Обратная константа Фибоначчи

Обратная константа Фибоначчи ψ представляет собой сумму обратных чисел чисел Фибоначчи :

$${\displaystyle \psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{21}}+\cdots .}$$

Поскольку отношение последовательных членов стремится к обратной величине золотого сечения , которая меньше 1, тест отношения показывает, что сумма сходится .

Значение ψ приблизительно равно

$${\displaystyle \psi =3.359885666243177553172011302918927179688905133732\dots }$$(последовательность A079586 в OEIS ).

С k членами ряд дает O( k ) цифр точности. Билл Госпер вывел ускоренный ряд , который дает O( k ² ) цифр. ^[1] ψ иррационально , как предполагали Пол Эрдёш , Рональд Грэм и Леонард Карлиц , и доказал в 1989 году Ричард Андре-Жаннен. [ ^2]

Его простое представление в виде цепной дроби :

$${\displaystyle \psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ]\!\,}$$(последовательность A079587 в OEIS ).

По аналогии с дзета-функцией Римана , определим дзета-функцию Фибоначчи как для комплексного числа s с Re( s ) > 0 , и ее аналитическое продолжение в другом месте. В частности, данная функция равна ψ при s = 1 . ^[3]$${\displaystyle \zeta _{F}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(F_{n})^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+\cdots }$$

Было показано, что:

• Значение ζ _F (2 s ) является трансцендентным для любого положительного целого числа s , что аналогично случаю четноиндексных дзета-констант Римана ζ (2 s ) . ^{[3] [4]}
• Константы ζ _F (2) , ζ _F (4) и ζ _F (6) алгебраически независимы . ^{[3] [4]}
• За исключением ζ _F (1), которая, как было доказано, иррациональна, теоретико-числовые свойства ζ _F (2 s + 1) (когда s — неотрицательное целое число ) в основном неизвестны. ^[3]

• Список сумм обратных величин
• Список математических констант

• Вайсштейн, Эрик В. «Обратная константа Фибоначчи». MathWorld .

Эта статья, связанная с математикой, является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e