Рефлексия (математика)

В математике отражение (также пишется как рефлексия ) [ ^1] — это отображение евклидова пространства на себя, которое является изометрией с гиперплоскостью в качестве множества неподвижных точек ; это множество называется осью ( в измерении 2) или плоскостью (в измерении 3) отражения. Изображение фигуры при отражении является ее зеркальным отображением относительно оси или плоскости отражения. Например, зеркальное отображение маленькой латинской буквы p для отражения относительно вертикальной оси ( вертикальное отражение ) будет выглядеть как q . Ее изображение при отражении относительно горизонтальной оси ( горизонтальное отражение ) будет выглядеть как b . Отражение является инволюцией : при применении дважды подряд каждая точка возвращается в свое исходное положение, и каждый геометрический объект восстанавливается в своем исходном состоянии.

Термин отражение иногда используется для более широкого класса отображений из евклидова пространства в себя, а именно нетождественных изометрий, которые являются инволюциями. Множество неподвижных точек («зеркало») такой изометрии является аффинным подпространством , но, возможно, меньше гиперплоскости. Например, отражение через точку является инволютивной изометрией с одной неподвижной точкой; изображение буквы p под ней будет выглядеть как d . Эта операция также известна как центральная инверсия (Coxeter 1969, §7.2) и представляет евклидово пространство как симметричное пространство . В евклидовом векторном пространстве отражение в точке, расположенной в начале координат, совпадает с отрицанием вектора. Другие примеры включают отражения относительно прямой в трехмерном пространстве. Однако, как правило, неквалифицированное использование термина «отражение» означает отражение относительно гиперплоскости .

Некоторые математики используют « переворот » как синоним «отражения». ^{[2] [3] [4]}

В плоской (или, соответственно, трехмерной) геометрии, чтобы найти отражение точки, опустите перпендикуляр из точки на прямую (плоскость), используемую для отражения, и продолжите его на то же расстояние в другую сторону. Чтобы найти отражение фигуры, отразите каждую точку фигуры.

Чтобы отразить точку P через линию AB с помощью циркуля и линейки , выполните следующие действия (см. рисунок):

• Шаг 1 (красный): постройте окружность с центром в точке P и некоторым фиксированным радиусом r , чтобы создать точки A′ и B′ на линии AB , которые будут равноудалены от P.
• Шаг 2 (зеленый): постройте окружности с центрами в точках A′ и B′ и радиусом r . Точки P и Q будут точками пересечения этих двух окружностей.

Тогда точка Q является отражением точки P относительно линии AB .

Матрица для отражения ортогональна с определителем −1 и собственными значениями −1, 1, 1, ..., 1. Произведение двух таких матриц является специальной ортогональной матрицей, которая представляет поворот. Каждый поворот является результатом отражения в четном числе отражений в гиперплоскостях, проходящих через начало координат, а каждый несобственный поворот является результатом отражения в нечетном числе. Таким образом, отражения порождают ортогональную группу , и этот результат известен как теорема Картана–Дьедонне .

Аналогично евклидова группа , которая состоит из всех изометрий евклидова пространства, порождается отражениями в аффинных гиперплоскостях. В общем случае группа , порождаемая отражениями в аффинных гиперплоскостях, известна как группа отражений . Конечные группы, порождаемые таким образом, являются примерами групп Коксетера .

Отражение относительно произвольной линии, проходящей через начало координат в двух измерениях, можно описать следующей формулой:

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2{\frac {v\cdot l}{l\cdot l}}lv,}$

где обозначает отражаемый вектор, обозначает любой вектор в линии, через которую выполняется отражение, а обозначает скалярное произведение с . Обратите внимание, что формулу выше можно также записать как${\displaystyle v}$${\displaystyle л}$${\displaystyle v\cdot л}$${\displaystyle v}$${\displaystyle л}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2\operatorname {Proj} _{l}(v)-v,}$

говоря, что отражение поперек равно 2, умноженному на проекцию на , за вычетом вектора . Отражения относительно прямой имеют собственные значения 1 и −1.${\displaystyle v}$${\displaystyle л}$${\displaystyle v}$${\displaystyle л}$${\displaystyle v}$

Для вектора в евклидовом пространстве формула для отражения в гиперплоскости, проходящей через начало координат, ортогональной , задается выражением${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle а}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a,}$

где обозначает скалярное произведение с . Обратите внимание , что второй член в приведенном выше уравнении — это всего лишь удвоенная векторная проекция на . Можно легко проверить, что${\displaystyle v\cdot а}$${\displaystyle v}$${\displaystyle а}$${\displaystyle v}$${\displaystyle а}$

• Ref _a ( v ) = − v , если параллельна , и${\displaystyle v}$${\displaystyle а}$
• Ref _a ( v ) = v , если перпендикулярна a .${\displaystyle v}$

Используя геометрическое произведение , формула имеет вид

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=-{\frac {ava}{a^{2}}}.}$

Поскольку эти отражения являются изометриями евклидова пространства, фиксирующими начало координат, они могут быть представлены ортогональными матрицами . Ортогональная матрица, соответствующая приведенному выше отражению, является матрицей

${\displaystyle R=I-2{\frac {aa^{T}}{a^{T}a}},}$

где обозначает единичную матрицу и является транспонированной матрицей a. Ее элементы${\displaystyle Я}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle а^{Т}}$

${\displaystyle R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\left\|a\right\|^{2}}},}$

где δ _ij — символ Кронекера .

Формула для отражения в аффинной гиперплоскости не через начало координат имеет вид${\displaystyle v\cdot a=c}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot ac}{a\cdot a}}a.}$

• Аддитивная обратная
• Координатные вращения и отражения
• Трансформация домохозяина
• Инверсионная геометрия
• Плоскость вращения
• Картографирование отражений
• Группа размышлений
• Симметрия отражения

• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, МР  0123930
• Попов, В.Л. (2001) [1994], «Отражение», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Вайсштейн, Эрик В. «Отражение». MathWorld .

• Отражение в строке на cut-the-knot
• Понимание 2D-отражений и понимание 3D-отражений Роджера Гермундссона, The Wolfram Demonstrations Project .