Четырехугольник
Многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами
Четырехугольник
Некоторые типы четырехугольников
Ребра и вершины4
Символ Шлефли{4} (для квадрата)
Областьразличные методы;
см. ниже
Внутренний угол ( градусы )90° (для квадрата и прямоугольника)

В геометрии четырехугольник — это четырехсторонний многоугольник , имеющий четыре ребра (стороны) и четыре угла (вершины). Слово происходит от латинских слов quadri , варианта слова four, и latus , означающего «сторона». Его также называют тетрагоном , образованным от греческих слов «tetra», означающего «четыре», и «gon», означающего «угол» или «угол», по аналогии с другими многоугольниками (например, pentagon ). Поскольку «gon» означает «угол», его по аналогии называют четырехугольником или 4-угольником. Четырехугольник с вершинами , , и иногда обозначается как . [1] А {\displaystyle А} Б {\displaystyle Б} С {\displaystyle С} Д {\displaystyle D} ◻ А Б С Д {\displaystyle \square ABCD}

Четырехугольники бывают простыми (несамопересекающимися) и сложными (самопересекающимися или скрещенными). Простые четырехугольники бывают выпуклыми или вогнутыми .

Внутренние углы простого (и плоского ) четырехугольника ABCD в сумме составляют 360 градусов , то есть [1]

∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360 ∘ . {\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.}

Это частный случай формулы суммы внутренних углов n -угольника: S = ( n − 2) × 180° (здесь n=4). [2]

Все несамопересекающиеся четырехугольники заполняют плоскость путем многократного вращения вокруг середин их сторон. [3]

Простые четырехугольники

Любой четырехугольник, который не является самопересекающимся, является простым четырехугольником.

Выпуклый четырехугольник

Диаграмма Эйлера некоторых типов простых четырехугольников. (UK) обозначает британский английский, а (US) обозначает американский английский.
Выпуклые четырехугольники по симметрии, представленные диаграммой Хассе .

В выпуклом четырехугольнике все внутренние углы меньше 180°, а обе диагонали лежат внутри четырехугольника.

  • Неправильный четырёхугольник ( британский вариант английского языка ) или трапеция ( североамериканский вариант английского языка ): ни одна из сторон не параллельна. (В британском варианте английского языка это когда-то называлось трапецией . Подробнее см. Трапеция § Трапеция против трапеции .)
  • Трапеция (Великобритания) или трапеция (США): по крайней мере одна пара противоположных сторон параллельна . Трапеции (Великобритания) и трапеции (США) включают параллелограммы.
  • Равнобедренная трапеция (Великобритания) или равнобедренная трапеция (США): одна пара противоположных сторон параллельна, а углы при основании равны. Альтернативные определения — четырехугольник с осью симметрии, делящей пополам одну пару противоположных сторон, или трапеция с диагоналями одинаковой длины.
  • Параллелограмм : четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эквивалентные условия: противоположные стороны имеют одинаковую длину; противоположные углы равны; или диагонали делят друг друга пополам. Параллелограммы включают ромбы (включая прямоугольники, называемые квадратами) и ромбоиды (включая прямоугольники, называемые овалами). Другими словами, параллелограммы включают все ромбы и все ромбоиды, и, таким образом, также включают все прямоугольники.
  • Ромб , ромб: [1] все четыре стороны имеют одинаковую длину (равносторонние). Эквивалентное условие — диагонали перпендикулярно делят пополам друг друга. Неформально: «перевернутый квадрат» (но строго включая и квадрат).
  • Ромбоид : параллелограмм, в котором смежные стороны имеют неравную длину, а некоторые углы являются косыми (эквивалентно, не имеющими прямых углов). Неформально: «перевернутый продолговатый». Не все источники согласны; некоторые определяют ромбоид как параллелограмм, который не является ромбом. [4]
  • Прямоугольник : все четыре угла прямые (равноугольные). Эквивалентное условие — диагонали делят пополам друг друга и имеют одинаковую длину. Прямоугольники включают квадраты и овалы. Неформально: «коробка или овал» (включая квадрат).
  • Квадрат (правильный четырехугольник): все четыре стороны имеют одинаковую длину (равносторонний), и все четыре угла прямые. Эквивалентным условием является то, что противоположные стороны параллельны (квадрат является параллелограммом), и что диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам и имеют одинаковую длину. Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда он является одновременно ромбом и прямоугольником (т. е. четыре равные стороны и четыре равных угла).
  • Продолговатый: длиннее, чем шире, или шире, чем длиннее (т. е. прямоугольник, который не является квадратом). [5]
  • Воздушный змей : две пары смежных сторон имеют одинаковую длину. Это подразумевает, что одна диагональ делит змея на равные треугольники , и поэтому углы между двумя парами равных сторон равны по величине. Это также подразумевает, что диагонали перпендикулярны. Воздушные змеи включают ромбы.

  • Тангенциальный четырехугольник : четыре стороны касаются вписанной окружности. Выпуклый четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда противоположные стороны имеют равные суммы.
  • Тангенциальная трапеция : трапеция, четыре стороны которой касаются вписанной окружности .
  • Вписанный четырехугольник : четыре вершины лежат на описанной окружности . Выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда сумма противолежащих углов составляет 180°.
  • Прямоугольный змей : змей с двумя противоположными прямыми углами. Это тип вписанного четырехугольника.
  • Гармонический четырёхугольник : вписанный четырёхугольник, у которого произведения длин противолежащих сторон равны.
  • Вписанно-описанная окружность : является как касательной, так и вписанной.
  • Ортодиагональный четырёхугольник : диагонали пересекаются под прямым углом .
  • Равнодиагональный четырёхугольник : диагонали имеют одинаковую длину.
  • Четырехугольник с бисектрально-диагональной диагональю: одна диагональ делит другую пополам на равные длины. Каждый дротик и воздушный змей являются бисектрально-диагональными. Когда обе диагонали делят пополам другую, это параллелограмм.
  • Внеописанная окружность : четыре продолжения сторон касаются вневписанной окружности .
  • Равнобедренный четырехугольник имеет две равные противоположные стороны, которые при продолжении пересекаются под углом 60°.
  • Четырехугольник Уатта — это четырехугольник с парой противоположных сторон одинаковой длины. [6]
  • Квадратный четырехугольник — это выпуклый четырехугольник, все четыре вершины которого лежат на периметре квадрата. [7]
  • Диаметральный четырёхугольник — это вписанный четырёхугольник, одна из сторон которого является диаметром описанной окружности. [8]
  • Четырехугольник Ельмслева — это четырехугольник с двумя прямыми углами в противоположных вершинах. [9]

Вогнутые четырехугольники

В вогнутом четырехугольнике один внутренний угол больше 180°, а одна из двух диагоналей лежит вне четырехугольника.

  • Дротик (или наконечник стрелы) — вогнутый четырёхугольник с двусторонней симметрией, как у воздушного змея, но один внутренний угол которого является отражённым. См. Воздушный змей .

Сложные четырехугольники

Антипараллелограмм

Самопересекающийся четырехугольник называют по-разному: крестообразный четырехугольник , перекрещенный четырехугольник , четырехугольник- бабочка или четырехугольник -бабочка . В перекрещенном четырехугольнике четыре «внутренних» угла по обе стороны пересечения (два острых и два вогнутых , все слева или все справа, в зависимости от того, как чертится фигура) в сумме дают 720°. [10]

  • Перекрещенная трапеция (США) или трапеция (Содружество): [11] перекрещенный четырехугольник, в котором одна пара несмежных сторон параллельна (как у трапеции ).
  • Антипараллелограмм : перекрещивающийся четырёхугольник, в котором каждая пара несмежных сторон имеет одинаковую длину (как у параллелограмма ).
  • Пересечённый прямоугольник : антипараллелограмм, стороны которого являются двумя противоположными сторонами и двумя диагоналями прямоугольника , следовательно, имеющий одну пару параллельных противоположных сторон.
  • Пересечённый квадрат : частный случай пересечённого прямоугольника, у которого две стороны пересекаются под прямым углом.

Специальные сегменты линии

Две диагонали выпуклого четырехугольника — это отрезки прямых , соединяющие противоположные вершины.

Две бимедианы выпуклого четырехугольника — это отрезки прямых, соединяющие середины противоположных сторон. [12] Они пересекаются в «вершине центроида» четырехугольника (см. § Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике ниже).

Четыре высоты выпуклого четырехугольника — это перпендикуляры к стороне, проходящие через середину противоположной стороны. [13]

Площадь выпуклого четырехугольника

Существуют различные общие формулы для площади K выпуклого четырехугольника ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD и d = DA .

Тригонометрические формулы

Площадь можно выразить в тригонометрических терминах как [14]

K = 1 2 p q sin ⁡ θ , {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin \theta ,}

где длины диагоналей равны p и q , а угол между ними равен θ . [15] В случае ортодиагонального четырехугольника (например, ромба, квадрата и воздушного змея) эта формула сводится к , поскольку θ равен 90° . K = p q 2 {\displaystyle K={\tfrac {pq}{2}}}

Площадь также может быть выражена через бимедианы как [16]

K = m n sin ⁡ φ , {\displaystyle K=mn\sin \varphi ,}

где длины бимедиан равны m и n , а угол между ними равен φ .

Формула Бретшнайдера [17] [14] выражает площадь через стороны и два противолежащих угла:

K = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − 1 2 a b c d [ 1 + cos ⁡ ( A + C ) ] = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d cos 2 ⁡ 1 2 ( A + C ) {\displaystyle {\begin{aligned}K&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\,\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}(A+C)}}\end{aligned}}}

где стороны в последовательности a , b , c , d , где s — полупериметр, а A и C — два (фактически, любые два) противоположных угла. Это сводится к формуле Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника — когда A + C = 180° .

Другая формула площади через стороны и углы, где угол C находится между сторонами b и c , а угол A находится между сторонами a и d , выглядит так:

K = 1 2 a d sin ⁡ A + 1 2 b c sin ⁡ C . {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ad\sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\sin {C}.}

В случае вписанного четырехугольника последняя формула принимает вид K = 1 2 ( a d + b c ) sin ⁡ A . {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}.}

В параллелограмме, где обе пары противоположных сторон и углов равны, эта формула сводится к K = a b ⋅ sin ⁡ A . {\displaystyle K=ab\cdot \sin {A}.}

В качестве альтернативы мы можем записать площадь через стороны и угол пересечения диагоналей θ , при условии, что θ не равен 90° : [18]

K = 1 4 | tan ⁡ θ | ⋅ | a 2 + c 2 − b 2 − d 2 | . {\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.}

В случае параллелограмма последняя формула принимает вид K = 1 2 | tan ⁡ θ | ⋅ | a 2 − b 2 | . {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}

Другая формула площади, включающая стороны a , b , c , d, выглядит так [16]

K = 1 2 ( ( a 2 + c 2 ) − 2 x 2 ) ( ( b 2 + d 2 ) − 2 x 2 ) sin ⁡ φ {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\bigl (}(a^{2}+c^{2})-2x^{2}{\bigr )}{\bigl (}(b^{2}+d^{2})-2x^{2}{\bigr )}}}\sin {\varphi }}

где x — расстояние между серединами диагоналей, а φ — угол между бимедианами.

Последняя тригонометрическая формула площади, включающая стороны a , b , c , d и угол α (между a и b ), выглядит следующим образом: [19]

K = 1 2 a b sin ⁡ α + 1 4 4 c 2 d 2 − ( c 2 + d 2 − a 2 − b 2 + 2 a b cos ⁡ α ) 2 , {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ab\sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cos {\alpha })^{2}}},}

который также можно использовать для площади вогнутого четырехугольника (имеющего вогнутую часть, противоположную углу α ), просто изменив первый знак + на - .

Нетригонометрические формулы

Следующие две формулы выражают площадь через стороны a , b , c и d , полупериметр s и диагонали p , q :

K = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − 1 4 ( a c + b d + p q ) ( a c + b d − p q ) , {\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},} [20]
K = 1 4 4 p 2 q 2 − ( a 2 + c 2 − b 2 − d 2 ) 2 . {\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}.} [21]

Первая сводится к формуле Брахмагупты в случае вписанного четырехугольника, поскольку тогда pq = ac + bd .

Площадь также можно выразить через бимедианы m , n и диагонали p , q :

K = 1 2 ( m + n + p ) ( m + n − p ) ( m + n + q ) ( m + n − q ) , {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}},} [22]
K = 1 2 p 2 q 2 − ( m 2 − n 2 ) 2 . {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.} [23] : Теория 7 

Фактически, любые три из четырех значений m , n , p и q достаточны для определения площади, поскольку в любом четырехугольнике четыре значения связаны соотношением [24] : стр. 126  Соответствующие выражения таковы: [25] p 2 + q 2 = 2 ( m 2 + n 2 ) . {\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}

K = 1 2 [ ( m + n ) 2 − p 2 ] ⋅ [ p 2 − ( m − n ) 2 ] , {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}},}

если даны длины двух бимедиан и одной диагонали, и [25]

K = 1 4 [ ( p + q ) 2 − 4 m 2 ] ⋅ [ 4 m 2 − ( p − q ) 2 ] , {\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}},}

если даны длины двух диагоналей и одной бимедианы.

Векторные формулы

Площадь четырехугольника ABCD можно вычислить с помощью векторов . Пусть векторы AC и BD образуют диагонали от A до C и от B до D. Тогда площадь четырехугольника равна

K = 1 2 | A C × B D | , {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |,}

что составляет половину величины векторного произведения векторов AC и BD . В двумерном евклидовом пространстве, выражая вектор AC как свободный вектор в декартовом пространстве, равный ( x 1 , y 1 ) и BD как ( x 2 , y 2 ) , это можно переписать как:

K = 1 2 | x 1 y 2 − x 2 y 1 | . {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.}

Диагонали

Свойства диагоналей в четырехугольниках

В следующей таблице перечислено, делят ли диагонали в некоторых из самых основных четырехугольников пополам друг друга, перпендикулярны ли их диагонали и имеют ли их диагонали одинаковую длину . [26] Список применим к самым общим случаям и исключает именованные подмножества.

ЧетырехугольникРазделение диагоналей пополамПерпендикулярные диагоналиРавные диагонали
трапецияНетСм. примечание 1.Нет
Равнобедренная трапецияНетСм. примечание 1.Да
ПараллелограммДаНетНет
Летающий змейСм. примечание 2.ДаСм. примечание 2.
ПрямоугольникДаНетДа
РомбДаДаНет
КвадратДаДаДа
  • Примечание 1: Наиболее общие трапеции и равнобедренные трапеции не имеют перпендикулярных диагоналей, но существует бесконечное число (непохожих) трапеций и равнобедренных трапеций, которые имеют перпендикулярные диагонали и не являются никакими другими названными четырехугольниками.
  • Примечание 2: В воздушном змее одна диагональ делит другую пополам. Самый общий воздушный змей имеет неравные диагонали, но существует бесконечное число (непохожих) воздушных змеев, в которых диагонали равны по длине (и воздушные змеи не являются никакими другими названными четырехугольниками).

Длины диагоналей

Длины диагоналей в выпуклом четырехугольнике ABCD можно вычислить с помощью теоремы косинусов для каждого треугольника, образованного одной диагональю и двумя сторонами четырехугольника. Таким образом

p = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ B = c 2 + d 2 − 2 c d cos ⁡ D {\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}}

и

q = a 2 + d 2 − 2 a d cos ⁡ A = b 2 + c 2 − 2 b c cos ⁡ C . {\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.}

Другие, более симметричные формулы для длин диагоналей: [27]

p = ( a c + b d ) ( a d + b c ) − 2 a b c d ( cos ⁡ B + cos ⁡ D ) a b + c d {\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}}

и

q = ( a b + c d ) ( a c + b d ) − 2 a b c d ( cos ⁡ A + cos ⁡ C ) a d + b c . {\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}

Обобщения закона параллелограмма и теоремы Птолемея

В любом выпуклом четырехугольнике ABCD сумма квадратов четырех сторон равна сумме квадратов двух диагоналей плюс четыре квадрата отрезка, соединяющего середины диагоналей. Таким образом

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = p 2 + q 2 + 4 x 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}

где x — расстояние между серединами диагоналей. [24] : стр.126  Это иногда называют теоремой Эйлера о четырехугольнике , и она является обобщением закона параллелограмма .

Немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер вывел в 1842 году следующее обобщение теоремы Птолемея относительно произведения диагоналей в выпуклом четырехугольнике [28]

p 2 q 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2 − 2 a b c d cos ⁡ ( A + C ) . {\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.}

Это соотношение можно считать законом косинусов для четырехугольника. Во вписанном четырехугольнике , где A + C = 180° , оно сводится к pq = ac + bd . Поскольку cos  ( A + C ) ≥ −1 , оно также дает доказательство неравенства Птолемея.

Другие метрические отношения

Если X и Y являются основаниями нормалей из B и D к диагонали AC = p в выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , то [29] : стр.14 

X Y = | a 2 + c 2 − b 2 − d 2 | 2 p . {\displaystyle XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.}

В выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , и где диагонали пересекаются в точке E ,

e f g h ( a + c + b + d ) ( a + c − b − d ) = ( a g h + c e f + b e h + d f g ) ( a g h + c e f − b e h − d f g ) {\displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)}

где e = AE , f = BE , g = CE и h = DE . [30]

Форма и размер выпуклого четырехугольника полностью определяются длинами его сторон в последовательности и одной диагонали между двумя указанными вершинами. Две диагонали p , q и четыре длины сторон a , b , c , d четырехугольника связаны [14] определителем Кэли-Менгера следующим образом:

det [ 0 a 2 p 2 d 2 1 a 2 0 b 2 q 2 1 p 2 b 2 0 c 2 1 d 2 q 2 c 2 0 1 1 1 1 1 0 ] = 0. {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}

Биссектрисы углов

Внутренние биссектрисы выпуклого четырехугольника либо образуют вписанный четырехугольник [24] : стр.127  (то есть четыре точки пересечения смежных биссектрис лежат на одной окружности ), либо они являются конкурирующими . В последнем случае четырехугольник является описанным четырехугольником .

В четырехугольнике ABCD , если биссектрисы углов A и C пересекаются на диагонали BD , то биссектрисы углов B и D пересекаются на диагонали AC . [31]

Бимедианы

Параллелограмм Вариньона EFGH.

Бимедианы четырехугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Пересечение бимедиан — это центроид вершин четырехугольника. [14]

Середины сторон любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или скрещенного) являются вершинами параллелограмма , называемого параллелограммом Вариньона . Он обладает следующими свойствами:

  • Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
  • Сторона параллелограмма Вариньона равна половине диагонали исходного четырехугольника, которому она параллельна.
  • Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это справедливо для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников, при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он составлен. [32]
  • Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника .
  • Диагонали параллелограмма Вариньона являются бимедианами исходного четырехугольника.

Две бимедианы в четырехугольнике и отрезок, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, пересекаются и делятся пополам точкой пересечения. [24] : стр.125 

В выпуклом четырехугольнике со сторонами a , b , c и d длина бимедианы, соединяющей середины сторон a и c, равна

m = 1 2 − a 2 + b 2 − c 2 + d 2 + p 2 + q 2 {\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}

где p и q — длины диагоналей. [33] Длина бимедианы, соединяющей середины сторон b и d, равна

n = 1 2 a 2 − b 2 + c 2 − d 2 + p 2 + q 2 . {\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.}

Следовательно [24] : стр.126 

p 2 + q 2 = 2 ( m 2 + n 2 ) . {\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}

Это также является следствием закона параллелограмма, примененного в параллелограмме Вариньона.

Длины бимедиан также могут быть выражены через две противоположные стороны и расстояние x между серединами диагоналей. Это возможно при использовании теоремы Эйлера о четырехугольнике в приведенных выше формулах. Откуда [23]

m = 1 2 2 ( b 2 + d 2 ) − 4 x 2 {\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}

и

n = 1 2 2 ( a 2 + c 2 ) − 4 x 2 . {\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}

Обратите внимание, что две противоположные стороны в этих формулах — это не те две стороны, которые соединяет бимедиана.

В выпуклом четырехугольнике существует следующая двойственная связь между бимедианами и диагоналями: [29]

Тригонометрические тождества

Четыре угла простого четырехугольника ABCD удовлетворяют следующим тождествам: [34]

sin ⁡ A + sin ⁡ B + sin ⁡ C + sin ⁡ D = 4 sin ⁡ 1 2 ( A + B ) sin ⁡ 1 2 ( A + C ) sin ⁡ 1 2 ( A + D ) {\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C+\sin D=4\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+C)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+D)}

и

tan ⁡ A tan ⁡ B − tan ⁡ C tan ⁡ D tan ⁡ A tan ⁡ C − tan ⁡ B tan ⁡ D = tan ⁡ ( A + C ) tan ⁡ ( A + B ) . {\displaystyle {\frac {\tan A\,\tan {B}-\tan C\,\tan D}{\tan A\,\tan C-\tan B\,\tan D}}={\frac {\tan(A+C)}{\tan(A+B)}}.}

Также, [35]

tan ⁡ A + tan ⁡ B + tan ⁡ C + tan ⁡ D cot ⁡ A + cot ⁡ B + cot ⁡ C + cot ⁡ D = tan ⁡ A tan ⁡ B tan ⁡ C tan ⁡ D . {\displaystyle {\frac {\tan A+\tan B+\tan C+\tan D}{\cot A+\cot B+\cot C+\cot D}}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}.}

В последних двух формулах ни один угол не может быть прямым , поскольку tan 90° не определен.

Пусть , , , — стороны выпуклого четырехугольника, — полупериметр, а и — противолежащие углы, тогда [36] a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} d {\displaystyle d} s {\displaystyle s} A {\displaystyle A} C {\displaystyle C}

a d sin 2 ⁡ 1 2 A + b c cos 2 ⁡ 1 2 C = ( s − a ) ( s − d ) {\displaystyle ad\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}A+bc\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}C=(s-a)(s-d)}

и

b c sin 2 ⁡ 1 2 C + a d cos 2 ⁡ 1 2 A = ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle bc\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}C+ad\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}A=(s-b)(s-c)} .

Мы можем использовать эти тождества для вывода формулы Бретшнайдера .

Неравенства

Область

Если выпуклый четырехугольник имеет последовательные стороны a , b , c , d и диагонали p , q , то его площадь K удовлетворяет [37]

K ≤ 1 4 ( a + c ) ( b + d ) {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)} с равенством только для прямоугольника .
K ≤ 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})} с равенством только для квадрата .
K ≤ 1 4 ( p 2 + q 2 ) {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})} причем равенство достигается только в том случае, если диагонали перпендикулярны и равны.
K ≤ 1 2 ( a 2 + c 2 ) ( b 2 + d 2 ) {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}} с равенством только для прямоугольника. [16]

Из формулы Бретшнайдера непосредственно следует, что площадь четырехугольника удовлетворяет условию

K ≤ ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}

с равенством тогда и только тогда, когда четырехугольник является вписанным или вырожденным, так что одна сторона равна сумме трех других (он сжался в отрезок прямой , поэтому площадь равна нулю).

Также,

K ≤ a b c d , {\displaystyle K\leq {\sqrt {abcd}},}

с равенством для вписанно-описанного четырехугольника или прямоугольника.

Площадь любого четырехугольника также удовлетворяет неравенству [38]

K ≤ 1 2 ( a b + c d ) ( a c + b d ) ( a d + b c ) 3 . {\displaystyle \displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}

Обозначая периметр как L , имеем [38] : стр.114 

K ≤ 1 16 L 2 , {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},}

причем равенство имеет место только в случае квадрата.

Площадь выпуклого четырехугольника также удовлетворяет условию

K ≤ 1 2 p q {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}pq}

для диагоналей p и q , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда диагонали перпендикулярны.

Пусть a , b , c , d — длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD с площадью K и диагоналями AC = p , BD = q . Тогда [39]

K ≤ 1 8 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + p 2 + q 2 + p q − a c − b d ) {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{8}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd)} с равенством только для квадрата.

Пусть a , b , c , d — длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD с площадью K , тогда справедливо следующее неравенство: [40]

K ≤ 1 3 + 3 ( a b + a c + a d + b c + b d + c d ) − 1 2 ( 1 + 3 ) 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) {\displaystyle K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})} с равенством только для квадрата.

Диагонали и бимедианы

Следствием теоремы Эйлера о четырехугольнике является неравенство

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ p 2 + q 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}}

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является параллелограммом .

Эйлер также обобщил теорему Птолемея , которая является равенством во вписанном четырехугольнике , в неравенство для выпуклого четырехугольника. Она утверждает, что

p q ≤ a c + b d {\displaystyle pq\leq ac+bd}

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник вписан. [24] : стр.128–129  Это часто называют неравенством Птолемея .

В любом выпуклом четырехугольнике бимедианы m, n и диагонали p, q связаны неравенством

p q ≤ m 2 + n 2 , {\displaystyle pq\leq m^{2}+n^{2},}

причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда диагонали равны. [41] : Предложение 1  Это следует непосредственно из тождества четырехугольника m 2 + n 2 = 1 2 ( p 2 + q 2 ) . {\displaystyle m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).}

Стороны

Стороны a , b , c и d любого четырехугольника удовлетворяют [42] : стр.228, №275 

a 2 + b 2 + c 2 > 1 3 d 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\tfrac {1}{3}}d^{2}}

и [42] : стр.234, №466 

a 4 + b 4 + c 4 ≥ 1 27 d 4 . {\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\tfrac {1}{27}}d^{4}.}

Максимальные и минимальные свойства

Среди всех четырехугольников с заданным периметром , наибольшую площадь имеет квадрат . Это называется изопериметрической теоремой для четырехугольников . Это прямое следствие неравенства площадей [38] : стр.114 

K ≤ 1 16 L 2 {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2}}

где K — площадь выпуклого четырехугольника с периметром L. Равенство выполняется тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом. Двойственная теорема утверждает, что из всех четырехугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.

Четырехугольник с заданными длинами сторон, имеющий максимальную площадь, является вписанным четырехугольником . [43]

Из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями ортодиагональный четырехугольник имеет наибольшую площадь. [38] : стр.119  Это является прямым следствием того факта, что площадь выпуклого четырехугольника удовлетворяет условию

K = 1 2 p q sin ⁡ θ ≤ 1 2 p q , {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin {\theta }\leq {\tfrac {1}{2}}pq,}

где θ — угол между диагоналями p и q . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда θ = 90°.

Если P — внутренняя точка выпуклого четырехугольника ABCD , то

A P + B P + C P + D P ≥ A C + B D . {\displaystyle AP+BP+CP+DP\geq AC+BD.}

Из этого неравенства следует, что точка внутри четырехугольника, минимизирующая сумму расстояний до вершин, является пересечением диагоналей. Следовательно, эта точка является точкой Ферма выпуклого четырехугольника. [44] : стр.120 

Замечательные точки и линии в выпуклом четырехугольнике

Центр четырехугольника можно определить несколькими способами. «Вершинный центроид» возникает из рассмотрения четырехугольника как пустого, но имеющего равные массы в вершинах. «Боковой центроид» возникает из рассмотрения сторон как имеющих постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом (центром площади), возникает из рассмотрения поверхности четырехугольника как имеющей постоянную плотность. Эти три точки в общем случае не являются одной и той же точкой. [45]

«Центроид вершины» — это пересечение двух бимедиан. [46] Как и в случае любого многоугольника, координаты x и y центроида вершины являются средними арифметическими координатами x и y вершин.

"Центроид площади" четырехугольника ABCD может быть построен следующим образом. Пусть G a , G b , G c , G d будут центроидами треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно. Тогда "центроид площади" является пересечением прямых G a G c и G b G d . [47]

В общем выпуклом четырехугольнике ABCD нет естественных аналогий с центром описанной окружности и ортоцентром треугольника . Но две такие точки можно построить следующим образом. Пусть O a , O b , O c , O d будут центрами описанной окружности треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно ; и обозначим через H a , H b , H c , H d ортоцентры в тех же треугольниках. Тогда пересечение прямых O a O c и O b O d называется квазицентром описанной окружности , а пересечение прямых H a H c и H b H d называется квазиортоцентром выпуклого четырехугольника. [47] Эти точки можно использовать для определения линии Эйлера четырехугольника. В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр H , «центроид площади» G и квазиортоцентр O лежат на одной прямой в этом порядке, и HG = 2 GO . [47]

Также можно определить квазидевятиточечный центр E как пересечение прямых E a E c и E b E d , где E a , E b , E c , E d являются девятиточечными центрами треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно. Тогда E является серединой OH . [47 ]

Еще одна замечательная линия в выпуклом непараллелограммном четырехугольнике — это линия Ньютона , которая соединяет середины диагоналей, причем отрезок, соединяющий эти точки, делится пополам вершинным центроидом. Еще одна интересная линия (в некотором смысле двойственная линии Ньютона ) — это линия, соединяющая точку пересечения диагоналей с вершинным центроидом. Эта линия замечательна тем, что содержит (площадной) центроид. Вершинный центроид делит отрезок, соединяющий пересечение диагоналей и (площадной) центроид в отношении 3:1. [48]

Для любого четырехугольника ABCD с точками P и Q пересечения AD и BC и AB и CD , соответственно, окружности (PAB), (PCD), (QAD) и (QBC) проходят через общую точку M , называемую точкой Микеля. [49]

Для выпуклого четырехугольника ABCD, в котором E является точкой пересечения диагоналей, а F является точкой пересечения продолжений сторон BC и AD , пусть ω будет окружностью, проходящей через E и F , которая пересекает CB внутренне в точке M и DA внутренне в точке N. Пусть CA снова пересекает ω в точке L , а DB снова пересекает ω в точке K. Тогда выполняется следующее: прямые NK и ML пересекаются в точке P , которая расположена на стороне AB ; прямые NL и KM пересекаются в точке Q , которая расположена на стороне CD . Точки P и Q называются «точками Паскаля», образованными окружностью ω на сторонах AB и CD . [50] [51] [52]

Другие свойства выпуклых четырехугольников

  • Если внешние квадраты начертить на всех сторонах четырехугольника, то отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, будут (a) равны по длине и (b) перпендикулярны . Таким образом, эти центры являются вершинами ортодиагонального четырехугольника . Это называется теоремой Ван Аубеля .
  • Для любого простого четырехугольника с заданными длинами сторон существует вписанный четырехугольник с теми же длинами сторон. [43]
  • Четыре меньших треугольника, образованные диагоналями и сторонами выпуклого четырехугольника, обладают тем свойством, что произведение площадей двух противолежащих треугольников равно произведению площадей двух других треугольников. [53]
  • Угол при пересечении диагоналей удовлетворяет условию , где — диагонали четырехугольника. [54] θ {\displaystyle \theta } cos ⁡ θ = a 2 + c 2 − b 2 − d 2 2 p q , {\displaystyle \cos \theta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}}{2pq}},} p , q {\displaystyle p,q}

Таксономия

Таксономия четырехугольников с использованием диаграммы Хассе .

Иерархическая таксономия четырехугольников проиллюстрирована на рисунке справа. Низшие классы являются частными случаями высших классов, с которыми они связаны. Обратите внимание, что «трапеция» здесь относится к североамериканскому определению (британский эквивалент — трапеция). Везде используются инклюзивные определения.

Косые четырехугольники

(Красные) боковые грани тетрагонального двуклиноида представляют собой правильный зигзагообразный перекошенный четырехугольник.

Неплоский четырехугольник называется косым четырехугольником . Формулы для вычисления его двугранных углов из длин ребер и угла между двумя соседними ребрами были выведены для работы над свойствами молекул, таких как циклобутан , которые содержат «сморщенное» кольцо из четырех атомов. [55] Исторически термин «гош-четырехугольник » также использовался для обозначения косого четырехугольника. [56] Косой четырехугольник вместе со своими диагоналями образует (возможно, неправильный) тетраэдр , и наоборот, каждый косой четырехугольник происходит от тетраэдра, в котором удалена пара противоположных ребер .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abc "Четырехугольники - квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, параллелограмм". Mathsisfun.com . Получено 2020-09-02 .
  2. ^ "Сумма углов в многоугольнике". Cuemath . Получено 22 июня 2022 г. .
  3. ^ Мартин, Джордж Эдвард (1982), Геометрия преобразований, Бакалаврские тексты по математике, Springer-Verlag, Теорема 12.1, стр. 120, doi :10.1007/978-1-4612-5680-9, ISBN 0-387-90636-3, МР  0718119
  4. ^ "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 мая 2014 г. . Получено 20 июня 2013 г. .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
  5. ^ "Калькулятор прямоугольников". Cleavebooks.co.uk . Получено 1 марта 2022 г. .
  6. ^ Keady, G.; Scales, P.; Németh, SZ (2004). «Связи Уатта и четырехугольники». The Mathematical Gazette . 88 (513): 475– 492. doi :10.1017/S0025557200176107. S2CID  125102050.
  7. ^ Джоббингс, АК (1997). «Квадрические четырехугольники». The Mathematical Gazette . 81 (491): 220– 224. doi :10.2307/3619199. JSTOR  3619199. S2CID  250440553.
  8. ^ Борегард, РА (2009). «Диаметрические четырехугольники с двумя равными сторонами». College Mathematics Journal . 40 (1): 17– 21. doi :10.1080/07468342.2009.11922331. S2CID  122206817.
  9. ^ Хартшорн, Р. (2005). Геометрия: Евклид и далее . Springer. стр.  429–430 . ISBN 978-1-4419-3145-0.
  10. ^ "Stars: A Second Look" (PDF) . Mysite.mweb.co.za . Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 г. . Получено 1 марта 2022 г. .
  11. ^ Батлер, Дэвид (2016-04-06). "Скрещенная трапеция". Making Your Own Sense . Получено 2017-09-13 .
  12. ^ Э. В. Вайсштейн. «Бимедиан». MathWorld — веб-ресурс Wolfram.
  13. ^ Э. В. Вайсштейн. «Малтитут». MathWorld — веб-ресурс Wolfram.
  14. ^ abcd Вайсштейн, Эрик В. "Четырехугольник". mathworld.wolfram.com . Получено 2020-09-02 .
  15. ^ Харрис, Дж. «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 86, июль 2002 г., 310–311.
  16. ^ abc Josefsson, Martin (2013), "Пять доказательств характеристики площади прямоугольников" (PDF) , Forum Geometricorum , 13 : 17–21 , заархивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04 , извлечено 2013-02-20.
  17. ^ RA Johnson, Advanced Euclidean Geometry , 2007, Dover Publ. , стр. 82.
  18. ↑ Митчелл, Дуглас У., «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 93, июль 2009 г., 306–309.
  19. ^ "Формулы треугольника" (PDF) . mathcentre.ac.uk . 2009 . Получено 26 июня 2023 .
  20. ↑ Дж. Л. Кулидж, «Исторически интересная формула для площади четырехугольника», American Mathematical Monthly , 46 (1939) 345–347.
  21. ^ Э. В. Вайсштейн. «Формула Бретшнейдера». MathWorld — веб-ресурс Wolfram.
  22. ↑ Арчибальд, Р. К., «Площадь четырехугольника», American Mathematical Monthly , 29 (1922) стр. 29–36.
  23. ^ ab Josefsson, Martin (2011), «Площадь бицентрического четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 155–164 , архивировано из оригинала (PDF) 2020-01-05 , извлечено 2012-02-08.
  24. ^ abcdef Альтшиллер-Корт, Натан, College Geometry , Dover Publ., 2007.
  25. ^ ab Josefsson, Martin (2016) «100.31 Героноподобные формулы для четырехугольников», The Mathematical Gazette , 100 (549), стр. 505–508.
  26. ^ "Диагонали четырехугольников — перпендикулярные, делящие пополам или обе". Math.okstate.edu . Получено 1 марта 2022 г. .
  27. ^ Рашид, MA и Аджибаде, AO, «Два условия для четырехугольника быть вписанным, выраженные в терминах длин его сторон», Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. , т. 34 (2003) № 5, стр. 739–799.
  28. ^ Андрееску, Титу и Андрика, Дориан, Комплексные числа от А до... Я , Биркхойзер, 2006, стр. 207–209.
  29. ^ ab Josefsson, Martin (2012), «Характеристики ортогональных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 13–25 , архивировано из оригинала (PDF) 2020-12-05 , извлечено 2012-04-08.
  30. ^ Hoehn, Larry (2011), «Новая формула относительно диагоналей и сторон четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 211–212 , заархивировано из оригинала (PDF) 2013-06-16 , извлечено 2012-04-28.
  31. ↑ Леверша, Джерри, «Свойство диагоналей вписанного четырехугольника», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 116–118.
  32. ^ Х. С. М. Коксетер и С. Л. Грейтцер , «Пересмотр геометрии», MAA, 1967, стр. 52–53.
  33. ^ "Матееску Константин, ответ на неравенство диагонали". Архивировано из оригинала 2014-10-24 . Получено 2011-09-26 .
  34. ^ CV Durell & A. Robson, Advanced Trigonometry , Dover, 2003, стр. 267.
  35. ^ «Оригинальные проблемы, предложенные Стэнли Рабиновичем в 1963–2005 годах» (PDF) . Mathpropress.com . Получено 1 марта 2022 г. .
  36. ^ "EA José García, Две идентичности и их последствия, MATINF, 6 (2020) 5-11". Matinf.upit.ro . Получено 1 марта 2022 г. .
  37. ^ О. Боттема, Геометрические неравенства , Wolters–Noordhoff Publishing, Нидерланды, 1969, стр. 129, 132.
  38. ^ abcd Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009), Когда меньше значит больше: Визуализация основных неравенств , Математическая ассоциация Америки, стр. 68.
  39. ^ Дао Тхань Оай, Леонард Джуджук, Задача 12033, American Mathematical Monthly, март 2018 г., стр. 277
  40. ^ Леонард Михай Джуджук; Дао Тхань Оай; Кадир Алтинтас (2018). «Неравенство, связанное с длинами и площадью выпуклого четырехугольника» (PDF) . Международный журнал геометрии . 7 : 81–86 .
  41. ^ Йозефссон, Мартин (2014). «Свойства равнодиагональных четырехугольников». Forum Geometricorum . 14 : 129–144 . Архивировано из оригинала 2024-06-05 . Получено 2014-08-28 .
  42. ^ ab "Неравенства, предложенные в Crux Mathematicorum (с тома 1, № 1 по том 4, № 2, известные как "Эврика")" (PDF) . Imomath.com . Получено 1 марта 2022 г. .
  43. ^ Питер, Томас, «Максимизация площади четырехугольника», The College Mathematics Journal , том 34, № 4 (сентябрь 2003 г.), стр. 315–316.
  44. ^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2010). Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . Математическая ассоциация Америки. стр. 114, 119, 120, 261. ISBN 978-0-88385-348-1.
  45. ^ "Два центра масс четырехугольника". Sites.math.washington.edu . Получено 1 марта 2022 г. .
  46. ↑ Хонсбергер, Росс, Эпизоды в евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Math. Assoc. Amer., 1995, стр. 35–41.
  47. ^ abcd Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, связанных с четырехугольником» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295 , архивировано из оригинала (PDF) 2019-12-31 , извлечено 2012-04-15.
  48. ^ Джон Борис Миллер. «Центроид четырехугольника» (PDF) . Austmd.org.au . Получено 1 марта 2022 г. .
  49. ^ Чен, Эван (2016). Евклидова геометрия на математических олимпиадах . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. стр. 198. ISBN 9780883858394.
  50. ^ Дэвид, Фрайверт (2019), «Четырехугольники с точками Паскаля, вписанные во вписанный четырехугольник», The Mathematical Gazette , 103 (557): 233– 239, doi :10.1017/mag.2019.54, S2CID  233360695.
  51. ^ Дэвид, Фрайверт (2019), «Набор прямоугольников, вписанных в ортогональный четырехугольник и определенных окружностями в точках Паскаля», Журнал геометрии и графики , 23 : 5–27.
  52. ^ Дэвид, Фрайверт (2017), «Свойства окружности точек Паскаля в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями» (PDF) , Forum Geometricorum , 17 : 509–526 , архивировано из оригинала (PDF) 2020-12-05 , извлечено 2020-04-29.
  53. ^ Йозефссон, Мартин (2013). «Характеристики трапеций» (PDF) . Forum Geometricorum . 13 : 23– 35. Архивировано из оригинала (PDF) 16 июня 2013 г.
  54. ^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2020). Рог изобилия четырехугольников. Американское математическое общество. стр. 17–18. ISBN 978-1-47-045312-1.
  55. ^ Барнетт, MP; Капитани, JF (2006). «Модулярная химическая геометрия и символические вычисления». Международный журнал квантовой химии . 106 (1): 215– 227. Bibcode : 2006IJQC..106..215B. doi : 10.1002/qua.20807.
  56. ^ Гамильтон, Уильям Роуэн (1850). «О некоторых результатах, полученных с помощью анализа кватернионов относительно вписывания «гош»-полигонов в поверхности второго порядка» (PDF) . Труды Королевской Ирландской Академии . 4 : 380–387 .
На Викискладе есть медиафайлы по теме Тетрагоны .
  • «Четырехугольник, полный», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Четырехугольники, образованные перпендикулярными серединами, проективная коллинеарность и интерактивная классификация четырехугольников из cut-the-knot
  • Определения и примеры четырехугольников и Определение и свойства четырехугольников из Mathopenref
  • (Динамическое) иерархическое четырехугольное дерево в Dynamic Geometry Sketches
  • Расширенная классификация четырехугольников Архивировано 30.12.2019 на Wayback Machine на домашней странице Dynamic Math Learning Архивировано 25.08.2018 на Wayback Machine
  • Роль и функция иерархической классификации четырехугольников Майкла де Вильерса
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Quadrilateral&oldid=1273183801"