Правильное ортогональное разложение

Численный метод, который снижает сложность моделирования с интенсивными вычислениями

Правильное ортогональное разложение — это численный метод , который позволяет снизить сложность компьютерных симуляций, таких как вычислительная гидродинамика и структурный анализ (например, моделирование столкновений ). Обычно в гидродинамике и анализе турбулентности он используется для замены уравнений Навье-Стокса более простыми моделями для решения. ^[1]

Он принадлежит к классу алгоритмов, называемых редукцией порядка модели (или, короче, редукцией модели ). По сути, он обучает модель на основе данных моделирования. В этом смысле его можно отнести к области машинного обучения .

ПОД и ПКА

Основное применение POD — разложение физического поля (например, давления, температуры в гидродинамике или напряжения и деформации в структурном анализе) в зависимости от различных переменных, которые влияют на его физическое поведение. Как следует из его названия, он оперирует ортогональным разложением вместе с главными компонентами поля. Как таковой он ассимилируется с анализом главных компонент Пирсона в области статистики или сингулярным разложением в линейной алгебре, поскольку он относится к собственным значениям и собственным векторам физического поля. В этих областях он связан с исследованиями Карунена ^[2] и Лоэва ^[3] и их теоремой Карунена–Лоэва .

Математическое выражение

Первая идея, лежащая в основе правильного ортогонального разложения (POD), как оно изначально было сформулировано в области динамики жидкости для анализа турбулентности, заключается в разложении случайного векторного поля u(x, t) на набор детерминированных пространственных функций Φ _k ( x ), модулированных случайными временными коэффициентами a _k ( t ), так что:

u(x,t)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}(t)\phi _{k}(x)

Первый шаг — выборка векторного поля за период времени в том, что мы называем снимками (как показано на изображении снимков POD). Этот метод снимка ^[4] усредняет выборки по пространственному измерению n и коррелирует их друг с другом по временным выборкам p :

U={\begin{pmatrix}u(x_{1},t_{1})&\cdots &u(x_{n},t_{1})\\\vdots &&\vdots \\u(x_{1},t_{p})&\cdots &u(x_{n},t_{p})\end{pmatrix}}

с n пространственными элементами и p временными выборками

Следующим шагом является вычисление ковариационной матрицы C.

C={\frac {1}{(p-1)}}U^{T}U

Затем мы вычисляем собственные значения и собственные векторы матрицы C и упорядочиваем их от наибольшего собственного значения к наименьшему.

Получаем n собственных значений λ1,...,λn и набор из n собственных векторов, расположенных в виде столбцов в матрице Φ размером n × n:

\phi ={\begin{pmatrix}\phi _{1,1}&\cdots &\phi _{1,n}\\\vdots &&\vdots \\\phi _{n,1}&\cdots &\phi _{n,n}\end{pmatrix}}

Ссылки

^ Berkooz, G; Holmes, P; Lumley, JL (январь 1993 г.). «Правильное ортогональное разложение в анализе турбулентных потоков». Annual Review of Fluid Mechanics . 25 (1): 539– 575. Bibcode : 1993AnRFM..25..539B. doi : 10.1146/annurev.fl.25.010193.002543. ISSN 0066-4189.
^ Кархунен, Кари (1946). Спектральная теория стохастического процесса .
^ Дэвид, Ф. Н.; Лоев, М. (декабрь 1955 г.). «Теория вероятностей». Biometrika . 42 (3/4): 540. doi :10.2307/2333409. ISSN 0006-3444. JSTOR 2333409.
^ Сирович, Лоуренс (1987-10-01). «Турбулентность и динамика когерентных структур. I. Когерентные структуры». Quarterly of Applied Mathematics . 45 (3): 561– 571. doi : 10.1090/qam/910462 . ISSN 0033-569X.

Внешние ссылки

Массачусетский технологический институт: http://web.mit.edu/6.242/www/images/lec6_6242_2004.pdf.
Стэнфордский университет – Чарбель Фархат и Дэвид Амсаллем https://web.stanford.edu/group/frg/course_work/CME345/CA-CME345-Ch4.pdf
Вайс, Жюльен: Учебное пособие по правильному ортогональному разложению. В: 2019 AIAA Aviation Forum. 17–21 июня 2019 г., Даллас, Техас, США.
Курс французского языка от CNRS https://www.math.u-bordeaux.fr/~mbergman/PDF/OuvrageSynthese/OCET06.pdf
Применение метода правильной ортогональной декомпозиции http://www.cerfacs.fr/~cfdbib/repository/WN_CFD_07_97.pdf

[1] Berkooz, G; Holmes, P; Lumley, JL (январь 1993 г.). «Правильное ортогональное разложение в анализе турбулентных потоков». Annual Review of Fluid Mechanics . 25 (1): 539– 575. Bibcode : 1993AnRFM..25..539B. doi : 10.1146/annurev.fl.25.010193.002543. ISSN 0066-4189.

[2] Кархунен, Кари (1946). Спектральная теория стохастического процесса .

[3] Дэвид, Ф. Н.; Лоев, М. (декабрь 1955 г.). «Теория вероятностей». Biometrika . 42 (3/4): 540. doi :10.2307/2333409. ISSN 0006-3444. JSTOR 2333409.

[4] Сирович, Лоуренс (1987-10-01). «Турбулентность и динамика когерентных структур. I. Когерентные структуры». Quarterly of Applied Mathematics . 45 (3): 561– 571. doi : 10.1090/qam/910462 . ISSN 0033-569X.