Предварительная мера

В математике пред -мера — это функция множества , которая в некотором смысле является предшественником настоящей меры на данном пространстве. Действительно, одна из фундаментальных теорем в теории меры утверждает, что пред-мера может быть расширена до меры.

Семейства множеств${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ более${\displaystyle \Омега}$ в т е
Обязательно верно для ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ или, закрыто при:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	Режиссер ​${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\чашка B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Омега \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	ФИП
π -система
Полукольцо										Никогда
Полуалгебра (Полуполе)										Никогда
Монотонный класс						только если${\displaystyle A_{i}\searrow }$	только если${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
𝜆-система (система Дынкина)				только если ${\displaystyle A\subseteq B}$			только если или они не пересекаются${\displaystyle A_{i}\nearrow }$			Никогда
Кольцо (Теория порядка)
Кольцо (Теория меры)										Никогда
δ-кольцо										Никогда
𝜎-Кольцо										Никогда
Алгебра (Полевая)										Никогда
𝜎-Алгебра (𝜎-Поле)										Никогда
Двойственный идеал
Фильтр				Никогда	Никогда				${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
Предварительный фильтр (база фильтра)				Никогда	Никогда				${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
Фильтр подосновы				Никогда	Никогда				${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
Открытая топология							(даже произвольный )${\displaystyle \чашка}$			Никогда
Закрытая топология						(даже произвольный )${\displaystyle \cap}$				Никогда
Обязательно верно для ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ или, закрыто при:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	направлен вниз	конечные пересечения	конечные союзы	относительные дополнения	дополняет в${\displaystyle \Омега}$	счетные пересечения	исчисляемые союзы	содержит${\displaystyle \Омега}$	содержит${\displaystyle \varnothing}$	Свойство конечного пересечения
Кроме того, полукольцо — это π -система , где каждое дополнение равно конечному дизъюнктному объединению множеств из Полуалгебра — это полукольцо, где каждое дополнение равно конечному дизъюнктному объединению множеств из — произвольные элементы из и предполагается, что${\displaystyle B\setminus A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varничего .}$

Пусть — кольцо подмножеств (замкнутое относительно объединения и относительного дополнения ) фиксированного множества , а — функция множества . называется предмерой , если и для любой счетной (или конечной) последовательности попарно непересекающихся множеств, объединение которых лежит в Второе свойство называется -аддитивностью .${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu _{0}:R\to [0,\infty]}$${\displaystyle \mu _{0}}$$${\displaystyle \mu _{0}(\varnothing)=0}$$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in R}$${\displaystyle R,}$$${\displaystyle \mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{ 0}(A_{n}).}$$${\displaystyle \сигма}$

Таким образом, для того, чтобы предмера была мерой, не хватает того, чтобы она обязательно была определена на сигма-алгебре (или сигма-кольце ).

Оказывается, что предмеры вполне естественно порождают внешние меры , которые определены для всех подмножеств пространства Точнее, если — предмера , определенная на кольце подмножеств пространства , то функция множеств , определенная с помощью , является внешней мерой на , а мера, индуцированная с помощью на -алгебре множеств, измеримых по Каратеодори, удовлетворяет условию ( в частности, включает ). Нижняя грань пустого множества принимается равной${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mu ^{*}}$$${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})\right|A_{i}\in R,S\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right\}}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle \мю}$${\displaystyle \mu ^{*}}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle \Сигма}$${\displaystyle \mu (A) = \mu _ {0}(A)}$${\displaystyle A\in R}$${\displaystyle \Сигма}$${\displaystyle R}$${\displaystyle +\infty .}$

(Обратите внимание, что в литературе используются различные термины. Например, Роджерс (1998) использует термин «мера», тогда как в этой статье используется термин «внешняя мера». Внешние меры, как правило, не являются мерами, поскольку они могут не быть аддитивными.)${\displaystyle \sigma }$

• Теорема Хана-Колмогорова  – Теорема, распространяющая предмеры на мерыPages displaying short descriptions of redirect targets

• Манро, М. Э. (1953). Введение в измерение и интеграцию . Кембридж, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company Inc., стр. 310. МР 0053186
• Rogers, CA (1998). Меры Хаусдорфа . Кембриджская математическая библиотека (третье изд.). Кембридж: Cambridge University Press. стр. 195. ISBN 0-521-62491-6. MR 1692618 (См. раздел 1.2.)
• Фолланд, ГБ (1999). Действительный анализ . Чистая и прикладная математика (второе изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. стр. 30–31. ISBN 0-471-31716-0.