Пи-система

В математике π - система (или пи-система ) на множестве — это совокупность определенных подмножеств , таких что${\displaystyle \Омега}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle \Омега,}$

• ${\displaystyle P}$непустое .​
• Если тогда${\displaystyle A,B\in P}$${\displaystyle A\cap B\in P.}$

То есть, является непустым семейством подмножеств , которое замкнуто относительно непустых конечных пересечений . ^{[nb 1]} Важность π -систем возникает из того факта, что если две вероятностные меры согласуются на π -системе, то они согласуются на 𝜎-алгебре, порожденной этой π -системой. Более того, если другие свойства, такие как равенство интегралов, справедливы для π -системы, то они справедливы и для порожденной 𝜎-алгебры. Это имеет место всякий раз, когда набор подмножеств, для которых справедливо свойство, является 𝜆 -системой . π -системы также полезны для проверки независимости случайных величин.${\displaystyle P}$${\displaystyle \Омега}$

Это желательно, поскольку на практике π -системы часто проще в работе, чем 𝜎-алгебры. Например, может быть неудобно работать с 𝜎-алгебрами, порожденными бесконечным числом множеств. Поэтому вместо этого мы можем рассмотреть объединение всех 𝜎-алгебр, порожденных конечным числом множеств. Это образует π -систему, которая порождает желаемую 𝜎-алгебру. Другим примером является совокупность всех интервалов действительной прямой вместе с пустым множеством, которое является π -системой, которая порождает очень важную борелевскую 𝜎-алгебру подмножеств действительной прямой.${\displaystyle \сигма (E_{1},E_{2},\ldots).}$${\ textstyle \ bigcup _ {n} \ сигма (E_ {1}, \ ldots, E_ {n}).}$

π -система - это непустая коллекция множеств , которая замкнута относительно непустых конечных пересечений, что эквивалентно содержанию пересечения любых двух ее элементов. Если каждое множество в этой π -системе является подмножеством , то она называется π -системой на${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \Омега .}$

Для любого непустого семейства подмножеств существует π -система, называемая π -системой, порожденной , то есть единственная наименьшая π -система из , содержащая каждый элемент из Она равна пересечению всех π -систем, содержащих и может быть явно описана как множество всех возможных непустых конечных пересечений элементов из${\displaystyle \Сигма}$${\displaystyle \Омега,}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\Sigma },}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varSigma }}}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \Сигма .}$${\displaystyle \Сигма,}$${\displaystyle \Сигма :}$$${\displaystyle \left\{E_{1}\cap \cdots \cap E_{n}~:~1\leq n\in \mathbb {N} {\text{ и }}E_{1},\ldots ,E_{n}\in \Sigma \right\}.}$$

Непустое семейство множеств обладает свойством конечного пересечения тогда и только тогда, когда порождаемая им π -система не содержит пустое множество в качестве элемента.

• Для любых действительных чисел интервалы образуют π - систему, а интервалы образуют π -систему, если включить в нее также пустое множество.${\displaystyle а}$${\displaystyle б,}$${\displaystyle (-\infty ,а]}$${\displaystyle (а,б]}$
• Топология (совокупность открытых подмножеств ) любого топологического пространства представляет собой π -систему.
• Каждый фильтр является π -системой. Каждая π -система, не содержащая пустого множества, является предварительным фильтром (также известным как база фильтра).
• Для любой измеримой функции множество   определяет π- систему и называется π -системой, порожденной ( Альтернативно, определяет π -систему, порожденную )${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{f}=\left\{f^{-1}((-\infty ,x]):x\in \mathbb {R} \right\}}$${\displaystyle ф.}$${\displaystyle \left\{f^{-1}((a,b]):a,b\in \mathbb {R} ,a<b\right\}\cup \{\varnothing \}}$${\displaystyle ф.}$
• Если и являются π -системами для и соответственно, то является π -системой для декартова произведения${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle \Омега _{1}}$${\displaystyle \Омега _{2},}$${\displaystyle \{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in P_{1},A_{2}\in P_{2}\}}$ ${\displaystyle \Омега _{1}\times \Омега _{2}.}$
• Каждая 𝜎-алгебра является π -системой.

𝜆 -система на — это множество подмножеств удовлетворяющих${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \Омега,}$

• ${\displaystyle \Омега \in D,}$
• если тогда${\displaystyle A\in D}$${\displaystyle \Omega \setminus A\in D,}$
• если это последовательность (попарно) непересекающихся подмножеств в то${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _ {n = 1} ^ {\ infty } A_ {n} \ in D.}$

Хотя верно, что любая 𝜎-алгебра удовлетворяет свойствам быть как 𝜆 -системой, так и 𝜀-системой, неверно, что любая 𝜆 -система является 𝜆-системой, и, более того, неверно, что любая 𝜎 -система является 𝜎-алгеброй. Однако полезная классификация заключается в том, что любая система множеств, которая является как 𝜆-системой, так и 𝜀 -системой, является 𝜎-алгеброй. Это используется как шаг в доказательстве теоремы о 𝜆 -𝜆.

Пусть будет 𝜆-системой, а будет   π - системой, содержащейся в Теорема о π - 𝜆 ^[1] утверждает, что 𝜎-алгебра, порожденная , содержится в${\displaystyle D}$${\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq D}$${\displaystyle Д.}$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle D~:~}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})\subseteq D.}$

Теорема π -𝜆 может быть использована для доказательства многих элементарных результатов теории мер . Например, она используется при доказательстве утверждения о единственности теоремы Каратеодори о расширении для 𝜎-конечных мер. ^[2]

Теорема π -𝜆 тесно связана с теоремой о монотонных классах , которая обеспечивает схожую связь между монотонными классами и алгебрами и может быть использована для вывода многих из тех же результатов. Поскольку π -системы являются более простыми классами, чем алгебры, может быть проще идентифицировать множества, которые находятся в них, в то время как, с другой стороны, проверка того, определяет ли рассматриваемое свойство 𝜆 -систему, часто является относительно простой. Несмотря на разницу между двумя теоремами, теорему π -𝜆 иногда называют теоремой о монотонных классах. ^[1]

Пусть — две меры на 𝜎-алгебре и предположим, что порождается π -системой . Если${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}:F\to \mathbb {R} }$${\displaystyle F,}$${\displaystyle F=\сигма (I)}$${\displaystyle Я.}$

1. ${\displaystyle \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)}$для всех и${\displaystyle A\in I,}$
2. ${\displaystyle \mu _{1}(\Omega)=\mu _{2}(\Omega)<\infty,}$

то Это утверждение единственности теоремы Каратеодори о расширении для конечных мер. Если этот результат не кажется вам очень примечательным, учтите тот факт, что обычно очень сложно или даже невозможно полностью описать каждое множество в 𝜎-алгебре, и поэтому проблема приравнивания мер была бы совершенно безнадежной без такого инструмента.${\displaystyle \mu _{1} =\mu _{2}.}$

Идея доказательства ^[2] Определим совокупность множеств По первому предположению и согласуем и таким образом По второму предположению и далее можно показать, что является 𝜆-системой. Из теоремы π -𝜆 следует , что и таким образом То есть меры согласуются$${\displaystyle D=\left\{A\in \сигма (I)\колон \мю _{1}(A)=\мю _{2}(A)\right\}.}$$${\displaystyle \mu _{1}}$${\displaystyle \mu _{2}}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle I\subseteq D.}$${\displaystyle \Омега \in D,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \сигма (I)\subseteq D\subseteq \сигма (I),}$${\displaystyle D=\сигма (I).}$${\displaystyle \сигма (I).}$

π -системы чаще используются в изучении теории вероятностей, чем в общей области теории меры. Это в первую очередь связано с вероятностными понятиями, такими как независимость , хотя это также может быть следствием того факта, что теорема о π -𝜆 была доказана вероятностником Евгением Дынкиным . Стандартные тексты по теории меры обычно доказывают те же результаты с помощью монотонных классов , а не π -систем.

Теорема π -𝜆 мотивирует общее определение распределения вероятностей случайной величины в терминах ее кумулятивной функции распределения . Напомним, что кумулятивное распределение случайной величины определяется как тогда как, казалось бы, более общий закон переменной - это вероятностная мера , где - борелевская 𝜎-алгебра. Случайные величины и (на двух, возможно, различных вероятностных пространствах ) равны по распределению (или закону ), обозначаемому как , если они имеют одинаковые кумулятивные функции распределения; то есть, если Мотивация для определения вытекает из наблюдения, что если , то это точно означает, что и согласуются с π -системой , которая порождает и так по примеру выше:${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$${\displaystyle Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y},}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$${\displaystyle \{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.}$

Аналогичный результат справедлив для совместного распределения случайного вектора. Например, предположим, что и являются двумя случайными величинами, определенными на одном и том же вероятностном пространстве с соответственно сгенерированными π -системами и Совместная кумулятивная функция распределения равна${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}.}$${\displaystyle (X,Y)}$$${\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} [X\leq a,Y\leq b]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .}$$

Однако, и поскольку это π -система, генерируемая случайной парой, теорема π -𝜆 используется для того, чтобы показать, что совместная кумулятивная функция распределения достаточна для определения совместного закона . Другими словами, и имеют одинаковое распределение тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую совместную кумулятивную функцию распределения.${\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.}$$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}}$$${\displaystyle (X,Y),}$${\displaystyle (X,Y).}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle (W,Z)}$

В теории случайных процессов известно , что два процесса равны по распределению тогда и только тогда, когда они совпадают по всем конечномерным распределениям; то есть для всех${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,}$$${\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).}$$

Доказательство этого — еще одно применение теоремы π -𝜆. ^[3]

Теория π -систем играет важную роль в вероятностном понятии независимости . Если и являются двумя случайными величинами, определенными на одном и том же вероятностном пространстве , то случайные величины независимы тогда и только тогда, когда их π -системы удовлетворяют для всех и, что означает, что они независимы. Это фактически частный случай использования π -систем для определения распределения${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {I}}_{Y},}$$${\displaystyle \operatorname {P} [A\cap B]~=~\operatorname {P} [A]\operatorname {P} [B],}$$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}$${\displaystyle (X,Y).}$

Пусть где — это iid стандартные нормальные случайные величины. Определим радиус и аргумент (arctan) переменные${\displaystyle Z=\left(Z_{1},Z_{2}\right),}$${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$$${\displaystyle R={\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}},\qquad \Theta =\tan ^{-1}\left(Z_{2}/Z_{1}\right).}$$

Тогда и — независимые случайные величины.${\displaystyle R}$${\displaystyle \Theta }$

Чтобы доказать это, достаточно показать, что π -системы независимы: то есть для всех и${\displaystyle {\mathcal {I}}_{R},{\mathcal {I}}_{\Theta }}$${\displaystyle \rho \in [0,\infty )}$${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$$${\displaystyle \operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]=\operatorname {P} [R\leq \rho ]\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ].}$$

Подтверждение того, что это так, является упражнением по изменению переменных. Зафиксируйте и тогда вероятность может быть выражена как интеграл функции плотности вероятности${\displaystyle \rho \in [0,\infty )}$${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$${\displaystyle Z.}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]&=\int _{R\leq \rho ,\,\Theta \leq \theta }{\frac {1}{2\pi }}\exp \left({-{\frac {1}{2}}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})}\right)dz_{1}\,dz_{2}\\[5pt]&=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{\rho }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\,d{\tilde {\theta }}\\[5pt]&=\left(\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2\pi }}\,d{\tilde {\theta }}\right)\;\left(\int _{0}^{\rho }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\;r\,dr\right)\\[5pt]&=\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ]\operatorname {P} [R\leq \rho ].\end{aligned}}}$$

Семейства множеств${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ более${\displaystyle \Omega }$ в т е
Обязательно верно для ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ или, закрыто при:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	Режиссер ​${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	ФИП
π-система
Полукольцо										Никогда
Полуалгебра (Полуполе)										Никогда
Монотонный класс						только если${\displaystyle A_{i}\searrow }$	только если${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
𝜆-система (система Дынкина)				только если ${\displaystyle A\subseteq B}$			только если или они не пересекаются${\displaystyle A_{i}\nearrow }$			Никогда
Кольцо (Теория порядка)
Кольцо (Теория меры)										Никогда
δ-кольцо										Никогда
𝜎-Кольцо										Никогда
Алгебра (Полевая)										Никогда
𝜎-Алгебра (𝜎-Поле)										Никогда
Двойственный идеал
Фильтр				Никогда	Никогда				${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
Предварительный фильтр (база фильтра)				Никогда	Никогда				${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
Фильтр подосновы				Никогда	Никогда				${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$
Открытая топология							(даже произвольный )${\displaystyle \cup }$			Никогда
Закрытая топология						(даже произвольный )${\displaystyle \cap }$				Никогда
Обязательно верно для ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$ или, закрыто при:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	направлен вниз	конечные пересечения	конечные союзы	относительные дополнения	дополняет в${\displaystyle \Omega }$	счетные пересечения	исчисляемые союзы	содержит${\displaystyle \Omega }$	содержит${\displaystyle \varnothing }$	Свойство конечного пересечения
Кроме того, полукольцо — это π-система, в которой каждое дополнение равно конечному дизъюнктному объединению множеств из Полуалгебра — это полукольцо, в которой каждое дополнение равно конечному дизъюнктному объединению множеств из — произвольные элементы из и предполагается, что${\displaystyle B\setminus A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \Omega \setminus A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$

• δ- кольцо  – кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений
• Поле множеств  – алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
• Идеал (теория множеств)  – непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств.
• Независимость (теория вероятностей)  – когда возникновение одного события не влияет на вероятность другого.
• 𝜆-система (система Дынкина)  – Семейство, замкнутое относительно дополнений и счетных непересекающихся объединений
• Теорема о монотонном классе
• Распределение вероятностей  – математическая функция вероятности наступления определенного результата в эксперименте.
• Кольцо множеств  – Семья, замкнутая относительно союзов и относительных дополнений
• σ-алгебра  – Алгебраическая структура алгебры множеств
• 𝜎-идеал  – Семья замкнута относительно подмножеств и счетных объединений
• 𝜎-кольцо  – семейство множеств, замкнутых относительно счетных объединений

• Гут, Аллан (2005). Вероятность: курс для выпускников . Springer Texts in Statistics. Нью-Йорк: Springer. doi :10.1007/b138932. ISBN 0-387-22833-0.
• Уильямс, Дэвид (1991). Вероятность с Мартингалами . Cambridge University Press. ISBN 0-521-40605-6.
• Дарретт, Ричард (2019). Вероятность: теория и примеры (PDF) . Серия Кембридж по статистической и вероятностной математике. Том 49 (5-е изд.). Кембридж, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Получено 5 ноября 2020 г. .