Обычный премьер

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много правильных простых чисел, и если да, то какова их относительная плотность ?${\displaystyle e^{-1/2}}$

(еще нерешенные проблемы по математике)

В теории чисел регулярное простое число — это особый вид простого числа , определенный Эрнстом Куммером в 1850 году для доказательства некоторых случаев Великой теоремы Ферма . Регулярные простые числа могут быть определены через делимость либо чисел классов , либо чисел Бернулли .

Первые несколько регулярных нечетных простых чисел:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ... (последовательность A007703 в OEIS ).

В 1850 году Куммер доказал, что Великая теорема Ферма верна для простого показателя p, если p является регулярным. Это привлекло внимание к нерегулярным простым числам. ^[1] В 1852 году Дженокки удалось доказать, что первый случай Великой теоремы Ферма верна для показателя p , если ( p , p − 3) не является нерегулярной парой. Куммер улучшил это еще больше в 1857 году, показав, что для «первого случая» Великой теоремы Ферма (см. теорему Софи Жермен ) достаточно установить, что либо ( p , p − 3) , либо ( p , p − 5) не является нерегулярной парой.

( ( p , 2 k ) — нерегулярная пара, когда p является нерегулярным из-за определенного условия, описанного ниже, реализующегося при 2 k .)

Куммер нашел нерегулярные простые числа, меньшие 165. В 1963 году Лемер сообщил о результатах до 10000, а Селфридж и Поллак объявили в 1964 году о завершении таблицы нерегулярных простых чисел до 25000. Хотя две последние таблицы не были опубликованы, Джонсон обнаружил, что ( p , p − 3) на самом деле является нерегулярной парой для p = 16843 , и что это первый и единственный раз, когда это происходит для p < 30000. [ ^2] В 1993 году было обнаружено, что в следующий раз это происходит для p = 2124679 ; см. простое число Вольстенхолма . ^[3]

Нечетное простое число p определяется как регулярное, если оно не делит номер класса p - го циклотомического поля Q ( ζ _p ), где ζ _p — примитивный корень p -й степени из единицы.

Простое число 2 также часто считается обычным.

Число классов циклотомического поля — это число идеалов кольца целых чисел Z ( ζ _p ) с точностью до эквивалентности. Два идеала I , J считаются эквивалентными, если в Q ( ζ _p ) есть ненулевой u такой, что I = uJ . Первые несколько из этих чисел классов перечислены в OEIS : A000927 .

Эрнст Куммер (Kummer 1850) показал, что эквивалентным критерием регулярности является то, что p не делит числитель ни одного из чисел Бернулли B _k для k = 2, 4, 6, ..., p − 3 .

Доказательство Куммера, что это эквивалентно определению числа классов, подкрепляется теоремой Эрбрана–Рибета , которая устанавливает некоторые следствия деления числителя одного из этих чисел Бернулли на p .

Было высказано предположение , что существует бесконечно много регулярных простых чисел. Точнее, Карл Людвиг Зигель  (1964) предположил, что e ^−1/2 , или около 60,65%, всех простых чисел являются регулярными, в асимптотическом смысле натуральной плотности .

Принимая во внимание критерий Куммера, вероятность того, что один числитель чисел Бернулли , , не делится на простое число, равна${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle k=2,\dots ,p-3}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\dfrac {p-1}{p}}}$

так что вероятность того, что ни один из числителей этих чисел Бернулли не делится на простое число, равна${\displaystyle p}$

${\displaystyle \left({\dfrac {p-1}{p}}\right)^{\dfrac {p-3}{2}}=\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{\dfrac {p-3}{2}}=\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{-3/2}\cdot \left\lbrace \left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{p}\right\rbrace ^{1/2}}$.

По E_(математическая_константа) имеем

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{p}={\dfrac {1}{e}}}$

так что мы получаем вероятность

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }\left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{-3/2}\cdot \left\lbrace \left(1-{\dfrac {1}{p}}\right)^{p}\right\rbrace ^{1/2}=e^{-1/2}\approx 0.606531}$.

Из этого следует, что около простых чисел случайно являются регулярными. Харт и др. ^[4] указывают, что из простых чисел менее регулярны.${\displaystyle 60.6531\%}$${\displaystyle 60.6590\%}$${\displaystyle 2^{31}=2,147,483,648}$

Нечетное простое число, которое не является регулярным, является нерегулярным простым числом (или нерегулярным Бернулли или B-нерегулярным, чтобы отличать его от других типов нерегулярности, обсуждаемых ниже). Первые несколько нерегулярных простых чисел:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, ... (последовательность A000928 в OEIS )

К. Л. Йенсен (ученик Нильсена ^[5] ) доказал в 1915 году, что существует бесконечно много нерегулярных простых чисел вида 4 n + 3 . ^[6] В 1954 году Карлиц дал простое доказательство более слабого результата, что в общем случае существует бесконечно много нерегулярных простых чисел. ^[7]

Метсянкюля доказал в 1971 году, что для любого целого числа T > 6 существует бесконечно много нерегулярных простых чисел, не имеющих вида mT + 1 или mT − 1 ^[8] , и позднее обобщил это. ^[9]

Если p — нерегулярное простое число и p делит числитель числа Бернулли B _{2 k} для 0 < 2 k < p − 1 , то ( p , 2 k ) называется нерегулярной парой . Другими словами, нерегулярная пара — это бухгалтерский прием для записи для нерегулярного простого числа p конкретных индексов чисел Бернулли, при которых регулярность нарушается. Первые несколько нерегулярных пар (при упорядочении по k ) таковы:

(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), (2294797, 24), (657931, 26), (9349, 28), (362903, 28), ... (последовательность A189683 в OEIS ).

Наименьшее четное число k , такое что n -е неправильное простое число делит B _k, равно

32, 44, 58, 68, 24, 22, 130, 62, 84, 164, 100, 84, 20, 156, 88, 292, 280, 186, 100, 200, 382, ​​126, 240, 366, 196, 130, 94, 292, 400, 86, 270, 222, 52, 90, 22, ... (последовательность A035112 в OEIS )

Для заданного простого числа p число таких пар называется индексом нерегулярности числа p . ^[10] Следовательно, простое число является регулярным тогда и только тогда, когда его индекс нерегулярности равен нулю. Аналогично, простое число является нерегулярным тогда и только тогда, когда его индекс нерегулярности положителен.

Было обнаружено, что ( p , p − 3) на самом деле является нерегулярной парой для p = 16843 , а также для p = 2124679. Больше нет вхождений для p < 10 ⁹ .

Нечетное простое число p имеет нерегулярный индекс n тогда и только тогда, когда существует n значений k , для которых p делит B _{2 k,} и эти k s меньше ( p − 1)/2 . Первое нерегулярное простое число с нерегулярным индексом больше 1 — это 157 , которое делит B ₆₂ и B ₁₁₀ , поэтому оно имеет нерегулярный индекс 2. Очевидно, что нерегулярный индекс правильного простого числа равен 0.

Нерегулярный индекс n- го простого числа равен

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, ... (Начните с n = 2 или простого числа = 3) (последовательность A091888 в ОЭИС )

Нерегулярный индекс n -го неправильного простого числа равен

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, ... (последовательность A091887 в OEIS )

Простые числа, имеющие нерегулярный индекс 1, — это

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 523, 541, 557, 577, 593, 607, 613, 619, 653, 659, 677, 683, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 953, 971, ... (последовательность A073276 в OEIS )

Простые числа, имеющие нерегулярный индекс 2, — это

157, 353, 379, 467, 547, 587, 631, 673, 691, 809, 929, 1291, 1297, 1307, 1663, 1669, 1733, 1789, 1933, 1997, 2003, 2087, 2273, 2309, 2371, 2383, 2423, 2441, 2591, 2671, 2789, 2909, 2957, ... (последовательность A073277 в OEIS )

Простые числа, имеющие нерегулярный индекс 3, — это

491, 617, 647, 1151, 1217, 1811, 1847, 2939, 3833, 4003, 4657, 4951, 6763, 7687, 8831, 9011, 10463, 10589, 12073, 13217, 14533, 14737, 14957, 15287, 15787, 15823, 16007, 17681, 17863, 18713, 18869, ... (последовательность A060975 в OEIS )

Наименьшие простые числа, имеющие нерегулярный индекс n, — это

2, 3, 37, 157, 491, 12613, 78233, 527377, 3238481, ... (последовательность A061576 в OEIS ) (Эта последовательность определяет «нерегулярный индекс 2» как −1, а также начинается с n = −1 .)

Аналогично, мы можем определить нерегулярное простое число Эйлера (или E-нерегулярное) как простое число p , которое делит по крайней мере одно число Эйлера E _{2 n} с 0 < 2 n ≤ p − 3. Первые несколько нерегулярных простых чисел Эйлера — это

19, 31, 43, 47, 61, 67, 71, 79, 101, 137, 139, 149, 193, 223, 241, 251, 263, 277, 307, 311, 349, 353, 359, 373, 379, 419, 433, 461, 463, 491, 509, 541, 563, 571, 577, 587, ... (последовательность A120337 в OEIS )

Нерегулярные пары Эйлера:

(61, 6), (277, 8), (19, 10), (2659, 10), (43, 12), (967, 12), (47, 14), (4241723, 14), (228135437) , 16), (79, 18), (349, 18), (84224971, 18), (41737, 20), (354957173, 20), (31, 22), (1567103, 22), (1427513357, 22), (2137, 24), (111691689741601, 24), (67, 26), (61001082228255580483, 26), (71, 28), (30211, 28), (2717447, 28), (77980901, 28), ...

Вандивер доказал в 1940 году, что Великая теорема Ферма ( x ^p + y ^p = z ^p ) не имеет решения для целых чисел x , y , z с gcd( xyz , p ) = 1 , если p является регулярным по Эйлеру. Гут доказал, что x ^{2 p} + y ^{2 p} = z ^{2 p} не имеет решения, если p имеет индекс E-нерегулярности меньше 5. ^[11]

Было доказано, что существует бесконечное множество E-нерегулярных простых чисел. Был получен более сильный результат: существует бесконечное множество E-нерегулярных простых чисел, сравнимых с 1 по модулю 8. Как и в случае с B-регулярными простыми числами Куммера, пока нет доказательств того, что существует бесконечно много E-регулярных простых чисел, хотя это, по всей видимости, так.

Простое число p называется сильно нерегулярным , если оно является как B-нерегулярным, так и E-нерегулярным (индексы чисел Бернулли и Эйлера, которые делятся на p, могут быть как одинаковыми, так и разными). Первые несколько сильных нерегулярных простых чисел — это

67, 101, 149, 263, 307, 311, 353, 379, 433, 461, 463, 491, 541, 577, 587, 619, 677, 691, 751, 761, 773, 811, 821, 877, 887, 929, 971, 1151, 1229, 1279, 1283, 1291, 1307, 1319, 1381, 1409, 1429, 1439, ... (последовательность A128197 в OEIS )

Доказать Великую теорему Ферма для сильно неправильного простого числа p сложнее (поскольку Куммер доказал первый случай Великой теоремы Ферма для B-правильных простых чисел, Вандивер доказал первый случай Великой теоремы Ферма для E-правильных простых чисел), самое сложное заключается в том, что p — это не только сильно неправильное простое число, но и 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 и 16 p + 1 также являются составными числами ( Лежандр доказал первый случай Великой теоремы Ферма для простых чисел p, таких, что по крайней мере одно из 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 и 16 p + 1 является простым), первые несколько таких чисел p равны

263, 311, 379, 461, 463, 541, 751, 773, 887, 971, 1283, ...

Простое число p является слабо нерегулярным , если оно является либо B-нерегулярным, либо E-нерегулярным (или обоими). ​​Первые несколько слабо нерегулярных простых чисел являются

19, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 103, 131, 137, 139, 149, 157, 193, 223, 233, 241, 251, 257, 263, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 347, 349, 353, 373, 379, 389, 401, 409, 419, 421, 433, 461, 463, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 571, 577, 587, 593, ... (последовательность A250216 в OEIS )

Подобно нерегулярности Бернулли, слабая регулярность относится к делимости чисел классов циклотомических полей . Фактически, простое число p является слабо нерегулярным тогда и только тогда, когда p делит число классов 4 p -го циклотомического поля Q ( ζ _{4 p} ).

В этом разделе « an _» означает числитель n- го числа Бернулли, если n четное, « an _» означает ( n − 1) -е число Эйлера, если n нечетное (последовательность A246006 в OEIS ).

Так как для каждого нечетного простого числа p , p делит a _p тогда и только тогда, когда p сравнимо с 1 mod 4, и так как p делит знаменатель ( p − 1) -го числа Бернулли для каждого нечетного простого числа p , то для любого нечетного простого числа p , p не может делить a _{p −1} . Кроме того, тогда и только тогда, когда нечетное простое число p делит a _n (и 2 p не делит n ), то p также делит a _{n + k ( p −1)} (если 2 p делит n , то предложение следует изменить на « p также делит a _{n +2 kp} ». Фактически, если 2 p делит n и p ( p − 1) не делит n , то p делит a _n .) для каждого целого числа k (условием является то, что n + k ( p − 1) должно быть > 1). Например, поскольку 19 делит a ₁₁ и 2 × 19 = 38 не делит 11, то 19 делит a _{18 k +11} для всех k . Таким образом, определение нерегулярной пары ( p , n ) , n должно быть не более p − 2 .

В следующей таблице показаны все нерегулярные пары с нечетным простым числом p ≤ 661 :

Единственными простыми числами ниже 1000 со слабо нерегулярным индексом 3 являются 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751 и 929. Кроме того, 491 является единственным простым числом ниже 1000 со слабо нерегулярным индексом 4, а все остальные нечетные простые числа ниже 1000 имеют слабо нерегулярный индекс 0, 1 или 2. ( Слабо нерегулярный индекс определяется как «количество целых чисел 0 ≤ n ≤ p − 2, таких что p делит n _» .)

В следующей таблице показаны все нерегулярные пары с n ≤ 63. (Чтобы получить эти нерегулярные пары, нам нужно только разложить на множители a _n . Например, a ₃₄ = 17 × 151628697551 , но 17 < 34 + 2 , поэтому единственной нерегулярной парой с n = 34 является (151628697551, 34) ) (для получения дополнительной информации (четные n до 300 и нечетные n до 201) см. ^[12] ).

В следующей таблице показаны нерегулярные пары ( p , p − n ) ( n ≥ 2 ), предполагается, что существует бесконечно много нерегулярных пар ( p , p − n ) для каждого натурального числа n ≥ 2 , но только несколько были найдены для фиксированного n . Для некоторых значений n даже не известно такое простое число p .

• Уолстенхолм прайм

• Вайсштейн, Эрик В. «Неправильное простое число». Математический мир .
• Крис Колдуэлл, The Prime Glossary: ​​регулярный Prime на The Prime Pages .
• Кит Конрад, Великая теорема Ферма для обычных простых чисел.
• Нерегулярное простое число Бернулли
• Нерегулярное простое число Эйлера
• Нерегулярные простые числа Бернулли и Эйлера.
• Факторизация чисел Бернулли и Эйлера
• Факторизация чисел Бернулли и Эйлера