны, если оба также выпуклы. С 1 , С 2 {\displaystyle S_{1},S_{2}}
  • Если — выпуклые и относительно открытые множества, то — выпуклое и относительно открытое. С 1 , С 2 {\displaystyle S_{1},S_{2}} С 1 + С 2 {\displaystyle S_{1}+S_{2}}

Теорема [5]  —  Здесь обозначает положительный конус . То есть . С о н е {\displaystyle \mathrm {Конус} } С о н е ( С ) = { г х : х ∈ С , г > 0 } {\displaystyle \mathrm {Конус} (S)=\{rx:x\in S,r>0\}}

  • С о н е ( г е л я н т ( С ) ) ⊂ г е л я н т ( С о н е ( С ) ) {\displaystyle \mathrm {Cone} (\mathrm {relint} (S))\subset \mathrm {relint} (\mathrm {Cone} (S))} . Они равны, если выпукло. С {\displaystyle S}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Залинеску 2002, стр. 2–3.
  2. ^ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [Впервые опубликовано в 1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . стр. 47. ISBN 978-0-691-01586-6.
  3. ^ Димитрий Берцекас (1999). Нелинейное программирование (2-е изд.). Белмонт, Массачусетс: Athena Scientific. стр. 697. ISBN 978-1-886529-14-4.
  4. ^ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [Впервые опубликовано в 1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . Следствие 6.6.2. ISBN 978-0-691-01586-6.
  5. ^ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [Впервые опубликовано в 1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . Теорема 6.9. ISBN 978-0-691-01586-6.

Дальнейшее чтение


Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Relative_interior&oldid=1221153780"