Ассоциативность мощности
Свойство бинарной операции

В математике , в частности в абстрактной алгебре , ассоциативность степени — это свойство бинарной операции , представляющее собой слабую форму ассоциативности .

Определение

Алгебра (или, в более общем смысле, магма ) называется ассоциативной по мощности, если подалгебра, порожденная любым элементом, ассоциативна. Конкретно, это означает, что если элемент выполняет операцию сам по себе несколько раз, то не имеет значения, в каком порядке выполняются операции, например , . х {\displaystyle x} ∗ {\displaystyle *} х ∗ ( х ∗ ( х ∗ х ) ) = ( х ∗ ( х ∗ х ) ) ∗ х = ( х ∗ х ) ∗ ( х ∗ х ) {\displaystyle х*(х*(х*х))=(х*(х*х))*х=(х*х)*(х*х)}

Примеры и свойства

Каждая ассоциативная алгебра является ассоциативной по мощности, но также и все другие альтернативные алгебры (например, октонионы , которые неассоциативны) и даже неальтернативные гибкие алгебры, такие как седенионы , тригинтадуонионы и алгебры Окубо . Любая алгебра, элементы которой идемпотентны, также является ассоциативной по мощности.

Возведение в степень любого положительного целого числа может быть определено последовательно всякий раз, когда умножение является ассоциативным по степени. Например, нет необходимости различать, следует ли определять x 3 как ( xx ) x или как x ( xx ), поскольку они равны. Возведение в степень нуля также может быть определено, если операция имеет элемент тождества , поэтому существование элементов тождества полезно в контекстах ассоциативности по степени.

Над полем характеристики 0 алгебра является ассоциативной по мощности тогда и только тогда, когда она удовлетворяет и , где — ассоциатор (Альберт, 1948). [ х , х , х ] = 0 {\displaystyle [x,x,x]=0} [ х 2 , х , х ] = 0 {\displaystyle [x^{2},x,x]=0} [ х , у , з ] := ( х у ) з − х ( у з ) {\displaystyle [x,y,z]:=(xy)zx(yz)}

Над бесконечным полем простых характеристик не существует конечного множества тождеств, характеризующего ассоциативность по мощности, но существуют бесконечные независимые множества, как описано Гаиновым (1970): п > 0 {\displaystyle p>0}

  • Для : и для ( п = 2 {\displaystyle p=2} [ х , х 2 , х ] = 0 {\displaystyle [x,x^{2},x]=0} [ х н − 2 , х , х ] = 0 {\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0} н = 3 , 2 к {\displaystyle n=3,2^{k}} к = 2 , 3... ) {\displaystyle к=2,3...)}
  • Для : для ( п = 3 {\displaystyle p=3} [ х н − 2 , х , х ] = 0 {\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0} н = 4 , 5 , 3 к {\displaystyle n=4,5,3^{k}} к = 1 , 2... ) {\displaystyle к=1,2...)}
  • Для : для ( п = 5 {\displaystyle p=5} [ х н − 2 , х , х ] = 0 {\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0} н = 3 , 4 , 6 , 5 к {\displaystyle n=3,4,6,5^{k}} к = 1 , 2... ) {\displaystyle к=1,2...)}
  • Для : для ( п > 5 {\displaystyle p>5} [ х н − 2 , х , х ] = 0 {\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0} н = 3 , 4 , п к {\displaystyle n=3,4,p^{k}} к = 1 , 2... ) {\displaystyle к=1,2...)}

Закон подстановки справедлив для действительных степенно-ассоциативных алгебр с единицей, который в основном утверждает, что умножение многочленов работает так, как и ожидалось. Для f действительного многочлена от x и для любого a в такой алгебре определим f ( a ) как элемент алгебры, полученный в результате очевидной подстановки a в f . Тогда для любых двух таких многочленов f и g мы имеем, что ( fg )( a ) = f ( a ) g ( a ) .

Смотрите также

Ссылки

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Power_associativity&oldid=1250574591"