Проблема точек

Проблема очков , также называемая проблемой дележа ставок , является классической проблемой в теории вероятностей . Одна из известных проблем, которая мотивировала начало современной теории вероятностей в 17 веке, она привела Блеза Паскаля к первому явному рассуждению о том, что сегодня известно как ожидаемое значение .

Проблема касается азартной игры с двумя игроками, имеющими равные шансы на победу в каждом раунде. Игроки вносят равные взносы в призовой банк и заранее договариваются, что первый игрок, выигравший определенное количество раундов, заберет весь приз. Теперь предположим, что игра прерывается внешними обстоятельствами до того, как кто-либо из игроков одержит победу. Как тогда справедливо разделить банк? Подразумевается, что раздел должен каким-то образом зависеть от количества раундов, выигранных каждым игроком, так что игрок, который близок к победе, получит большую часть банка. Но проблема не только в расчетах; она также включает в себя решение того, что на самом деле является «справедливым» разделом.

Лука Пачоли рассматривал такую ​​задачу в своем учебнике 1494 года «Summa de arithmetica, geometrica, rationi et rationalità» . Его метод состоял в том, чтобы разделить ставки пропорционально количеству раундов, выигранных каждым игроком, а количество раундов, необходимых для победы, вообще не входило в его расчеты. ^[1]

В середине XVI века Никколо Тарталья заметил, что метод Пачоли приводит к противоречивым результатам, если игра прерывается, когда сыгран только один раунд. В этом случае правило Пачоли присудило бы весь банк победителю этого одного раунда, хотя преимущество в один раунд в начале долгой игры далеко не решающее. Тарталья разработал метод, который избегает этой конкретной проблемы, основывая разделение на соотношении между размером преимущества и продолжительностью игры. ^[1] Однако это решение все еще не лишено проблем; в игре до 100 оно делит ставки одинаково как для преимущества 65–55, так и для преимущества 99–89, хотя первое все еще является относительно открытой игрой, тогда как во второй ситуации победа лидирующего игрока почти гарантирована. Сам Тарталья не был уверен, можно ли решить эту проблему вообще таким образом, чтобы убедить обоих игроков в ее справедливости: «каким бы способом ни было сделано разделение, будут причины для судебного разбирательства». ^[2]

Проблема возникла снова около 1654 года, когда шевалье де Мере задал ее Блезу Паскалю . Паскаль обсуждал проблему в своей продолжающейся переписке с Пьером де Ферма . В ходе этой дискуссии Паскаль и Ферма не только предоставили убедительное, самосогласованное решение этой проблемы, но и разработали концепции, которые до сих пор являются основополагающими для теории вероятностей.

Исходное понимание для Паскаля и Ферма состояло в том, что разделение не должно зависеть столько от истории той части прерванной игры, которая действительно имела место, сколько от возможных путей продолжения игры, если бы она не была прервана. Интуитивно ясно, что игрок с преимуществом 7–5 в игре до 10 имеет такие же шансы на победу, как и игрок с преимуществом 17–15 в игре до 20, и поэтому Паскаль и Ферма считали, что прерывание в любой из двух ситуаций должно привести к такому же разделению ставок. Другими словами, важно не количество раундов, которые каждый игрок выиграл до сих пор, а количество раундов, которые каждому игроку еще нужно выиграть, чтобы достичь общей победы.

Теперь Ферма рассуждал так: ^[3] Если одному игроку нужно больше раундов для победы, а другому нужно , то после дополнительных раундов кто-то наверняка выиграет игру . Поэтому представьте, что игроки должны были сыграть больше раундов; в общей сложности эти раунды имеют разные возможные результаты. В некоторых из этих возможных будущих игр игра фактически будет решена за меньшее количество раундов, но не повредит представить, что игроки продолжают играть без цели. Рассмотрение только одинаково длинных будущих имеет то преимущество, что можно легко убедить себя, что каждая из возможностей одинаково вероятна. Таким образом, Ферма смог вычислить шансы на победу каждого игрока, просто записав таблицу всех возможных продолжений и подсчитав, сколько из них приведут к победе каждого игрока. Теперь Ферма считал, что было бы очевидно справедливо разделить ставки пропорционально этим шансам.${\displaystyle r}$${\displaystyle с}$${\displaystyle r+s-1}$${\displaystyle r+s-1}$${\displaystyle 2^{r+s-1}}$${\displaystyle r+s-1}$${\displaystyle 2^{r+s-1}}$${\displaystyle 2^{r+s-1}}$

Решение Ферма, безусловно "правильное" по сегодняшним меркам, было улучшено Паскалем двумя способами. Во-первых, Паскаль привел более подробный аргумент, почему полученное деление следует считать справедливым. Во-вторых, он показал, как вычислить правильное деление более эффективно, чем табличный метод Ферма, который становится совершенно непрактичным (без современных компьютеров), если больше, чем около 10.${\displaystyle r+s-1}$

Вместо того, чтобы просто рассматривать вероятность победы во всей оставшейся игре, Паскаль разработал принцип меньших шагов: предположим, что игроки смогли сыграть еще один раунд, прежде чем их прервали, и что мы уже решили, как справедливо разделить ставки после этого еще одного раунда (возможно, потому что этот раунд позволяет одному из игроков выиграть). Воображаемый дополнительный раунд может привести к одному из двух возможных будущих вариантов с различными справедливыми разделениями ставок, но поскольку у двух игроков равные шансы выиграть в следующем раунде, они должны разделить разницу между двумя будущими разделениями поровну. Таким образом, знание справедливых решений в играх с меньшим количеством оставшихся раундов может быть использовано для расчета справедливых решений для игр с большим количеством оставшихся раундов. ^[4]

Проще убедить себя в справедливости этого принципа, чем в справедливости таблицы Ферма возможных будущих событий, которые вдвойне гипотетичны, поскольку нужно представить, что игра иногда продолжается после победы. Анализ Паскаля здесь является одним из самых ранних примеров использования ожидаемых значений вместо шансов при рассуждениях о вероятности. Вскоре после этого эта идея станет основой для первого систематического трактата о вероятности Христиана Гюйгенса . Позднее современная концепция вероятности выросла из использования ожидаемых значений Паскалем и Гюйгенсом.

Прямое применение пошагового правила Паскаля значительно быстрее, чем метод Ферма, когда остается много раундов. Однако Паскаль смог использовать его в качестве отправной точки для разработки более продвинутых вычислительных методов. Благодаря умной манипуляции тождествами, включающими то, что сегодня известно как треугольник Паскаля (включая несколько первых явных доказательств по индукции ), Паскаль наконец показал, что в игре, где игроку a нужно r очков для победы, а игроку b нужно s очков для победы, правильное разделение ставок между игроком a (левая сторона) и b (правая сторона) выглядит так (используя современную нотацию):

${\displaystyle \sum _{k=0}^{s-1}{\binom {r+s-1}{k}}{\mbox{ : }}\sum _{k=s}^{r+s-1}{\binom {r+s-1}{k}}}$где термин представляет собой оператор комбинирования .${\displaystyle {\binom {r+s-1}{k}}}$

Задача о разделении ставок стала для Паскаля главным мотивирующим примером в его «Трактате об арифметическом треугольнике» . ^{[4] [5]}

Хотя вывод Паскалем этого результата не зависел от табличного метода Ферма, очевидно, что он также точно описывает подсчет различных результатов дополнительных раундов, предложенный Ферма.${\displaystyle r+s-1}$

• Андерс Хальд: История вероятности и статистики и их применения до 1750 года . Wiley 2003, ISBN 978-0-471-47129-5 , стр. 35, 54 
• Кит Девлин: Незаконченная игра: Паскаль, Ферма и письмо семнадцатого века, которое сделало мир современным . Basic Books 2010, ISBN 978-0465018963 

• Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник Паскаля». MathWorld .
• Раннее развитие математической вероятности
• Проблема точек на MathForum
• Очень доступное объяснение проблемы точек из блога «Вероятность и статистика».