Построение перпендикулярной серединной плоскости четырехугольника

В геометрии построение перпендикуляра к четырехугольнику через середину — это построение, которое создает новый четырехугольник из данного четырехугольника с помощью перпендикуляров к сторонам прежнего четырехугольника. Это построение возникает естественным образом в попытке найти замену для центра описанной окружности четырехугольника в случае, если он не является вписанным.

Предположим, что вершины четырехугольника заданы как . Пусть — перпендикуляры к серединам сторон соответственно. Тогда их пересечения с индексами, рассматриваемыми по модулю 4, образуют консеквентальный четырехугольник . Затем построение повторяется для получения и так далее. ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3},Q_{4}}$${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}}$${\displaystyle Q_{1}Q_{2},Q_{2}Q_{3},Q_{3}Q_{4},Q_{4}Q_{1}}$${\displaystyle Q_{i}^{(2)}=b_{i+2}b_{i+3}}$${\displaystyle Q^{(2)}}$${\displaystyle Q^{(2)}}$${\displaystyle Q^{(3)}}$

Эквивалентную конструкцию можно получить, если вершины будут центрами описанных окружностей 4 треугольников, образованных выбором комбинаций из 3 вершин .${\displaystyle Q^{(i+1)}}$${\displaystyle Q^{(я)}}$

1. Если не является циклическим, то не является вырожденным. ^[1]${\displaystyle Q^{(1)}}$${\displaystyle Q^{(2)}}$

2. Четырехугольник никогда не является вписанным. ^[1] Объединение #1 и #2 всегда невырождено.${\displaystyle Q^{(2)}}$${\displaystyle Q^{(3)}}$

3. Четырехугольники и гомотетичны и, в частности, подобны . ^[2] Четырехугольники и также гомотетичны .${\displaystyle Q^{(1)}}$${\displaystyle Q^{(3)}}$${\displaystyle Q^{(2)}}$${\displaystyle Q^{(4)}}$

3. Построение перпендикуляра-биссектрисы можно обратить с помощью изогонального сопряжения . ^[3] То есть, если задано , можно построить .${\displaystyle Q^{(i+1)}}$${\displaystyle Q^{(я)}}$

4. Пусть будут углами . Для каждого отношение площадей и определяется выражением ^[3]${\displaystyle \альфа,\бета,\гамма,\дельта}$${\displaystyle Q^{(1)}}$${\displaystyle я}$${\displaystyle Q^{(я)}}$${\displaystyle Q^{(i+1)}}$

${\displaystyle (1/4)(\cot(\alpha )+\cot(\gamma ))(\cot(\beta )+\cot(\delta )).}$

5. Если является выпуклым, то последовательность четырехугольников сходится к изоптической точке , которая также является изоптической точкой для каждого . Аналогично, если является вогнутым, то последовательность, полученная путем обращения построения, сходится к изоптической точке 's. ^[3]${\displaystyle Q^{(1)}}$${\displaystyle Q^{(1)},Q^{(2)},\ldots }$${\displaystyle Q^{(1)}}$${\displaystyle Q^{(я)}}$${\displaystyle Q^{(1)}}$${\displaystyle Q^{(1)},Q^{(0)},Q^{(-1)},\ldots }$${\displaystyle Q^{(я)}}$

6. Если является касательной, то также является касательной. ^[4]${\displaystyle Q^{(1)}}$${\displaystyle Q^{(2)}}$

• Дж. Лангр, Задача E1050, Amer. Math. Monthly , 60 (1953) 551.
• В. В. Прасолов, Задачи по плоской геометрии , т. 1, 1991; Задача 6.31.
• В.В. Прасолов, Сборник задач по плоской и стереометрии , т. 1 (перевод Д. Лейтеса)
• Д. Беннетт, Динамическая геометрия возобновляет интерес к старой проблеме, в книге Geometry Turned On (ред. Дж. Кинг), MAA Notes 41, 1997, стр. 25–28.
• Дж. Кинг, Четырехугольники, образованные перпендикулярными биссектрисами, в книге «Включенная геометрия» (ред. Дж. Кинг), MAA Notes 41, 1997, стр. 29–32.
• GC Shephard, Построение перпендикулярной биссектрисы, Geom. Dedicata , 56 (1995) 75–84.
• А. Богомольный , Четырехугольники, образованные серединными перпендикулярами, Интерактивный математический сборник и головоломки , http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PerpBisectQuadri.shtml.
• Б. Грюнбаум, О четырехугольниках, полученных из четырехугольников — Часть 3, Геомбинаторика 7 (1998), 88–94.
• О. Радко и Э. Цукерман, Построение перпендикуляра посередине, изоптическая точка и линия Симсона четырехугольника, Forum Geometricorum 12 : 161–189 (2012).

• Теорема о перпендикулярах и биссектрисах описанного четырехугольника в разделе «Очерки динамической геометрии», интерактивные очерки динамической геометрии.