Энтропия фон Неймана

В физике энтропия фон Неймана , названная в честь Джона фон Неймана , является мерой статистической неопределенности в описании квантовой системы. Она расширяет концепцию энтропии Гиббса из классической статистической механики на квантовую статистическую механику и является квантовым аналогом энтропии Шеннона из классической теории информации . Для квантово-механической системы, описываемой матрицей плотности ρ , энтропия фон Неймана равна ^[1] где обозначает след , а обозначает матричную версию натурального логарифма . Если матрица плотности ρ записана в базисе ее собственных векторов как , то энтропия фон Неймана равна просто В этой форме S можно рассматривать как энтропию Шеннона собственных значений, переосмысленных как вероятности. ^[2]$${\displaystyle S=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ),}$$${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle \operatorname {ln} }$ ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots }$$${\displaystyle \rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|,}$$$${\displaystyle S=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.}$$

Энтропия фон Неймана и величины, основанные на ней, широко используются при изучении квантовой запутанности . ^[3]

В квантовой механике вероятности результатов экспериментов, проведенных над системой, вычисляются из квантового состояния, описывающего эту систему. Каждая физическая система связана с векторным пространством , или, более конкретно, с гильбертовым пространством . Размерность гильбертова пространства может быть бесконечной, как это имеет место для пространства квадратично-интегрируемых функций на прямой, которое используется для определения квантовой физики непрерывной степени свободы. С другой стороны, гильбертово пространство может быть конечномерным, как это происходит для спиновых степеней свободы. Оператор плотности, математическое представление квантового состояния, является положительно полуопределенным самосопряженным оператором следа один , действующим на гильбертовом пространстве системы. ^{[4] [5] [6]} Оператор плотности, который является проекцией ранга 1, известен как чистое квантовое состояние, а все квантовые состояния, которые не являются чистыми, называются смешанными . Чистые состояния также известны как волновые функции . Назначение чистого состояния квантовой системе подразумевает определенность относительно результата некоторого измерения в этой системе (т. е. для некоторого результата ). Пространство состояний квантовой системы — это множество всех состояний, чистых и смешанных, которые могут быть ей назначены. Для любой системы пространство состояний — это выпуклое множество : любое смешанное состояние может быть записано как выпуклая комбинация чистых состояний, хотя и не единственным способом . ^[7] Энтропия фон Неймана количественно определяет степень, в которой состояние смешано. ^[8]${\displaystyle P(x)=1}$${\displaystyle x}$

Прототипическим примером конечномерного гильбертова пространства является кубит , квантовая система, гильбертово пространство которой является двумерным. Произвольное состояние кубита можно записать в виде линейной комбинации матриц Паули , которые обеспечивают основу для самосопряженных матриц: ^[9] где действительные числа являются координатами точки внутри единичного шара и Энтропия фон Неймана обращается в нуль, когда является чистым состоянием, т. е. когда точка лежит на поверхности единичного шара, и достигает своего максимального значения, когда является максимально смешанным состоянием, которое задается как . ^[10]${\displaystyle 2\times 2}$$${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$$${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$$${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle r_{x}=r_{y}=r_{z}=0}$

Некоторые свойства энтропии фон Неймана:

• S ( ρ ) равно нулю тогда и только тогда, когда ρ представляет собой чистое состояние. ^[11]
• S ( ρ ) максимально и равнодля максимально смешанного состояния , N — размерность гильбертова пространства . ^[12]${\displaystyle \ln N}$
• S ( ρ ) инвариантен относительно изменений в базисе ρ , то есть S ( ρ ) = S ( UρU ^† ) , где U — унитарное преобразование. ^[13]
• S ( ρ ) является вогнутой, то есть, если задан набор положительных чисел λ _{i ,} сумма которых равна единице (), и операторов плотности ρ _i , то мы имеем ^[14]${\displaystyle \Sigma _{i}\lambda _{i}=1}$

$${\displaystyle S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}\geq \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i}).}$$

• S ( ρ ) является аддитивным для независимых систем. При наличии двух матриц плотности ρ _A , ρ _{B ,} описывающих независимые системы A и B , имеем ^[15]

$${\displaystyle S(\rho _{A}\otimes \rho _{B})=S(\rho _{A})+S(\rho _{B}).}$$

• S ( ρ ) является строго субаддитивной. То есть для любых трех систем A , B и C : ^[16]

$${\displaystyle S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).}$$

Это автоматически означает, что S ( ρ ) является субаддитивным:

$${\displaystyle S(\rho _{AC})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{C}).}$$

Ниже обсуждается концепция субаддитивности, а затем ее обобщение до сильной субаддитивности.

Если ρ _A , ρ _B являются приведенными матрицами плотности общего состояния ρ _AB , то$${\displaystyle \left|S(\rho _{A})-S(\rho _{B})\right|\leq S(\rho _{AB})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{B}).}$$

Правое неравенство известно как субаддитивность , а левое иногда известно как неравенство треугольника . ^[17] В то время как в теории Шеннона энтропия составной системы никогда не может быть ниже энтропии любой из ее частей, в квантовой теории это не так; то есть возможно, что S ( ρ _AB ) = 0 , в то время как S ( ρ _A ) = S ( ρ _B ) > 0. Это выражается тем, что энтропия Шеннона монотонна , а энтропия фон Неймана — нет. ^[18] Например, возьмем состояние Белла двух частиц со спином 1/2 : это чистое состояние с нулевой энтропией, но каждый спин имеет максимальную энтропию, если рассматривать его по отдельности, потому что его приведенная матрица плотности является максимально смешанным состоянием. Это указывает на то, что это запутанное состояние; ^[19] использование энтропии в качестве меры запутанности обсуждается ниже. $${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\left|\uparrow \downarrow \right\rangle +\left|\downarrow \uparrow \right\rangle .}$$

Энтропия фон Неймана также является сильно субаддитивной . ^[20] Для трех гильбертовых пространств , A , B , C , используя технику доказательства, которая устанавливает левую часть неравенства треугольника выше, можно показать, что сильное неравенство субаддитивности эквивалентно следующему неравенству: где ρ _AB и т. д. являются приведенными матрицами плотности матрицы плотности ρ _ABC . ^[21] Если мы применим обычную субаддитивность к левой части этого неравенства, то мы найдем По симметрии, для любого трехчастного состояния ρ _ABC каждое из трех чисел S ( ρ _AB ), S ( ρ _BC ), S ( ρ _AC ) меньше или равно сумме двух других. ^[22]$${\displaystyle S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).}$$$${\displaystyle S(\rho _{A})+S(\rho _{C})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})}$$ $${\displaystyle S(\rho _{AC})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC}).}$$

Учитывая квантовое состояние и спецификацию квантового измерения, мы можем вычислить вероятности для различных возможных результатов этого измерения, и, таким образом, мы можем найти энтропию Шеннона этого распределения вероятностей. Квантовое измерение может быть определено математически как положительная операторно-значная мера , или POVM. ^[23] В простейшем случае, система с конечномерным гильбертовым пространством и измерением с конечным числом результатов, POVM представляет собой набор положительно полуопределенных матриц в гильбертовом пространстве, которые в сумме дают единичную матрицу , ^[24] Элемент POVM связан с результатом измерения , так что вероятность его получения при выполнении измерения квантового состояния задается как POVM имеет ранг 1 , если все элементы пропорциональны проекционным операторам ранга 1. Энтропия фон Неймана является минимально достижимой энтропией Шеннона, где минимизация выполняется по всем POVM ранга 1. ^[25]${\displaystyle \{F_{i}\}}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}).}$$

Если ρ _i — операторы плотности, а λ _i — набор положительных чисел, которые в сумме дают единицу ( ), то — допустимый оператор плотности, а разность между его энтропией фон Неймана и средневзвешенным значением энтропий ρ i _{ограничена} энтропией Шеннона λ i : Равенство достигается, когда носители ρ _{i — пространства, охватываемые их собственными векторами ,} соответствующими ненулевым собственным значениям — ортогональны. Разность в левой части этого неравенства известна как величина χ Холево и также появляется в теореме Холево , важном результате в квантовой теории информации . ^[26]${\displaystyle \Sigma _{i}\lambda _{i}=1}$$${\displaystyle \rho =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}}$$$${\displaystyle S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}-\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i})\leq -\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.}$$

Эволюция во времени изолированной системы описывается унитарным оператором: Унитарная эволюция переводит чистые состояния в чистые состояния, ^[27] и оставляет энтропию фон Неймана неизменной. Это следует из того факта, что энтропия является функцией собственных значений . ^[28]$${\displaystyle \rho \to U\rho U^{\dagger }.}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$

Измерение квантовой системы, как правило, приводит к изменению квантового состояния этой системы. Запись POVM не предоставляет полной информации, необходимой для описания этого процесса изменения состояния. ^[29] Чтобы исправить это, дополнительная информация указывается путем разложения каждого элемента POVM на произведение: Операторы Крауса , названные в честь Карла Крауса , предоставляют спецификацию процесса изменения состояния. Они не обязательно являются самосопряженными, но произведения являются. Если при выполнении измерения получен результат, то начальное состояние обновляется до Важным особым случаем является правило Людерса , названное в честь Герхарта Людерса . ^{[30] [31]} Если элементы POVM являются операторами проекции , то операторы Крауса можно считать самими проекторами: Если начальное состояние чистое, а проекторы имеют ранг 1, их можно записать как проекторы на векторы и , соответственно. Формула упрощается таким образом до Мы можем определить линейное, сохраняющее след, полностью положительное отображение , суммируя по всем возможным постизмеренным состояниям POVM без нормализации: Это пример квантового канала , ^[32] и может быть интерпретировано как выражение того, как квантовое состояние изменяется, если измерение выполняется, но результат этого измерения теряется. ^[33] Каналы, определяемые проективными измерениями, никогда не могут уменьшить энтропию фон Неймана; они оставляют энтропию неизменной, только если они не изменяют матрицу плотности. ^[34] Квантовый канал увеличит или оставит постоянной энтропию фон Неймана каждого входного состояния тогда и только тогда, когда канал является унитальным , т. е. если он оставляет фиксированным максимально смешанное состояние. Примером канала, который уменьшает энтропию фон Неймана, является канал затухания амплитуды для кубита, который направляет все смешанные состояния к чистому состоянию. ^[35]$${\displaystyle E_{i}=A_{i}^{\dagger }A_{i}.}$$ ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{i}^{\dagger }A_{i}}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\mathrm {Prob} (i)}}={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (\rho E_{i})}}.}$$$${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {\Pi _{i}\rho \Pi _{i}}{\operatorname {tr} (\rho \Pi _{i})}}.}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Pi _{i}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |i\rangle }$$${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |\to \rho '={\frac {|i\rangle \langle i|\psi \rangle \langle \psi |i\rangle \langle i|}{|\langle i|\psi \rangle |^{2}}}=|i\rangle \langle i|.}$$$${\displaystyle \rho \to \sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }.}$$

Квантовая версия канонического распределения , состояния Гиббса , находятся путем максимизации энтропии фон Неймана при ограничении, что ожидаемое значение гамильтониана фиксировано. Состояние Гиббса является оператором плотности с теми же собственными векторами, что и у гамильтониана, и его собственные значения равны где T — температура, — постоянная Больцмана , а Z — статистическая сумма . ^{[36] [37]} Энтропия фон Неймана состояния Гиббса является, с точностью до множителя , термодинамической энтропией. ^[38]$${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {1}{Z}}\exp \left(-{\frac {E_{i}}{k_{B}T}}\right),}$$${\displaystyle k_{B}}$${\displaystyle k_{B}}$

Пусть будет совместным состоянием для двухчастичной квантовой системы AB. Тогда условная энтропия фон Неймана представляет собой разницу между энтропией и энтропией предельного состояния для подсистемы B в отдельности: Это ограничено сверху . Другими словами, обусловливание описания подсистемы A на основе подсистемы B не может увеличить энтропию, связанную с A. ^[39]${\displaystyle \rho _{AB}}$${\displaystyle S(A|B)}$${\displaystyle \rho _{AB}}$$${\displaystyle S(A|B)=S(\rho _{AB})-S(\rho _{B}).}$$${\displaystyle S(\rho _{A})}$

Квантовую взаимную информацию можно определить как разницу между энтропией совместного состояния и полной энтропией маргиналов: которая также может быть выражена через условную энтропию: ^[40]$${\displaystyle S(A:B)=S(\rho _{A})+S(\rho _{B})-S(\rho _{AB}),}$$$${\displaystyle S(A:B)=S(A)-S(A|B)=S(B)-S(B|A).}$$

Пусть и будут двумя операторами плотности в одном и том же пространстве состояний. Относительная энтропия определяется как Относительная энтропия всегда больше или равна нулю; она равна нулю тогда и только тогда, когда . ^[41] В отличие от самой энтропии фон Неймана, относительная энтропия является монотонной, то есть она уменьшается (или остается постоянной), когда часть системы прослеживается: ^[42]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$$${\displaystyle S(\sigma |\rho )=\operatorname {tr} [\rho (\log \rho -\log \sigma )].}$$${\displaystyle \rho =\sigma }$$${\displaystyle S(\sigma _{A}|\rho _{A})\leq S(\sigma _{AB}|\rho _{AB}).}$$

Так же, как энергия является ресурсом, облегчающим механические операции, запутанность является ресурсом, облегчающим выполнение задач, включающих коммуникацию и вычисления. ^[43] Математическое определение запутанности можно перефразировать так, что максимальное знание о системе в целом не подразумевает максимальное знание об отдельных частях этой системы. ^[44] Если квантовое состояние, описывающее пару частиц, запутано, то результаты измерений на одной половине пары могут быть сильно коррелированы с результатами измерений на другой. Однако запутанность — это не то же самое, что «корреляция», как она понимается в классической теории вероятностей и в повседневной жизни. Вместо этого запутанность можно рассматривать как потенциальную корреляцию, которая может быть использована для создания фактической корреляции в соответствующем эксперименте. ^[45] Состояние составной системы всегда можно выразить как сумму или суперпозицию произведений состояний локальных составляющих; она запутана, если эту сумму нельзя записать как один термин произведения. ^[46] Энтропия предоставляет один инструмент, который может быть использован для количественной оценки запутанности. ^{[47] [48]} Если вся система описывается чистым состоянием, энтропия одной подсистемы может быть использована для измерения ее степени запутанности с другими подсистемами. Для двухчастичных чистых состояний энтропия фон Неймана приведенных состояний является уникальной мерой запутанности в том смысле, что это единственная функция на семействе состояний, которая удовлетворяет определенным аксиомам, требуемым от меры запутанности. ^{[49] [50]} Таким образом, она известна как энтропия запутанности. ^[51]

Классический результат заключается в том, что энтропия Шеннона достигает своего максимума при и только при равномерном распределении вероятностей {1/ n , ..., 1/ n }. ^[52] Поэтому двусоставное чистое состояние ρ ∈ H _A ⊗ H _B называется максимально запутанным состоянием, если редуцированное состояние каждой подсистемы ρ является диагональной матрицей ^[53]$${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{n}}&&\\&\ddots &\\&&{\frac {1}{n}}\end{pmatrix}}.}$$

Для смешанных состояний приведенная энтропия фон Неймана не является единственной разумной мерой запутанности. ^[54] Некоторые из других мер также имеют энтропийный характер. Например, относительная энтропия запутанности определяется путем минимизации относительной энтропии между заданным состоянием и набором не запутанных или разделимых состояний. ^[55] Запутанность формирования определяется путем минимизации, по всем возможным способам записи как выпуклой комбинации чистых состояний, средней энтропии запутанности этих чистых состояний. ^[56] Сжатая запутанность основана на идее расширения двудольного состояния до состояния, описывающего большую систему, , таким образом, что частичный след по E дает . Затем находится инфимум величины по всем возможным выборам . ^[57]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho _{AB}}$${\displaystyle \rho _{ABE}}$${\displaystyle \rho _{ABE}}$${\displaystyle \rho _{AB}}$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}[S(\rho _{AE})+S(\rho _{BE})-S(\rho _{E})-S(\rho _{ABE})],}$$${\displaystyle \rho _{ABE}}$

Так же, как функция энтропии Шеннона является одним из членов более широкого семейства классических энтропий Реньи , так и энтропия фон Неймана может быть обобщена до квантовых энтропий Реньи: В пределе, когда , это восстанавливает энтропию фон Неймана. Все квантовые энтропии Реньи аддитивны для состояний-произведений, и для любого энтропия Реньи обращается в нуль для чистых состояний и максимизируется максимально смешанным состоянием. Для любого заданного состояния , является непрерывной, невозрастающей функцией параметра . Можно доказать слабую версию субаддитивности: Здесь, является квантовой версией энтропии Хартли , т. е. логарифмом ранга матрицы плотности. ^[58]$${\displaystyle S_{\alpha }(\rho )={\frac {1}{1-\alpha }}\ln[\operatorname {tr} \rho ^{\alpha }]={\frac {1}{1-\alpha }}\ln \sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{\alpha }.}$$${\displaystyle \alpha \to 1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle S_{\alpha }}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S_{\alpha }(\rho )}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle S_{\alpha }(\rho _{A})-S_{0}(\rho _{B})\leq S_{\alpha }(\rho _{AB})\leq S_{\alpha }(\rho _{A})+S_{0}(\rho _{B}).}$$${\displaystyle S_{0}}$

Матрица плотности была введена, с разными мотивами, фон Нейманом и Львом Ландау . Мотивацией, которая вдохновила Ландау, была невозможность описания подсистемы составной квантовой системы вектором состояния. ^[59] С другой стороны, фон Нейман ввел матрицу плотности для того, чтобы разработать как квантовую статистическую механику, так и теорию квантовых измерений. ^[60] Он ввел выражение, теперь известное как энтропия фон Неймана, утверждая, что вероятностная комбинация чистых состояний аналогична смеси идеальных газов. ^{[61] [62]} Фон Нейман впервые опубликовал свою работу по этой теме в 1927 году. ^[63] Его аргумент был основан на более ранних работах Альберта Эйнштейна и Лео Силарда . ^{[64] [65] [66]}

Макс Дельбрюк и Герт Мольер доказали свойства вогнутости и субаддитивности энтропии фон Неймана в 1936 году. Квантовая относительная энтропия была введена Хисахару Умегаки в 1962 году. ^{[67] [68]} Субаддитивность и неравенства треугольника были доказаны в 1970 году Хузихиро Араки и Эллиоттом Х. Либом . ^[69] Сильная субаддитивность — более сложная теорема. Она была выдвинута Оскаром Лэнфордом и Дереком Робинсоном в 1968 году. ^[70] Либ и Мэри Бет Раскай доказали теорему в 1973 году, ^{[71] [72]} используя матричное неравенство, доказанное ранее Либом. ^{[73] [74]}

• Бенгтссон, Ингемар; Жичковский, Кароль (2017). Геометрия квантовых состояний: Введение в квантовую запутанность (2-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02625-4.
• Холево, Александр С. (2001). Статистическая структура квантовой теории . Конспект лекций по физике. Монографии . Springer. ISBN 3-540-42082-7.
• Нильсен, Майкл А.; Чуан , Айзек Л. (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация (10-е юбилейное издание). Кембридж: Cambridge Univ. Press. ISBN 978-0-521-63503-5.
• Перес, Эшер (1993). Квантовая теория: концепции и методы . Kluwer. ISBN 0-7923-2549-4.
• Рау, Йохен (2017). Статистическая физика и термодинамика . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-959506-8.
• Рау, Йохен (2021). Квантовая теория: подход к обработке информации . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-289630-8.
• Риффель, Элеанор ; Полак, Вольфганг (2011). Квантовые вычисления: Нежное введение . Научные и инженерные вычисления. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-01506-6.
• Уайлд, Марк М. (2017). Квантовая теория информации (2-е изд.). Cambridge University Press. arXiv : 1106.1445 . doi :10.1017/9781316809976. ISBN 9781316809976.
• Цвибах, Бартон (2022). Освоение квантовой механики: основы, теория и приложения . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-04613-8.