Форма эшелона ряда

В линейной алгебре матрица находится в ступенчатой ​​форме, если она может быть получена в результате исключения Гаусса . Любая матрица может быть представлена ​​в ступенчатой ​​форме путем применения последовательности элементарных строчных операций . Термин «эшелон» происходит от французского échelon («уровень» или ступенька лестницы) и относится к тому факту, что ненулевые элементы матрицы в ступенчатой ​​форме выглядят как перевернутая лестница.

Для квадратных матриц верхняя треугольная матрица с ненулевыми элементами на диагонали находится в ступенчатой ​​форме, а матрица в ступенчатой ​​форме является (слабо) верхней треугольной. Таким образом, ступенчатую форму можно рассматривать как обобщение верхней треугольной формы для прямоугольных матриц.

Матрица находится в приведенной ступенчатой ​​форме, если она находится в ступенчатой ​​форме, с дополнительным свойством, что первый ненулевой элемент каждой строки равен и является единственным ненулевым элементом ее столбца. Приведенная ступенчатая форма матрицы уникальна и не зависит от последовательности элементарных операций по строкам, используемых для ее получения. Вариант метода исключения Гаусса , который преобразует матрицу в приведенную ступенчатую форму, иногда называется методом исключения Гаусса–Жордана .${\displaystyle 1}$

Матрица находится в форме столбцового ступенчатого типа, если ее транспонирование находится в форме строкового ступенчатого типа. Поскольку все свойства форм столбцового ступенчатого типа могут быть немедленно выведены из соответствующих свойств форм строкового ступенчатого типа, в оставшейся части статьи рассматриваются только формы строкового ступенчатого типа.

Матрица имеет ступенчатую форму, если

• Все строки, содержащие только нулевые записи, находятся внизу. ^[1]
• Начальная запись (то есть самая левая ненулевая запись) каждой ненулевой строки, называемая опорной точкой , находится справа от начальной записи каждой строки выше. ^[2]

В некоторых текстах добавляется условие, что ведущий коэффициент должен быть равен 1 ^[3], в то время как в других это требуется только в форме сокращенного ряда.

Эти два условия подразумевают, что все записи в столбце под ведущим коэффициентом равны нулю. ^[4]

Ниже приведен пример матрицы в ступенчатой ​​форме, но не в сокращенной ступенчатой ​​форме (см. ниже):${\displaystyle 4\times 5}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&0&2&a_{4}&a_{5}\\0&0&0&1&a_{6}\\0&0&0&0&0\end{array}}\right]}$

Многие свойства матриц, такие как ранг и ядро , можно легко вывести из их ступенчатой ​​формы .

Матрица находится в приведенной строчно-ступенчатой ​​форме (также называемой строчно-канонической формой ), если она удовлетворяет следующим условиям: ^[5]

• Он имеет ступенчатую форму.
• Первая запись в каждой ненулевой строке — 1 (называется ведущей).
• В каждом столбце, содержащем начальную единицу, во всех остальных записях стоят нули.

Если первые два условия выполнены, то последнее условие эквивалентно:

• Каждый столбец, содержащий начальную единицу , имеет нули во всех записях выше начальной единицы .

Хотя матрица может иметь несколько ступенчатых форм, ее сокращенная ступенчатая форма уникальна.

Если для матрицы в форме сокращенного ряда строк переставить столбцы так, чтобы первая единица i - й строки оказалась в i -м столбце, то получится матрица вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&X\\0&0\end{pmatrix}},}$

где I — единичная матрица размерности, равной рангу всей матрицы, X — матрица со строками и столбцами, а два 0 — нулевые матрицы соответствующего размера. Поскольку перестановка столбцов не является операцией со строками, результирующая матрица неэквивалентна относительно элементарных операций со строками. В методе исключения Гаусса это соответствует перестановке неизвестных в исходной линейной системе, которая допускает линейную параметризацию пространства строк, в которой первые коэффициенты не ограничены, а остальные определяются как их линейные комбинации.${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle n-j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle n-j}$

Система линейных уравнений называется ступенчатой, если ее расширенная матрица находится в ступенчатой ​​форме. Аналогично, система линейных уравнений называется редуцированной ступенчатой ​​или канонической, если ее расширенная матрица находится в редуцированной ступенчатой ​​форме.

Каноническую форму можно рассматривать как явное решение линейной системы. Фактически, система является противоречивой тогда и только тогда, когда одно из уравнений канонической формы сводится к 0 = 1; то есть, если в столбце постоянных членов есть ведущая 1. ^[6] В противном случае, перегруппировка в правой части всех членов уравнений, кроме ведущих, выражает переменные, соответствующие опорным элементам, как константы или линейные функции других переменных, если таковые имеются.

Гауссово исключение является основным алгоритмом для преобразования каждой матрицы в матрицу в форме ступенчатой ​​строки. Вариант, иногда называемый исключением Гаусса–Жордана, создает сокращенную форму ступенчатой ​​строки. Оба состоят из конечной последовательности элементарных операций над строками ; число требуемых элементарных операций над строками не превышает mn для матрицы размером m на n . ^[7] Для заданной матрицы, несмотря на то, что форма ступенчатой ​​строки не является уникальной, все формы ступенчатой ​​строки, включая сокращенную форму ступенчатой ​​строки, имеют одинаковое количество нулевых строк, а опорные точки расположены в тех же позициях. ^[7]

Это пример матрицы в форме сокращенного ступенчатого ряда, который показывает, что левая часть матрицы не всегда является единичной матрицей :

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&a_{2}&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}$

Для матрицы с целыми коэффициентами нормальная форма Эрмита представляет собой ступенчатую форму строк, которую можно вычислить без введения какого-либо знаменателя, используя евклидово деление или тождество Безу . Приведенная ступенчатая форма матрицы с целыми элементами обычно содержит нецелые элементы из-за необходимости деления на ее старший коэффициент каждой строки ступенчатой ​​формы.

Неединственность ступенчатой ​​формы матрицы следует из того факта, что некоторые элементарные операции над строками преобразуют матрицу в ступенчатой ​​форме в другую ( эквивалентную ) матрицу, которая также находится в ступенчатой ​​форме. Эти элементарные операции над строками включают умножение строки на ненулевой скаляр и добавление скалярного кратного строки к одной из строк над ней. Например:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}{\xrightarrow {\text{add row 2 to row 1}}}{\begin{bmatrix}1&4&6\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}$

В этом примере уникальная форма ступенчатой ​​структуры с сокращенными строками может быть получена путем вычитания из первой строки три раза второй строки:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}\xrightarrow {{\text{subtract 3}}\times {\text{(row 2) from row 1}}} {\begin{bmatrix}1&0&-22\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}$

В этом и следующем разделах мы обозначаем расположение столбцов, содержащих начальные элементы последовательных строк матрицы в форме сокращенного ступенчатого ряда (осевые элементы), как , причем${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$

${\displaystyle 0<L_{1}\cdots <L_{j}\leq n,}$

где - размерность пространства строк матрицы. Данные будут называться формой , которая имеет ведущие ненулевые записи , записи в столбце выше и ниже ее исчезают, и то же самое происходит со всеми теми, что слева от нее в той же строке, а также со всеми записями в строке th для :${\displaystyle j\leq k}$${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{A_{i,L_{i}}=1\}_{i=1,\dots ,j}}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i>j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{i,L_{i}}=1\qquad &{\text{for }}i=1,\dots ,j,\\A_{l,L_{i}}=0\qquad &{\text{for }}l\neq i,\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for }}l<L_{i},\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for }}i>j\end{aligned}}.}$

Поскольку все остальные элементы являются произвольными элементами базового поля , множество всех матриц приведенной ступенчатой ​​формы с формой представляет собой K -аффинное пространство размерности ^{[8] [9]}${\displaystyle K}$${\displaystyle A(k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$

${\displaystyle {\text{dim}}(A(k,n,L_{1},\dots ,L_{j}))=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.}$

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что из возможных записей матрицы в первых строках определяются как 's и 's, поскольку они находятся в столбцах, содержащих опорные элементы. Далее также требуется, чтобы были , поскольку они находятся слева от опорных элементов, но из них, ${\displaystyle nj}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j^{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{j}(L_{i}-1)}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}i={\frac {1}{2}}j(j-1)}$

также находятся в столбцах . Таким образом, общее количество записей, которые не зафиксированы, равно или равно${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle nj-j^{2}+{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}+j=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.}$

Ступенчатую форму строк можно использовать для конкретного описания ячеек Шуберта, связанных с грассманианом -мерных подпространств векторного пространства .${\displaystyle k}$

Если , то матрицы имеют максимальный ранг и определяют -мерные подпространства свободного -модуля , как промежуток ${\displaystyle j=k\leq n}$${\displaystyle A\in A(k,n,L_{1},\dots ,L_{k})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle K}$${\displaystyle V:=K^{n}}$

${\displaystyle w={\text{span}}\{W_{1},\dots ,W_{k}\}}$

линейных комбинаций

${\displaystyle W_{i}:=\sum _{l=1}^{n}A_{il}e_{l},\quad i=1,\dots ,k}$

элементарных базисных векторов с коэффициентами, равными строковым векторам. В этом случае аффинное пространство — это ячейка Шуберта ^{[8] [9]} грассманиана , состоящая из -мерных подпространств, соответствующих целочисленному разбиению${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$${\displaystyle A(k,n,L_{1},\dots ,L_{k})}$${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{k}\geq 0)}$

с частями, равными

${\displaystyle \lambda _{i}:=n-k-L_{i}+i,\quad 1\leq j\leq k,}$

относительно полного флага

${\displaystyle {\mathcal {V}}=(V_{1}\subset V_{2}\cdots \subset V_{n}=V),}$

где

${\displaystyle V_{i}={\text{span}}\{e_{1},\dots ,e_{i}\},\quad i=1,\dots n.}$

Это означает, что состоит из тех -мерных подпространств , пересечения которых с подпространствами имеют размерности${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle \{V_{j}\}_{j=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle {\text{dim}}(w\cap V_{j})=i,\ {\text{for }}n-k-\lambda _{i}+i\leq j\leq n-k-\lambda _{i+1}+i,\quad i=1,\dots ,k.}$

Тогда его размер равен весу перегородки ^[8]${\displaystyle |\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}}$

${\displaystyle \dim({X_{\lambda }({\mathcal {V}})})=|\lambda |.}$

Эквивалентную, но более простую характеристику ячейки Шуберта можно дать в терминах двойного полного флага${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {V}}}=({\tilde {V}}_{1}\subset {\tilde {V}}_{2}\cdots \subset {\tilde {V}}_{n}=V),}$

где

${\displaystyle {\tilde {V}}_{i}={\text{span}}\{e_{n},\dots ,e_{n-i+1}\},\quad i=1,\dots n.}$

Тогда состоит из тех -мерных подпространств , которые имеют базис, состоящий из элементов${\displaystyle X_{\lambda }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle ({\tilde {W}}_{1},\dots ,{\tilde {W}}_{k})}$

${\displaystyle {\tilde {W}}_{i}\in {\tilde {V}}_{n-L_{i}+1}={\tilde {V}}_{k+\lambda _{i}-i+1},\quad i=1,\dots ,k}$

подпространств , которые относительно стандартного базиса являются векторами-строками ступенчатой ​​формы, записанными в обратном порядке.${\displaystyle \{{\tilde {V}}_{k+\lambda _{i}-i+1}\}_{i=1,\dots ,k}}$${\displaystyle (W_{k},\dots ,W_{1})}$

• Леон, Стивен Дж. (2010), Линч, Дейрдре; Хоффман, Уильям; Селано, Кэролайн (ред.), Линейная алгебра с приложениями (8-е изд.), Пирсон, ISBN 978-0-13-600929-0Говорят , что матрица имеет ступенчатую форму (i) Если первый ненулевой элемент в каждой ненулевой строке равен 1. (ii) Если строка k не состоит полностью из нулей, то количество начальных нулевых элементов в строке больше, чем количество начальных нулевых элементов в строке k . (iii) Если есть строки, все элементы которых равны нулю, то они находятся ниже строк, имеющих ненулевые элементы.${\displaystyle k+1}$.
• Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.

В Wikibook Linear Algebra есть страница по теме: Редукция строк и ступенчатые формы.

• Интерактивная форма Row Echelon с рациональным выводом