Проническое число

Проническое число — это число, которое является произведением двух последовательных целых чисел , то есть число вида . ^[1] Изучение этих чисел восходит к Аристотелю . Их также называют продолговатыми числами , гетеромическими числами , ^[2] или прямоугольными числами ; ^[3] однако термин «прямоугольное число» также применялся к составным числам . ^{[4] [5]}${\displaystyle n(n+1)}$

Первые несколько пронических чисел:

0 , 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 , 72 , 90 , 110 , 132 , 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420 , 462 … (последовательность A002378 в OEIS ).

Обозначив проническое число , имеем . Поэтому при обсуждении пронических чисел можно без потери общности предположить, что , соглашение, которое принимается в следующих разделах.${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle n(n+1)}$${\displaystyle P_{{-}n}=P_{n{-}1}}$${\displaystyle n\geq 0}$

Пронические числа изучались как фигурные числа наряду с треугольными числами и квадратными числами в «Метафизике » Аристотеля [ ^2] , и их открытие было приписано гораздо раньше пифагорейцам [ ^3] . Как вид фигурных чисел, пронические числа иногда называют продолговатыми ^[2], потому что они аналогичны многоугольным числам в следующем смысле: ^[1]

1 × 2	2 × 3	3 × 4	4 × 5

n - е проническое число является суммой первых n четных целых чисел, и как таковое в два раза больше n- го треугольного числа ^{[1] [2]} и на n больше n -го квадратного числа , как указано в альтернативной формуле n ² + n для пронических чисел. Следовательно, n- е проническое число и n- е квадратное число (сумма первых n нечетных целых чисел ) образуют суперчастное отношение :

${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{n^{2}}}={\frac {n+1}{n}}}$

Из-за этого соотношения n -е проническое число находится на радиусе n и n + 1 от полного квадрата, а n- й полный квадрат находится на радиусе n от пронического числа. N- е проническое число также является разностью между нечетным квадратом (2 n + 1) ² и ( n +1) -м центрированным шестиугольным числом .

Поскольку число недиагональных элементов в квадратной матрице в два раза больше треугольного числа, это проническое число. ^[6]

Частичная сумма первых n положительных пронических чисел равна удвоенному значению n- го тетраэдрического числа :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k(k+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}=2T_{n}}$.

Сумма обратных величин положительных пронических чисел (исключая 0) представляет собой телескопический ряд , сумма которого равна 1: ^[7]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}\cdots =1}$.

Частичная сумма первых n членов этого ряда равна ^[7]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n}{n+1}}}$.

Сумма знакопеременных чисел, обратных положительным проническим числам (исключая 0), представляет собой сходящийся ряд :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{20}}\cdots =\log(4)-1}$.

Пронические числа четные, и 2 — единственное простое проническое число. Это также единственное проническое число в последовательности Фибоначчи и единственное проническое число Люка . ^{[8] [9]}

Среднее арифметическое двух последовательных пронических чисел является квадратом числа :

${\displaystyle {\frac {n(n+1)+(n+1)(n+2)}{2}}=(n+1)^{2}}$

Итак, между любыми двумя последовательными проническими числами существует квадрат. Он уникален, поскольку

${\displaystyle n^{2}\leq n(n+1)<(n+1)^{2}<(n+1)(n+2)<(n+2)^{2}.}$

Другим следствием этой цепочки неравенств является следующее свойство. Если m — проническое число, то выполняется следующее:

${\displaystyle \lfloor {\sqrt {м}}\rfloor \cdot \lceil {\sqrt {м}}\rceil =м.}$

Тот факт, что последовательные целые числа взаимно просты и что проническое число является произведением двух последовательных целых чисел, приводит к ряду свойств. Каждый отдельный простой множитель пронического числа присутствует только в одном из множителей n или n + 1 . Таким образом, проническое число является бесквадратным тогда и только тогда, когда n и n + 1 также являются бесквадратными. Количество различных простых множителей пронического числа равно сумме количества различных простых множителей n и n + 1 .

Если к десятичному представлению любого пронического числа прибавить 25 , то результатом будет квадратное число, квадрат числа, оканчивающегося на 5; например, 625 = 25 ² и 1225 = 35 ² . Это так, потому что

${\displaystyle 100n(n+1)+25=100n^{2}+100n+25=(10n+5)^{2}}$.