Псевдокомплемент

В математике , в частности в теории порядка , псевдодополнение является одним из обобщений понятия дополнения . В решетке L с нижним элементом 0 элемент x ∈ L называется псевдодополнением , если существует наибольший элемент x * ∈ L со свойством x ∧ x * = 0. Более формально, x * = max{ y ∈ L | x ∧ y = 0 }. Сама решетка L называется решеткой с псевдодополнением, если каждый элемент L является псевдодополняемым. Каждая решетка с псевдодополнением обязательно ограничена , т. е. она также имеет 1. Поскольку псевдодополнение уникально по определению (если оно существует), решетка с псевдодополнением может быть снабжена унарной операцией *, отображающей каждый элемент в его псевдодополнение; эта структура иногда называется p -алгеброй . ^{[1] [2]} Однако этот последний термин может иметь и другие значения в других областях математики.

В p -алгебре L для всех ^{[1] [2]}${\displaystyle x,y\in L:}$

• Отображение x ↦ x * является антитонным . В частности, 0* = 1 и 1* = 0.
• Отображение x ↦ x ** является замыканием .
• х * = х ***.
• ( х ∨ у )* = х * ∧ у *.
• ( Икс ∧ у )** = Икс ** ∧ у **.

Множество S ( L ) ≝ { x ** | x ​​∈ L } называется скелетом L . S ( L ) является ∧- подполурешеткой L и вместе с x ∪ y = ( x ∨ y )** = ( x * ∧ y *)* образует булеву алгебру ( дополнение в этой алгебре равно *). ^[1] [ ^2] В общем случае S ( L ) не является подрешеткой L . ^[2] В дистрибутивной p -алгебре S ( L ) является множеством дополняемых элементов L . ^[1]

Каждый элемент x со свойством x * = 0 (или, что эквивалентно, x ** = 1) называется плотным . Каждый элемент вида x ∨ x * является плотным. D ( L ), множество всех плотных элементов в L, является фильтром L . [ 1 ] ^{[ 2]} Дистрибутивная p -алгебра является булевой тогда и только тогда, когда D ( L ) = {1}. ^[1]

Псевдодополненные решетки образуют многообразие ; на самом деле, то же самое делают и псевдодополненные полурешетки. ^[3]

• Каждая конечная дистрибутивная решетка является псевдодополняемой. ^[1]
• Каждая алгебра Стоуна является псевдодополняемой. Фактически, алгебра Стоуна может быть определена как псевдодополняемая дистрибутивная решетка L , в которой любое из следующих эквивалентных утверждений выполняется для всех ^[1]${\displaystyle x,y\in L:}$
  • S ( L ) — подрешетка L ;
  • ( х ∧ у )* = х * ∨ у *;
  • ( Икс ∨ у )** знак равно Икс ** ∨ у **;
  • х * ∨ х ** = 1.
• Каждая алгебра Гейтинга является псевдодополняемой. ^[1]
• Если X — топологическое пространство , то топология (открытого множества) на X — это псевдодополняемая (и дистрибутивная) решетка , где встреча и соединение являются обычным объединением и пересечением открытых множеств. Псевдодополнение открытого множества A — это внутренность дополнения множества A. Более того, плотные элементы этой решетки — это в точности плотные открытые подмножества в топологическом смысле. ^[2]

Относительное псевдодополнение a относительно b — это максимальный элемент c такой, что a ∧ c ≤ b . Эта бинарная операция обозначается a → b . Решетка с псевдодополнением для каждых двух элементов называется импликативной решеткой , или решеткой Брауэра . В общем случае импликативной решетке может не быть минимального элемента. Если такой минимальный элемент существует, то каждое псевдодополнение a * может быть определено с использованием относительного псевдодополнения как a → 0. ^[4]

• Топологическая векторная решетка