Основная теорема Рамануджана

В математике основная теорема Рамануджана , названная в честь Шринивасы Рамануджана , ^[1] представляет собой метод, который обеспечивает аналитическое выражение для преобразования Меллина аналитической функции .

Результат выглядит следующим образом:

Если комплекснозначная функция имеет разложение вида${\textstyle f(x)}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\,\varphi (k)\,}{k!}}(-x)^{k}}$$

тогда преобразование Меллина задается выражением${\textstyle f(x)}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\,\varphi (-s)}$$

где - гамма-функция .${\textstyle \Гамма (с)}$

Рамануджан широко использовал его для вычисления определенных интегралов и бесконечных рядов .

Версии этой теоремы в более высоких измерениях также появляются в квантовой физике посредством диаграмм Фейнмана . ^[2]

Похожий результат был получен также Глейшером . ^[3]

Альтернативная формулировка основной теоремы Рамануджана выглядит следующим образом:

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left(\,\lambda (0)-x\,\lambda (1)+x^{2}\,\lambda (2)-\,\cdots \,\right)dx={\frac {\pi }{\,\sin(\pi s)\,}}\,\lambda (-s)}$$

который преобразуется в указанную выше форму после подстановки и использования функционального уравнения для гамма-функции .${\textstyle \lambda (n)\equiv {\frac {\varphi (n)}{\,\Gamma (1+n)\,}}}$

Интеграл выше сходится при условии роста на . ^[4]${\textstyle 0<\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<1}$${\textstyle \varphi}$

Доказательство основной теоремы Рамануджана, подчиняющееся «естественным» предположениям (хотя и не самым слабым необходимым условиям), было предоставлено Г. Х. Харди ^[5] (глава XI) с использованием теоремы о вычетах и ​​хорошо известной теоремы Меллина об обращении .

Производящая функция полиномов Бернулли определяется выражением:${\textstyle B_{k}(x)}$

$${\displaystyle {\frac {z\,e^{x\,z}}{\,e^{z}-1\,}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k }(x)\,{\frac {z^{k}}{k!}}}$$

Эти полиномы задаются через дзета-функцию Гурвица :

$${\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\,(n+a)^{s}\,}}}$$

на для . Используя основную теорему Рамануджана и производящую функцию полиномов Бернулли, получаем следующее интегральное представление: ^[6]${\textstyle \zeta (1-n,a)=- {\frac {B_{n}(a)}{n}}}$${\textstyle ~n\geq 1}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{\,1-e^{-x}\,}}-{\frac {1}{x}}\right)dx=\Гамма (с)\,\дзета (с,а)\!}$$

что действительно для .${\textstyle 0<\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<1}$

Определение Вейерштрасса гамма-функции

$${\displaystyle \Гамма (x)={\frac {\,e^{-\gamma \,x\,}}{x}}\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(\,1+{\frac {x}{n}}\,\right)^{-1}e^{x/n}\!}$$

эквивалентно выражению

$${\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma \,x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\,\zeta (k)\,}{k}}\,(-x)^{k}}$$

где — дзета-функция Римана .${\textstyle \дзета (к)}$

Тогда, применяя основную теорему Рамануджана, имеем:

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\,\gamma \,x+\log \Gamma (1+x)\,}{x^{2} }}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!}$$

действительно для .${\textstyle 0<\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<1}$

Частные случаи и являются${\textstyle s={\frac {1}{2}}}$${\textstyle s={\frac {3}{4}}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\,\gamma x+\log \Gamma (1+x)\,}{x^{5/2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {2\pi }{3}}\,\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\,\gamma \,x+\log \Gamma (1+x)\,}{x^{9/4}}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {2}}{\frac {4\pi }{5}}\zeta \left({\frac {5}{4}}\right)}$$

Функция Бесселя первого рода имеет степенной ряд$${\displaystyle J_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (k+\nu +1)k! }}{\bigg (}{\frac {z}{2}}{\bigg )}^{2k+\nu }}$$

Используя основную теорему Рамануджана, а также некоторые тождества для гамма-функции и перестановки, мы можем вычислить интеграл

$${\displaystyle {\frac {2^{\nu -2s}\pi }{\sin {(\pi (s-\nu))}}}\int _{0}^{\infty }z^{s -1-\nu /2}J_{\nu }({\sqrt {z}})\,dz=\Gamma (s)\Gamma (s-\nu )}$$

действительно для .${\textstyle 0<2\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<\operatorname {\mathcal {Re}} (\nu )+{\tfrac {3}{2}}}$

Эквивалентно, если предпочтительнее сферическая функция Бесселя , формула становится ${\textstyle j_{\nu }(z)}$

$${\displaystyle {\frac {2^{\nu -2s}{\sqrt {\pi }}(1-2s+2\nu )}{\cos {(\pi (s-\nu))}}} \int _{0}^{\infty }z^{s-1-\nu /2}j_{\nu }({\sqrt {z}})\,dz=\Gamma (s)\Gamma {\bigg (}{\frac {1}{2}}+s-\nu {\bigg )}}$$

действительно для .${\textstyle 0<2\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<\operatorname {\mathcal {Re}} (\nu )+2}$

Решение примечательно тем, что оно способно интерполировать по основным тождествам для гамма-функции. В частности, выбор дает квадрат гамма-функции, дает формулу удвоения , дает формулу отражения , а фиксация к оцениваемому или дает гамма-функцию саму по себе, вплоть до отражения и масштабирования.${\textstyle J_{1/2}({\sqrt {z}})}$${\textstyle j_{0}({\sqrt {z}})}$${\textstyle z^{-1/2}J_{1}({\sqrt {z}})}$${\textstyle s={\frac {1}{2}}}$${\textstyle с=1}$

Метод интегрирования скобок (метод скобок) применяет основную теорему Рамануджана к широкому диапазону интегралов. ^{[7] Метод интегрирования скобок генерирует} разложение ряда подынтегральной функции , создает ряд скобок, определяет коэффициент ряда и параметры формулы и вычисляет интеграл. ^[8]

В этом разделе определяются формулы интегрирования для подынтегральных функций с последовательными целыми показателями степеней и без них, а также для одинарных и двойных интегралов. Формула интегрирования для двойных интегралов может быть обобщена для любого кратного интеграла . Во всех случаях имеется значение параметра или массив значений параметров , который решает одно или несколько линейных уравнений, полученных из членов экспоненты разложения ряда подынтегральной функции. ${\textstyle н^{\аст }}$${\textstyle Н^{\аст }}$

Это разложение в ряд функции, интеграл и формула интегрирования для интеграла, разложение в ряд подынтегральной функции которого содержит последовательные целые показатели. ^[9] Параметр является решением этого линейного уравнения.$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ y^{n}\\&\int _{0}^{\infty }y^{c-1}f(y)\,dy\\&=\int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ y^{n+c-1}dy\\&=\Gamma (-n^{\ast })\,\varphi (n^{\ast }).\end{aligned}}}$$${\displaystyle n^{\ast }}$$${\displaystyle n^{\ast }+c=0,\ n^{\ast }=-c}$$

Применение подстановки генерирует разложение ряда функции, интеграл и формулу интегрирования для интеграла, разложение ряда подынтегральной функции которого не может содержать последовательных целых показателей степеней. ^[8] Параметр является решением этого линейного уравнения.${\textstyle y=x^{a}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ x^{an}\\&\int _{0}^{\infty }x^{c-1}f(x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ x^{an+c-1}dx\\&=a^{-1}\ \Gamma (-n^{\ast })\,\varphi (n^{\ast }).\\\end{aligned}}}$$${\textstyle n^{\ast }}$$${\displaystyle a\ n^{\ast }+c=0,\ n^{\ast }=-a^{-1}c}$$

Это формула разложения в ряд функции, интеграла и интегрирования для двойного интеграла, разложение в ряд подынтегральной функции которого содержит последовательные целые показатели. ^[10] Параметры и являются решениями этих линейных уравнений.$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(y_{1},y_{2})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ y_{1}^{n_{1}}\ y_{2}^{n_{2}}\\&\int _{0}^{\infty }y_{1}^{c_{1}-1}y_{2}^{c_{2}-1}\ f(y_{1},y_{2})\ dy_{1}\ dy_{2}\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ y_{1}^{n_{1}+c_{1}-1}\ y_{2}^{n_{2}+c_{2}-1}\ dy_{1}\ dy_{2}\\&=\Gamma (-n_{1}^{\ast })\ \Gamma (-n_{2}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast }).\\\end{aligned}}}$$${\textstyle n_{1}^{\ast }}$${\textstyle n_{2}^{\ast }}$$${\displaystyle n_{1}^{\ast }+c_{1}=0,\ n_{2}^{\ast }+c_{2}=0,\ n_{1}^{\ast }=-c_{1},\ n_{2}^{\ast }=-c_{2}}$$

В этом разделе описывается формула интегрирования для двойного интеграла, разложение подынтегральной функции в ряд может не содержать последовательных целых показателей. Матрицы содержат параметры, необходимые для выражения показателей в разложении подынтегральной функции в ряд, а определитель обратимой матрицы равен . ^[11] Применение подстановки генерирует формулу разложения в ряд функции, интеграла и интегрирования для двойного интеграла, разложение подынтегральной функции в ряд может не содержать последовательных целых показателей. ^[10] Формула интеграла и интегрирования равна ^{[12] [13]} Матрица параметров является решением этого линейного уравнения. ^[14] .${\textstyle A}$${\textstyle \det |A|}$ $${\displaystyle A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}},\ C={\begin{vmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{vmatrix}},\ \ N^{\ast }={\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\n_{2}^{\ast }\end{vmatrix}}}$$$${\displaystyle y_{1}=x_{1}^{a_{11}}x_{2}^{a_{21}},\quad y_{2}=x_{1}^{a_{12}}x_{2}^{a_{22}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ x_{1}^{n_{1}a_{11}+n_{2}a_{12}+c_{1}-1}\ x_{2}^{n_{1}a_{21}+n_{2}a_{22}+c_{2}-1}\ dx_{1}\ dx_{2}\\&=\det |A|^{-1}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ \Gamma (-n_{2}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast }).\end{aligned}}}$$${\textstyle N^{\ast }}$$${\displaystyle AN^{\ast }+C=0,\ N^{\ast }=-A^{-1}C}$$

В некоторых случаях может быть больше сумм, чем переменных. Например, если подынтегральное выражение является произведением 3 функций общей одной переменной, и каждая функция преобразуется в сумму разложения в ряд, подынтегральное выражение теперь является произведением 3 сумм, каждая сумма соответствует отдельному разложению в ряд.

• Число скобок — это число линейных уравнений, связанных с интегралом. Этот термин отражает общепринятую практику заключения в скобки каждого линейного уравнения. ^[15]
• Индекс сложности — это число сумм подынтегральной функции за вычетом числа скобок (линейных уравнений). Каждое разложение подынтегральной функции в ряд дает одну сумму. ^[15]
• Индексы суммирования (переменные) — это индексы, которые индексируют члены в рядовом расширении. В примере есть 3 индекса суммирования , и поскольку подынтегральное выражение является произведением 3 рядовых расширений. ^[16]${\textstyle n_{1},n_{2}}$${\textstyle n_{3}}$
• Свободные индексы суммирования (переменные) — это индексы суммирования, которые остаются после завершения всех интегрирований. Интеграция уменьшает количество сумм в подынтегральном выражении путем замены разложений рядов (сумм) на формулу интегрирования. Поэтому после интегрирования остается меньше индексов суммирования. Количество выбранных свободных индексов суммирования равно индексу сложности. ^[16]

Индексы свободного суммирования являются элементами множества . Матрица индексов свободного суммирования равна , а коэффициенты индексов свободного суммирования равны матрице . Остальные индексы содержат индексы . Матрицы и содержат матричные элементы, которые умножаются или суммируются с индексами несуммирования. Выбранные индексы свободного суммирования должны оставлять матрицу невырожденной. . Это формула разложения в ряд, интеграла и интегрирования функции. ^[17] Параметры являются линейными функциями параметров . ^[18] .${\textstyle {\bar {n}}_{1},\ldots ,{\bar {n}}_{f}}$${\textstyle F}$${\textstyle {\bar {N}}}$${\textstyle {\bar {A}}}$$${\displaystyle {\bar {A}}={\begin{vmatrix}{\bar {a}}_{11}&\ldots &{\bar {a}}_{1f}\\\vdots &&\vdots \\{\bar {a}}_{b1}&\ldots &{\bar {a}}_{bf}\end{vmatrix}},\ {\bar {N}}={\begin{vmatrix}{\bar {n}}_{1}\\\vdots \\{\bar {n}}_{f}\end{vmatrix}}}$$${\textstyle B}$${\textstyle n_{1},\ldots ,n_{b}}$${\textstyle A,C}$${\textstyle N^{\ast }}$${\textstyle A}$$${\displaystyle A={\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1b}\\\vdots &&\vdots \\a_{b1}&\ldots &a_{bb}\end{vmatrix}},\ C={\begin{vmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{b}\end{vmatrix}},\ \ N^{\ast }={\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\\vdots \\n_{b}^{\ast }\end{vmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(x_{1},\ldots ,x_{b})\\&=\sum _{n\in B}^{\infty }\sum _{{\bar {n}}\in F}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{1}}}{{\bar {n}}_{1}!}}\ldots {\frac {(-1)^{n_{b}}}{n_{b}!}}{\frac {(-1)^{\bar {n_{f}}}}{{\bar {n}}_{f}!}}\varphi (n_{1},\ldots ,n_{b},{\bar {n}}_{1},\dots ,{\bar {n}}_{f})\prod _{x_{k}\in B}x_{k}^{n_{1}a_{k1}+\dots +{\bar {n}}_{1}{\bar {a}}_{k1}+\dots +c_{k}-1}\\&\int _{0}^{\infty }\ldots \int _{0}^{\infty }x^{c_{1}-1}\dots x^{c_{b}-1}f(x_{1},\ldots ,x_{b})\ dx_{1}\ldots dx_{b}\\&=\det |A|^{-1}\sum _{{\bar {n}}\in F}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{1}}}{{\bar {n}}_{1}!}}\ldots {\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{f}}}{{\bar {n}}_{f}!}}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ldots \Gamma (-n_{b}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast },{\bar {n}}_{1},\dots ,{\bar {n}}_{f}).\end{aligned}}}$$${\textstyle n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast }}$${\textstyle {\bar {n}}_{1}^{\ast },\ldots ,{\bar {n}}_{f}^{\ast }}$ $${\displaystyle A\ N^{\ast }+{\bar {A}}\ {\bar {N}}+C=0,\ N^{\ast }=-A^{-1}({\bar {A}}\ {\bar {N}}+C)}$$

Таблица 1. Обозначения скобочных рядов

Тип обозначения	Обозначение степенного ряда	Обозначение ряда скобок
Индикатор	$${\displaystyle {\frac {(-1)^{n}}{n!}}}$$	$${\displaystyle \phi _{n}}$$
Мульти-индикатор	$${\displaystyle \prod _{j=1}^{N}\left({\frac {(-1)^{n_{j}}}{n_{j}!}}\right)}$$	$${\displaystyle \phi _{n_{1},\ldots ,n_{N}}}$$
Кронштейн	$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }dx\ x^{a_{1}n_{1}+\ldots +a_{m}n_{m}+c-1}}$$	$${\displaystyle \langle a_{1}n_{1}+\ldots +a_{m}n_{m}+c\rangle }$$

Нотации скобочных рядов — это нотации, которые заменяют обычные нотации степенных рядов (таблица 1). ^[19] Замена нотаций степенных рядов на нотации скобочных рядов преобразует степенной ряд в скобочный ряд. Скобочный ряд облегчает определение параметров формулы, необходимых для интегрирования. Также рекомендуется заменить сумму, возведенную в степень: ^[19] этим выражением скобочного ряда:$${\displaystyle {\frac {1}{(x_{1}+\ldots +x_{b})^{\alpha }}}}$$$${\displaystyle \sum _{m_{1}=0}^{\infty }\ldots \sum _{m_{b}=0}^{\infty }\ \phi _{m_{1},\dots ,m_{b}}\ x_{1}^{m_{1}}\dots x_{b}^{m_{b}}{\frac {\langle \alpha +m_{1}+\ldots +m_{b}\rangle }{\Gamma (\alpha )}}.}$$

Этот алгоритм описывает, как применять интегральные формулы. ^{[8] [9] [20]}

Таблица 2. Интегральные формулы

Индекс сложности	Интегральная формула
Нулевой, одинарный интеграл	$${\displaystyle a^{-1}\ \Gamma (-n^{\ast })\,\varphi (n^{\ast })}$$
Нулевой, кратный интеграл	$${\displaystyle \det |A|^{-1}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ldots \Gamma (-n_{b}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast })}$$
Положительный	$${\displaystyle \det |A|^{-1}\sum _{{\bar {n}}\in F}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{1}}}{{\bar {n}}_{1}!}}\ldots {\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{f}}}{{\bar {n}}_{f}!}}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ldots \Gamma (-n_{b}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast },{\bar {n}}_{1},\dots ,{\bar {n}}_{f})}$$

Входное интегральное выражение

Выходное интегральное значение или интегралу не может быть присвоено значение

1. Выразите подынтегральное выражение в виде степенного ряда.
2. Преобразуем степенной ряд подынтегральной функции в скобочный ряд.
3. Получите индекс сложности, параметры формулы и функцию коэффициента ряда.
   1. Индекс сложности — это количество подынтегральных сумм за вычетом количества скобок.
   2. Параметры или массив являются решениями линейных уравнений (нулевой индекс сложности, одинарный интеграл), (нулевой индекс сложности, одинарный интеграл) или (положительный индекс сложности).${\textstyle n^{\ast }}$${\textstyle N^{\ast }}$${\textstyle an^{\ast }+c=0}$${\textstyle AN^{\ast }+C=0}$${\textstyle AN^{\ast }+{\bar {A}}{\bar {N}}+C=0}$
   3. Определите параметр или (нулевой индекс сложности, одинарный интеграл) или вычислите (все остальные случаи) из связанных линейных уравнений.${\textstyle a}$${\textstyle \det |A|}$
   4. Определите функцию коэффициента ряда скобок.${\textstyle \varphi ()}$
4. Если индекс сложности отрицательный, то обратному интегралу не может быть присвоено значение.
5. Если индекс сложности равен нулю, выберите формулу из таблицы 2 для нулевого индекса сложности, одинарный или кратный интеграл, вычислите интегральное значение с помощью этой формулы и верните это интегральное значение.
6. Если индекс сложности положительный, выберите формулу из таблицы 2 для положительного индекса сложности и вычислите интегральное значение как разложение ряда с этой формулой для всех возможных вариантов индексов свободного суммирования. Выберите наименьший индекс сложности, сходящееся разложение ряда, добавив ряды, которые сходятся в одной и той же области.
   1. Если все разложения ряда являются расходящимися рядами или нулевыми рядами (все члены ряда равны нулю), то обратному интегралу не может быть присвоено значение.
   2. Если разложение ряда ненулевое и нерасходящееся, вернуть это разложение ряда как интегральное значение.

Метод скобок позволит проинтегрировать этот интеграл. $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{3/2}\ e^{-x^{3}/2}\ dx}$$

1. Выразите подынтегральное выражение в виде степенного ряда.$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\ {\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ x^{(3\cdot n+5/2)-1}\ dx}$$
2. Преобразуем степенной ряд в скобочный ряд.$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\ \phi (n)\cdot \left\langle 3\ n+{\frac {5}{2}}\right\rangle }$$
3. Получите индекс сложности, параметры формулы и функцию коэффициента ряда.

Индекс сложности равен нулю.

${\textstyle 3\ n^{\ast }+5/2=0}$

${\textstyle n^{\ast }=-5/6,\ a=3}$

${\textstyle \varphi (n)=2^{-n}}$.

4. Используйте таблицу 2 для вычисления интеграла.

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{3/2}\cdot e^{-x^{3}/2}\ dx}$$$${\displaystyle =a^{-1}\ \Gamma (-n^{\ast })\ \varphi (n^{\ast })}$$ $${\displaystyle ={\frac {\Gamma \left({\frac {5}{6}}\right)\ 2^{5/6}}{3}}}$$

Скобочный метод проинтегрирует этот интеграл. 1. Выразите подынтегральное выражение в виде степенного ряда. Используйте формулу суммы, возведенной в степень. 2. Преобразуйте степенной ряд в скобочный ряд. 3. Получите индекс сложности, параметры формулы и функцию коэффициента ряда.$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{3}+x^{5})^{1/2}}}\ dx}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}}\ {\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}\phi _{123}1^{n_{1}}x^{5n_{2}+3n_{3}}\langle n_{1}+n_{2}+n_{3}+1/2\rangle \ dx}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1},n_{n},n_{3}}{\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}\phi _{123}\langle 5\ n_{2}+3\ n_{3}+1\rangle \langle n_{1}+n_{2}+n_{3}+1/2\rangle }$$

Индекс сложности равен 1, так как состоит из 3 сумм и 2 скобок.

Выберите в качестве свободного индекса . Линейные уравнения, решения, определитель и коэффициент ряда${\textstyle n_{3}}$${\textstyle {\bar {n}}_{3}}$

$${\displaystyle 5n_{2}^{\ast }+3{\bar {n}}_{3}+1=0,\ n_{1}^{\ast }+n_{2}^{\ast }+{\bar {n}}_{3}+1/2=0}$$ $${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1\\0&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\n_{2}^{\ast }\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1\\3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\bar {n}}_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1/2\\1\end{vmatrix}}=0}$$ $${\displaystyle AN^{\ast }+{\bar {A}}{\bar {N}}+C=0}$$$${\displaystyle \det |A|=5}$$ $${\displaystyle n_{1}^{\ast }=-{\frac {2}{5}}{\bar {n}}_{3}-{\frac {3}{10}},\ n_{2}^{\ast }=-{\frac {3}{5}}{\bar {n}}_{3}-{\frac {1}{5}}.}$$ $${\displaystyle \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast },{\bar {n}}_{3})={\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}$$ 4. Используйте таблицу 2 для вычисления интеграла$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{3}+x^{5})^{1/2}}}\ dx\\&=\sum _{{\bar {n}}_{3}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{3}}}{{\bar {n}}_{3}!}}\det |A|^{-1}\Gamma (-n_{1}^{\ast })\Gamma (-n_{2}^{\ast })\varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast },{\bar {n}}_{3})\\&=\sum _{{\bar {n}}_{3}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{3}}}{{\bar {n}}_{3}!}}{\frac {\Gamma ({\frac {2}{5}}{\bar {n}}_{3}+{\frac {3}{10}})\Gamma ({\frac {3}{5}}{\bar {n}}_{3}+{\frac {1}{5}})}{5{\sqrt {\pi }}}}\end{aligned}}}$$

• Вайсштейн, Эрик В. «Основная теорема Рамануджана». MathWorld .