q-аналог

В математике q - аналог теоремы, тождества или выражения — это обобщение, включающее новый параметр q , который возвращает исходную теорему, тождество или выражение в пределе при q → 1. Как правило, математики интересуются q -аналогами, которые возникают естественным образом, а не произвольно придумывают q -аналоги известных результатов. Самым ранним q -аналогом, изученным подробно, является базовый гипергеометрический ряд , который был введен в 19 веке. ^[1]

q -аналоги чаще всего изучаются в математических областях комбинаторики и специальных функций . В этих условиях предел q → 1 часто формален, так как q часто имеет дискретные значения (например, он может представлять собой степень простого числа ). q -аналоги находят применение в ряде областей, включая изучение фракталов и мультифрактальных мер, а также выражений для энтропии хаотических динамических систем . Связь с фракталами и динамическими системами вытекает из того факта, что многие фрактальные узоры имеют симметрии фуксовых групп в целом (см., например, жемчужины Индры и аполлоновскую сетку ) и модулярной группы в частности. Связь проходит через гиперболическую геометрию и эргодическую теорию , где эллиптические интегралы и модулярные формы играют важную роль; сами q -ряды тесно связаны с эллиптическими интегралами.

q -аналоги также появляются при изучении квантовых групп и в q -деформированных супералгебрах . Связь здесь похожа, поскольку большая часть теории струн изложена на языке римановых поверхностей , что приводит к связям с эллиптическими кривыми , которые в свою очередь относятся к q -рядам.

Классическая q -теория начинается с q -аналогов неотрицательных целых чисел. ^[2] Равенство

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=n}$

предполагает, что мы определяем q -аналог n , также известный как q -скобка или q -число n , как

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}$

Сам по себе выбор этого конкретного q -аналога среди множества возможных вариантов немотивирован. Однако он естественным образом появляется в нескольких контекстах. Например, решив использовать [ n ] q _как q -аналог n , можно определить q -аналог факториала , известный как q -факториал , следующим образом:

${\displaystyle {\begin{align}\,[n]_{q}!&=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\[6pt]&={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\[6pt]&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{align}}}$

Этот q -аналог естественным образом появляется в нескольких контекстах. Примечательно, что в то время как n ! подсчитывает количество перестановок длины n , [ n ] _q ! подсчитывает перестановки, отслеживая количество инверсий . То есть, если inv( w ) обозначает количество инверсий перестановки w , а S _n обозначает множество перестановок длины n , то мы имеем

${\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!.}$

В частности, можно восстановить обычный факториал, взяв предел как .${\displaystyle q\rightarrow 1}$

Q - факториал также имеет краткое определение в терминах q- символа Похгаммера , основного строительного блока всех q -теорий:

${\displaystyle [n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}.}$

От q -факториалов можно перейти к определению q -биномиальных коэффициентов , также известных как гауссовские коэффициенты, гауссовские полиномы или гауссовские биномиальные коэффициенты :

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[nk]_{q}![k]_{q}!}}.}$

Экспонента q определяется как :

${\displaystyle e_{q}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}$

В этом контексте были определены q -тригонометрические функции, а также q -преобразование Фурье.

Коэффициенты Гаусса подсчитывают подпространства конечного векторного пространства . Пусть q — число элементов в конечном поле . (Число q тогда является степенью простого числа , q = p ^e , поэтому использование буквы q особенно уместно.) Тогда число k -мерных подпространств n -мерного векторного пространства над полем q -элементов равно

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}.}$

Приближая q к 1, получаем биномиальный коэффициент

${\displaystyle {\binom {n}{k}},}$

или, другими словами, количество k -элементных подмножеств n -элементного множества.

Таким образом, конечное векторное пространство можно рассматривать как q -обобщение множества, а подпространства как q -обобщение подмножеств множества. В качестве другого примера, количество флагов , как и порядок, в котором мы строим флаг, имеет значение, и после взятия предела мы получаем . Это была плодотворная точка зрения в нахождении интересных новых теорем. Например, существуют q -аналоги теоремы Шпернера ^[3] и теории Рамсея . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle [н]_{д}!}$${\displaystyle н!}$

Пусть q = ( e ^{2 π i / n} ) ^d будет d -й степенью примитивного корня n -й степени из единицы. Пусть C будет циклической группой порядка n, порожденной элементом c . Пусть X будет множеством k -элементных подмножеств n -элементного множества {1, 2, ..., n }. Группа C имеет каноническое действие на X , заданное отправкой c в циклическую перестановку (1, 2, ..., n ). Тогда число неподвижных точек c ^d на X равно

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}.}$

Наоборот, позволяя q изменяться и рассматривая q -аналоги как деформации, можно рассматривать комбинаторный случай q  = 1 как предел q -аналогов при q  → 1 (часто нельзя просто позволить q  = 1 в формулах, отсюда и необходимость брать предел).

Это можно формализовать в поле с одним элементом , что восстанавливает комбинаторику как линейную алгебру над полем с одним элементом: например, группы Вейля являются простыми алгебраическими группами над полем с одним элементом.

q -аналоги часто встречаются в точных решениях задач многих тел. ^{[ требуется ссылка ]} В таких случаях предел q → 1 обычно соответствует относительно простой динамике, например, без нелинейных взаимодействий, тогда как q < 1 дает представление о сложном нелинейном режиме с обратными связями.

Примером из атомной физики является модель создания молекулярного конденсата из ультрахолодного фермионного атомарного газа при прохождении внешнего магнитного поля через резонанс Фешбаха . ^[4] Этот процесс описывается моделью с q -деформированной версией алгебры операторов SU(2), а ее решение описывается q -деформированными экспоненциальным и биномиальным распределениями.

• Список q -аналогов
• Число Стерлинга
• Молодая картина

• Эндрюс, GE , Аски, RA и Рой, R. (1999), Специальные функции , Cambridge University Press, Кембридж.
• Гаспер, Г. и Рахман, М. (2004), Основные гипергеометрические ряды , Cambridge University Press, ISBN  0521833574 .
• Исмаил, MEH (2005), Классические и квантовые ортогональные многочлены с одной переменной , Cambridge University Press.
• Koekoek, R. & Swarttouw, RF (1998), Схема Эски гипергеометрических ортогональных многочленов и ее q-аналог , 98-17, Делфтский технический университет, факультет информационных технологий и систем, кафедра технической математики и информатики.

• «Теневое исчисление», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• q-аналог из MathWorld
• q-скобка из MathWorld
• q-факториал из MathWorld
• q-биномиальный коэффициент из MathWorld