Взаимное правило

В этой статье не указаны источники . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены . Найти источники:  «Правило взаимности» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2024 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В исчислении правило обратного дает производную обратной функции f через производную  f . Правило обратного можно использовать, чтобы показать, что правило мощности справедливо для отрицательных показателей, если оно уже установлено для положительных показателей. Кроме того, можно легко вывести правило частного из правила обратного и правила произведения .

Правило взаимности гласит, что если f дифференцируема в точке x и f ( x ) ≠ 0 , то g( x ) = 1/ f ( x ) также дифференцируема в точке x и

$${\displaystyle g'(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)^{2}}}.}$$

Это доказательство опирается на предпосылку, что дифференцируемо при и на теорему, которая тогда также обязательно непрерывна там. Применение определения производной от при с дает Предел этого произведения существует и равен произведению существующих пределов его множителей: В силу дифференцируемости при первом пределе равно и в силу и непрерывности при втором пределе равно таким образом, получая${\displaystyle f}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}g'(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{f(x)}}\right)&=\lim _{h\to 0}\left({\frac {{\frac {1}{f(x+h)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{h}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x)-f(x+h)}{h\cdot f(x)\cdot f(x+h)}}\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left(-({\frac {(f(x+h)-f(x)}{h}})\cdot ({\frac {1}{f(x)\cdot f(x+h)}})\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \left(-\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {1}{f(x)\cdot f(x+h)}}\right)}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -f'(x),}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/f(x)^{2},}$$${\displaystyle g'(x)=-f'(x)\cdot {\frac {1}{f(x)^{2}}}=-{\frac {f'(x)}{f(x)^{2}}}}$$

Можно утверждать, что поскольку

$${\displaystyle f(x)\cdot {\frac {1}{f(x)}}=1,}$$

применение правила произведения гласит, что

$${\displaystyle f'(x)\left({\frac {1}{f}}\right)(x)+f(x)\left({\frac {1}{f}}\right)'(x)=0,}$$

и это можно алгебраически переформулировать так:

$${\displaystyle \left({\frac {1}{f}}\right)'(x)={\frac {-f'(x)}{f(x)^{2}}}.}$$

Однако это не доказывает, что 1/ f дифференцируема в точке  x ; это справедливо только тогда, когда дифференцируемость 1/ f в точке x уже установлена. Таким образом, это более слабый результат, чем правило взаимности, доказанное выше. Однако в контексте дифференциальной алгебры , в которой нет ничего, что не дифференцируемо, и в которой производные не определяются пределами, именно таким образом устанавливаются правило взаимности и более общее правило частного.

Часто правило мощности, утверждающее, что , доказывается методами, которые действительны только тогда, когда n — неотрицательное целое число. Это можно распространить на отрицательные целые числа n , допустив , где m — положительное целое число.${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(x^{n})=nx^{n-1}}$${\displaystyle n=-m}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{n}&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)\\&=-{\frac {{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}},{\text{ by the reciprocal rule}}\\&=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}},{\text{ by the power rule applied to the positive integer }}m,\\&=-mx^{-m-1}=nx^{n-1},{\text{ by substituting back }}n=-m.\end{aligned}}}$$

Правило взаимности является частным случаем правила частного, которое гласит, что если f и g дифференцируемы в точке x и g ( x ) ≠ 0, то

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {g(x)f\,'(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.}$$

Правило частного можно доказать, записав

$${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}}$$

и затем сначала применяем правило произведения, а затем применяем правило взаимности ко второму фактору.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]&={\frac {d}{dx}}\left[f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Используя правило взаимности, можно найти производную функций секанса и косеканса.

Для секущей функции:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sec x&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{\cos x}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos x}}\cdot {\frac {\sin x}{\cos x}}=\sec x\tan x.\end{aligned}}}$$

Аналогично рассматривается косеканс:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\csc x&={\frac {d}{dx}}\,\left({\frac {1}{\sin x}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}\sin x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin x}}\cdot {\frac {\cos x}{\sin x}}=-\csc x\cot x.\end{aligned}}}$$

• Правило цепочки  – Для производных составных функций
• Разностное отношение  – Выражение в исчислении
• Дифференцирование интегралов  – Задача по математике
• Правила дифференцирования  – Правила вычисления производных функций
• Общее правило Лейбница  – Обобщение правила произведения в исчислении
• Интеграция по частям  – Математический метод в исчислении
• Обратные функции и дифференцирование  – Исчисление тождестваPages displaying short descriptions of redirect targets
• Линейность дифференциации  – свойство исчисления
• Правило произведения  – Формула производной произведения
• Правило частного  – Формула производной отношения функций
• Таблица производных  – Правила вычисления производных функцийPages displaying short descriptions of redirect targets
• Тождества векторного исчисления  – Математические тождества