Векторная мера

В математике векторная мера — это функция, определенная на семействе множеств и принимающая векторные значения, удовлетворяющие определенным свойствам. Это обобщение концепции конечной меры , которая принимает только неотрицательные действительные значения.

Для данного поля множеств и банахова пространства конечно-аддитивная векторная мера ( или мера , для краткости) — это функция такая, что для любых двух непересекающихся множеств и в одном из них имеет место${\displaystyle (\Omega, {\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X}$ ${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$$${\ displaystyle \ му (А \ чашка B) = \ му (А) + \ му (B).}$$

Векторная мера называется счетно-аддитивной, если для любой последовательности непересекающихся множеств в такой, что их объединение принадлежит , выполняется соотношение с рядом в правой части, сходящимся по норме банахова пространства${\displaystyle \мю}$ ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$$${\displaystyle \mu {\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$$${\displaystyle X.}$

Можно доказать, что аддитивная векторная мера является счетно-аддитивной тогда и только тогда, когда для любой последовательности, как указано выше, выполняется${\displaystyle \мю}$${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu {\left(\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)}\right\|=0,}$$

*

где норма на${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X.}$

Счётно-аддитивные векторные меры, определённые на сигма-алгебрах, являются более общими, чем конечные меры , конечные знаковые меры и комплексные меры , которые являются счётно-аддитивными функциями, принимающими значения соответственно на действительном интервале, множестве действительных чисел и множестве комплексных чисел .${\displaystyle [0,\infty),}$

Рассмотрим поле множеств, составленное из интервала вместе с семейством всех измеримых по Лебегу множеств, содержащихся в этом интервале. Для любого такого множества определите, где есть индикаторная функция В зависимости от того, где объявлено, что принимает значения, наблюдаются два различных результата.${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle А,}$$${\displaystyle \mu (A)=\chi _{A}}$$${\displaystyle \чи}$${\displaystyle А.}$${\displaystyle \мю}$

• ${\displaystyle \мю ,}$рассматриваемая как функция от в -пространство, представляет собой векторную меру, которая не является счетно-аддитивной.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{\infty }([0,1]),}$
• ${\displaystyle \мю ,}$рассматриваемая как функция от в -пространство, является счетно-аддитивной векторной мерой.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{1}([0,1]),}$

Оба эти утверждения довольно легко вытекают из критерия ( * ), указанного выше.

При заданной векторной мере вариация определяется как где супремум берется по всем разбиениям на конечное число непересекающихся множеств, для всех из Здесь — норма на${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X,}$ ${\displaystyle |\mu |}$${\displaystyle \мю}$$${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|}$$$${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X.}$

Вариация является конечно-аддитивной функцией, принимающей значения в Справедливо, что для любого из Если конечно, то говорят, что мера имеет ограниченную вариацию . Можно доказать, что если является векторной мерой ограниченной вариации, то является счетно-аддитивной тогда и только тогда, когда является счетно-аддитивной.${\displaystyle \мю}$${\displaystyle [0,\infty].}$$${\displaystyle \|\му (А)\|\leq |\му |(А)}$$${\displaystyle А}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle |\му |(\Омега)}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle |\mu |}$

В теории векторных мер теорема Ляпунова утверждает , что область значений ( неатомической ) конечномерной векторной меры замкнута и выпукла . ^{[1] [2] [3]} Фактически область значений неатомической векторной меры представляет собой зоноид (замкнутое и выпуклое множество, являющееся пределом сходящейся последовательности зонотопов ). ^[2] Она используется в экономике , ^{[4] [5] [6] в} теории управления ( «bang–bang» ) , ^{[1] [3] [7] [8]} и в статистической теории . ^[8] Теорема Ляпунова была доказана с использованием леммы Шепли–Фолкмана , ^[9] которая рассматривается как дискретный аналог теоремы Ляпунова. ^{[8] [10] [11]}

• Измеримая функция Бохнера
• Интеграл Бохнера  – Понятие в математике
• Пространство Бохнера  – Тип топологического пространства
• Комплексная мера  – Мера с комплексными значениями
• Знаковая мера  – Обобщенное понятие меры в математике
• Векторнозначные функции  – функции, значения которых находятся в векторном пространстве; обычно это действительные или комплексные числа.Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Слабо измеримая функция

• Кон, Дональд Л. (1997) [1980]. Теория меры (переиздание). Бостон–Базель–Штутгарт: Birkhäuser Verlag . С. IX+373. ISBN 3-7643-3003-1. Збл  0436.28001.
• Дистель, Джо; Уль, Джерри младший (1977). Векторные меры . Математические обзоры. Том. 15. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6.
• Клуванек, И. , Ноулз, Г., Векторные меры и системы управления , North-Holland Mathematics Studies  20 , Амстердам, 1976.
• ван Дульст, Д. (2001) [1994], "Векторные меры", Энциклопедия математики , EMS Press
• Рудин, В. (1973). Функциональный анализ . Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 114. ISBN 9780070542259.