Регулируемая функция

В математике регулируемая функция или линейчатая функция — это определенный вид хорошо себя ведущей функции одной действительной переменной. Регулируемые функции возникают как класс интегрируемых функций и имеют несколько эквивалентных характеристик. Регулируемые функции были введены Николя Бурбаки в 1949 году в его книге «Livre IV: Fonctions d'une variable réelle».

Пусть X — банахово пространство с нормой || - || _X. Функция f  : [0, T ] → X называется упорядоченной функцией, если выполняется одно (и, следовательно, оба) из следующих двух эквивалентных условий: ^[1]

• для каждого t в интервале [0, T ] как левый, так и правый пределы f ( t −) и f ( t +) существуют в X (за исключением, очевидно, f (0−) и f ( T +));
• существует последовательность ступенчатых функций φ _n  : [0, T ] → X, равномерно сходящаяся к f (т.е. относительно супремум-нормы || - || _∞ ).

Требуется немного работы, чтобы показать, что эти два условия эквивалентны. Однако относительно легко увидеть, что второе условие может быть переформулировано следующими эквивалентными способами:

• для каждого δ > 0 существует некоторая ступенчатая функция φ _δ  : [0, T ] → X такая, что

${\displaystyle \|f-\varphi _{\delta }\|_{\infty }=\sup _{t\in [0,T]}\|f(t)-\varphi _{\delta }(t)\|_{X}<\delta ;}$

• f лежит в замыкании пространства Step([0, T ]; X ) всех ступенчатых функций из [0, T ] в X (взяв замыкание относительно супремум-нормы в пространстве B([0, T ]; X ) всех ограниченных функций из [0, T ] в X ).

Пусть Reg([0,  T ];  X ) обозначает множество всех регулируемых функций f  : [0, T ] → X .

• Суммы и скалярные кратные регулируемых функций снова являются регулируемыми функциями. Другими словами, Reg([0,  T ];  X ) является векторным пространством над тем же полем K, что и пространство X ; обычно K будет действительными или комплексными числами . Если X снабжено операцией умножения, то произведения регулируемых функций снова являются регулируемыми функциями. Другими словами, если X является K - алгеброй , то и Reg([0,  T ];  X ) является таковой.
• Норма супремума является нормой на Reg([0,  T ];  X ), а Reg([0,  T ];  X ) является топологическим векторным пространством относительно топологии, индуцированной нормой супремума.
• Как отмечено выше, Reg([0,  T ];  X ) является замыканием в B([0,  T ];  X ) Step([0,  T ];  X ) относительно супремум-нормы.
• Если X — банахово пространство , то Reg([0,  T ];  X ) также является банаховым пространством относительно супремум-нормы.
• Reg([0, T ]; R ) образует бесконечномерную действительную банахову алгебру : конечные линейные комбинации и произведения упорядоченных функций снова являются упорядоченными функциями.
• Поскольку непрерывная функция, определенная на компактном пространстве (таком как [0, T ]), автоматически равномерно непрерывна , каждая непрерывная функция f  : [0, T ] → X также регулируется. Фактически, относительно супремум-нормы пространство C ⁰ ([0,  T ];  X ) непрерывных функций является замкнутым линейным подпространством Reg([0,  T ];  X ).
• Если X — банахово пространство , то пространство BV([0,  T ];  X ) функций ограниченной вариации образует плотное линейное подпространство Reg([0,  T ];  X ):

${\displaystyle \mathrm {Reg} ([0,T];X)={\overline {\mathrm {BV} ([0,T];X)}}{\mbox{ w.r.t. }}\|\cdot \|_{\infty }.}$

• Если X — банахово пространство, то функция f  : [0, T ] → X является упорядоченной тогда и только тогда, когда она имеет ограниченную φ -вариацию для некоторого φ :

${\displaystyle \mathrm {Reg} ([0,T];X)=\bigcup _{\varphi }\mathrm {BV} _{\varphi }([0,T];X).}$

• Если X — сепарабельное гильбертово пространство , то Reg([0,  T ];  X ) удовлетворяет теореме компактности, известной как теорема выбора Франьковой–Хелли .
• Множество разрывов регулируемой функции ограниченной вариации BV счетно , поскольку такие функции имеют только разрывы скачкообразного типа. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что при заданном множество точек, в которых правый и левый пределы отличаются более чем на , конечно. В частности, множество разрывов имеет меру ноль , из чего следует, что регулируемая функция имеет хорошо определенный интеграл Римана .${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \epsilon }$
• Замечание: По теореме Бэра о категории множество точек разрыва такой функции либо тощее, либо имеет непустую внутренность. Это не всегда эквивалентно счетности. ^[2]${\displaystyle F_{\sigma }}$

• Интеграл, определенный на ступенчатых функциях очевидным образом, естественным образом расширяется до Reg([0,  T ];  X ) путем определения интеграла регулируемой функции как предела интегралов любой последовательности ступенчатых функций, сходящихся к нему равномерно. Это расширение хорошо определено и удовлетворяет всем обычным свойствам интеграла. В частности, регулируемый интеграл
  • — ограниченная линейная функция из Reg([0,  T ];  X ) в X ; следовательно, в случае X = R интеграл является элементом пространства , двойственного Reg([0, T ]; R );
  • согласуется с интегралом Римана .

• Ауманн, Георг (1954), Reelle Funktionen , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, Bd LXVIII (на немецком языке), Берлин: Springer-Verlag, стр. viii+416 МР 0061652
• Дьедонне, Жан (1969), Основы современного анализа , Academic Press, стр. xviii+387 МР 0349288
• Франькова, Дана (1991), "Регулируемые функции", Матем. Богема. , 116 (1): 20–59 , ISSN  0862-7959. МР 1100424
• Гордон, Рассел А. (1994), Интегралы Лебега, Данжуа, Перрона и Хенстока, Graduate Studies in Mathematics , 4, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xii+395, ISBN 0-8218-3805-9 МР 1288751
• Ланг, Серж (1985), Дифференциальные многообразия (второе изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. ix+230, ISBN 0-387-96113-5 МР 772023

• «Как показать, что множество точек разрыва возрастающей функции не более чем счетно». Stack Exchange . 23 ноября 2011 г.
• "Функции ограниченной вариации имеют разрывы скачкообразного типа". Stack Exchange . 28 ноября 2013 г.
• «Насколько прерывистым может быть производный инструмент?». Stack Exchange . 22 февраля 2012 г.