График Риба

Граф Риба ^[1] (названный в честь Жоржа Риба Рене Томом ) — математический объект, отражающий эволюцию множеств уровня действительной функции на многообразии . ^[2] Согласно ^[3] аналогичное понятие было введено Г. М. Адельсоном-Вельским и А. С. Кронродом и применено к анализу тринадцатой проблемы Гильберта . ^[4] Предложенный Г. Рибом в качестве инструмента в теории Морса , ^[5] Графы Риба являются естественным инструментом для изучения многозначных функциональных связей между двумерными скалярными полями , и вытекающими из условий и , поскольку эти связи являются однозначными, когда ограничиваются областью, связанной с отдельным ребром графа Риба. Этот общий принцип был впервые использован для изучения нейтральных поверхностей в океанографии . ^[6]${\displaystyle \пси}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle \фи}$${\displaystyle \набла \пси =\лямбда \набла \фи}$${\displaystyle \lambda \neq 0}$

Графы Риба также нашли широкое применение в вычислительной геометрии и компьютерной графике , ^{[1] [7]} включая компьютерное геометрическое проектирование , сопоставление форм на основе топологии , ^{[8] [9] [10]} топологический анализ данных , ^[11] топологическое упрощение и очистку, сегментацию поверхности ^[12] и параметризацию, эффективное вычисление множеств уровня, нейронауку , ^[13] и геометрическую термодинамику . ^[3] В особом случае функции на плоском пространстве (технически односвязная область) граф Риба образует полидерево и также называется контурным деревом . ^[14]

Графики уровней помогают делать статистические выводы, связанные с оценкой функций плотности вероятности и функций регрессии , и их можно использовать , среди прочего, в кластерном анализе и оптимизации функций. ^[15]

Для заданного топологического пространства X и непрерывной функции f :  X  →  R определите отношение эквивалентности ~ на X , где p ~ q всякий раз, когда p и q принадлежат одной и той же связной компоненте одного множества уровня f ⁻¹ ( c ) для некоторого вещественного c . Граф Риба — это фактор-пространство X  /~, снабженное фактор-топологией .

В общем случае это факторпространство не имеет структуры конечного графа. Даже для гладкой функции на гладком многообразии граф Риба может быть не одномерным и даже нехаусдорфовым пространством . ^[16]

На самом деле, компактность многообразия имеет решающее значение: граф Риба гладкой функции на замкнутом многообразии представляет собой одномерный континуум Пеано , гомотопически эквивалентный конечному графу. ^[16] В частности, граф Риба гладкой функции на замкнутом многообразии с конечным числом критических значений — что имеет место в случае функций Морса , функций Морса–Ботта или функций с изолированными критическими точками — имеет структуру конечного графа. ^[17]

Пусть — гладкая функция на замкнутом многообразии . Структура графа Риба зависит как от многообразия, так и от класса функции .${\displaystyle f:M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle М}$${\displaystyle R_{f}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle f}$

Поскольку для гладкой функции на замкнутом многообразии граф Риба является одномерным, ^[16] мы рассматриваем только его первое число Бетти ; если имеет структуру конечного графа, то — циклический ранг этого графа. Имеет место верхняя оценка ^{[18] [16]}${\displaystyle R_{f}}$ ${\displaystyle b_{1}(R_{f})}$${\displaystyle R_{f}}$${\displaystyle b_{1}(R_{f})}$

${\displaystyle b_{1}(R_{f})\leq corank(\pi _{1}(M))}$,

где — коранг фундаментальной группы многообразия. Если , то эта граница точна даже в классе простых функций Морса . ^[19]${\displaystyle коранг(\пи _{1}(M))}$${\displaystyle \dim M\geq 3}$

Если , то для гладких функций эта граница также точна, и в терминах рода поверхности границу можно переписать как${\displaystyle \dim M=2}$ ${\displaystyle г}$${\displaystyle М^{2}}$$${\displaystyle b_{1}(R_{f})\leq {\begin{cases}g,&{\text{если }}M^{2}{\text{ ориентируемо }}\\g/2,&{\text{если }}M^{2}{\text{ неориентируемо }}.\end{cases}}}$$

Если , для функций Морса , существует лучшая граница для ранга цикла. Поскольку для функций Морса , граф Риба является конечным графом, ^[17] мы обозначаем через число вершин со степенью 2 в . Тогда ^[20]${\displaystyle \dim M=2}$${\displaystyle R_{f}}$${\displaystyle N_{2}}$${\displaystyle R_{f}}$$${\displaystyle b_{1}(R_{f})\leq {\begin{cases}g-N_{2},&{\text{если }}M^{2}{\text{ ориентируемо }}\\(g-N_{2})/2,&{\text{если }}M^{2}{\text{ неориентируемо }}.\end{cases}}}$$

Если — функция Морса или Морса–Ботта на замкнутом многообразии , то ее граф Риба имеет структуру конечного графа. ^[17] Этот конечный граф имеет определенную структуру, а именно${\displaystyle f:M\to R}$${\displaystyle R_{f}}$

• Если является графом Морса , то не имеет петель , и все его листовые блоки являются полными графами , т.е. замкнутыми интервалами ^[21]${\displaystyle f}$${\displaystyle R_{f}}$ ${\displaystyle К_{2}}$
• Если является Морсом–Боттом , то не имеет петель , и каждый его листовой блок содержит вершину со степенью не более 2 ^[22]${\displaystyle f}$${\displaystyle R_{f}}$

Если — функция Морса с различными критическими значениями , граф Риба можно описать более явно. Его узлы или вершины соответствуют критическим уровням . Шаблон, в котором дуги или ребра встречаются в узлах/вершинах, отражает изменение топологии уровня при прохождении через критическое значение . Например, если — минимум или максимум , компонент создается или уничтожается; следовательно, дуга начинается или заканчивается в соответствующем узле, который имеет степень 1. Если — седловая точка индекса 1 и два компонента сливаются в при увеличении, соответствующая вершина графа Риба имеет степень 3 и выглядит как буква «Y». Те же рассуждения применимы, если индекс равен , а компонент разделяется на два.${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(c)}$${\displaystyle f^{-1}(т)}$${\displaystyle т}$${\displaystyle с}$${\displaystyle с}$${\displaystyle f}$${\displaystyle с}$${\displaystyle f^{-1}(т)}$${\displaystyle т=с}$${\displaystyle т}$${\displaystyle с}$${\displaystyle dimX-1}$${\displaystyle f^{-1}(c)}$