Принцип постоянства

В истории математики принцип постоянства , или закон постоянства эквивалентных форм , представлял собой идею о том, что алгебраические операции, такие как сложение и умножение, должны вести себя согласованно в каждой системе счисления , особенно при разработке расширений к существующим системам счисления . [1] [2]

До появления современной математики и ее акцента на аксиоматическом методе принцип постоянства считался важным инструментом в математических аргументах. В современной математике аргументы были заменены строгими доказательствами, построенными на аксиомах, а принцип вместо этого использовался как эвристика для открытия новых алгебраических структур . [3] Кроме того, принцип был формализован в класс теорем, называемых принципами переноса , [3] которые утверждают, что все утверждения некоторого языка, которые верны для некоторой структуры, верны и для другой структуры.

История

Этот принцип был описан Джорджем Пикоком в его книге «Трактат алгебры» (выделено в оригинале): [4]

132. Давайте снова вернемся к этому принципу или закону постоянства эквивалентных форм и рассмотрим его, изложенный в форме прямой и обратной пропорции.

« Всякая форма, алгебраически эквивалентная другой, выраженная в общих символах, должна быть истинной, что бы эти символы ни обозначали » .

Наоборот, если мы обнаруживаем эквивалентную форму в арифметической алгебре или любой другой подчиненной науке, когда символы являются общими по форме, но конкретными по своей природе, то то же самое должно быть эквивалентной формой, когда символы являются общими как по своей природе, так и по своей форме.

Этот принцип позднее был пересмотрен Германом Ганкелем [5] [6] и принят Джузеппе Пеано , Эрнстом Махом , Германом Шубертом , Альфредом Прингсхаймом и другими. [7]

Примерно в то же время, что и «Трактат алгебры» , Огюстен-Луи Коши опубликовал «Курс анализа» , в котором использовал термин « общность алгебры » [8] [ нужна страница ] для описания (и критики) метода аргументации, использовавшегося математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж , который был похож на принцип постоянства.

Приложения

Одним из основных применений принципа постоянства является демонстрация того, что функциональное уравнение, справедливое для действительных чисел, справедливо также и для комплексных чисел. [9]

Например, уравнение справедливо для всех действительных чисел s , t . По принципу постоянства для функций двух переменных это предполагает, что оно справедливо и для всех комплексных чисел. [10] е с + т − е с е т = 0 {\displaystyle e^{s+t}-e^{s}e^{t}=0}

В качестве контрпримера рассмотрим следующие свойства:

  • коммутативность сложения: для всех , х + у = у + х {\displaystyle х+у=у+х} х , у {\displaystyle x,y}
  • Свойство левосократимости сложения: если , то , для всех . х + у = х + з {\displaystyle x+y=x+z} у = з {\displaystyle y=z} x , y , z {\displaystyle x,y,z}

Оба свойства справедливы для всех натуральных , целых , рациональных , действительных и комплексных чисел. Однако, следуя расширениям Георга Кантора натуральных чисел за пределы бесконечности, ни одно из них не удовлетворяет обоим свойствам одновременно.

  • В порядковой арифметике сложение является левосокращающим, но уже не коммутативным. Например, . 3 + ω = ω ≠ ω + 3 {\displaystyle 3+\omega =\omega \neq \omega +3}
  • В кардинальной арифметике сложение коммутативно, но больше не является левосократительным, поскольку всякий раз , когда или бесконечно. Например, , но . [11] x + y = m a x { x , y } {\displaystyle x+y=max\{x,y\}} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} ℵ 0 + 1 = ℵ 0 = ℵ 0 + 2 {\displaystyle \aleph _{0}+1=\aleph _{0}=\aleph _{0}+2} 1 ≠ 2 {\displaystyle 1\neq 2}

Следовательно, обе эти ранние строгие системы бесконечных чисел нарушают принцип постоянства.

Ссылки

  1. ^ Вольфрам, Стивен. «Глава 12, Раздел 9, Сноска: Обобщение в математике». Новый вид науки. стр. 1168.
  2. ^ Тоадер, Юлиан Д. (2021), «Постоянство как принцип практики», Historia Mathematica , 54 : 77–94, arXiv : 2408.08547 , doi : 10.1016/j.hm.2020.08.001
  3. ^ ab "Принцип постоянства". История науки и математики Stack Exchange .
  4. ^ Трактат об алгебре (Дж. и Дж. Дж. Дейтон, 1830). — Трактат об алгебре (2-е изд., Scripta Mathematica): т. 1 Арифметическая алгебра (1842), т. 2 О символической алгебре и ее приложениях к геометрии положения (1845). Цитата из изд. 1830 г., стр. 104.
  5. ^ Вольфрам, Стивен. «Глава 12, Раздел 9, Сноска: Обобщение в математике». Новый вид науки. стр. 1168.
  6. ^ "Ханкель, Герман | Энциклопедия.com" . www.энциклопедия.com .
  7. ^ Тоадер, Юлиан Д. (2021), «Постоянство как принцип практики», Historia Mathematica , 54 : 77–94, arXiv : 2408.08547 , doi : 10.1016/j.hm.2020.08.001
  8. ^ Коши, Огюстен-Луи (1821). «Алгебрический анализ». Курс анализа Королевской политехнической школы . Том. 1. L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi . Проверено 7 ноября 2015 г.* Бесплатная версия на archive.org
  9. ^ Добен, Джозеф В. (1979), Георг Кантор: его математика и философия бесконечности , Бостон: Издательство Гарвардского университета , ISBN 978-0-691-02447-9.
  10. ^ Гамелен, Т. Комплексный анализ , серия UTM, Springer-Verlag, 2001c
  11. ^ Наименьшее бесконечное число обозначается символами и в порядковой и кардинальной арифметике соответственно. ω {\displaystyle \omega } ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}}


Значок заглушки

Эта статья об истории математики — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Principle_of_permanence&oldid=1245968276"