Алгебра Окубо

В алгебре алгебра Окубо или псевдооктонионная алгебра — это 8-мерная неассоциативная алгебра, похожая на ту, которую изучал Сусуму Окубо . [1] Алгебры Окубо являются композиционными алгебрами , гибкими алгебрами ( A ( BA )=( AB ) A ), допустимыми по Ли алгебрами и ассоциативными по мощности , но не являются ассоциативными, не являются альтернативными алгебрами и не имеют единичного элемента.

Примером Окубо была алгебра 3-на-3 комплексных матриц со следом -нулем, с произведением X и Y, заданным как aXY  +  bYX  – Tr( XY ) I /3, где I - единичная матрица, а a и b удовлетворяют a  +  b  = 3 ab  = 1. Эрмитовы элементы образуют 8-мерную вещественную неассоциативную алгебру с делением . Подобная конструкция работает для любой кубической альтернативной отделимой алгебры над полем, содержащей примитивный кубический корень из единицы. Алгебра Окубо - это алгебра, построенная таким образом из элементов со следом -нулем центральной простой алгебры степени 3 над полем. [2]

Построение алгебры Пара-Гурвица

Унитальные композиционные алгебры называются алгебрами Гурвица . [3] : 22  Если основное поле K является полем действительных чисел , а N положительно определено , то A называется евклидовой алгеброй Гурвица .

Скалярное произведение

Если K имеет характеристику, не равную 2, то билинейная форма ( a ,  b ) = ⁠1/2⁠ [ N ( a + b ) − N ( a ) − N ( b )] связано с квадратичной формой N .

Инволюция в алгебрах Гурвица

Предполагая, что A имеет мультипликативную единицу, определим инволюцию и правые и левые операторы умножения следующим образом:

а ¯ = − а + 2 ( а , 1 ) 1 , Л ( а ) б = а б , Р ( а ) б = б а . {\displaystyle \displaystyle {{\bar {a}}=-a+2(a,1)1,\,\,\,L(a)b=ab,\,\,\,R(a)b=ba.}}

Очевидно,  что это инволюция , сохраняющая квадратичную форму. Обозначение сверху подчеркивает тот факт, что комплексное и кватернионное сопряжение являются ее частными случаями. Эти операторы обладают следующими свойствами:

  • Инволюция является антиавтоморфизмом, т.е. a b = b  a
  • а  а = N ( а ) 1 = а  а
  • L ( a ) = L ( a )* , R ( a ) = R ( a )* , где * обозначает сопряженный оператор относительно формы ( , )
  • Re( a b ) = Re( b a ) , где Re  x = ( x + x )/2 = ( x , 1)
  • Re(( а б )  в ) = Re( а  ( б в ))
  • L ( a 2 ) = L ( a ) 2 , R ( a 2 ) = R ( a ) 2 , так что A является альтернативной алгеброй

Эти свойства доказываются, исходя из поляризованной версии тождества ( a b ,  a b ) = ( a ,  a )( b ,  b ) :

2 ( а , б ) ( с , г ) = ( а с , б г ) + ( а г , б с ) . {\displaystyle \displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}}

Установка b = 1 или d = 1 дает L ( a ) = L ( a )* и R ( c ) = R ( c )* . Следовательно, Re( a b ) = ( a b , 1) = ( a ,  b ) = ( b a , 1) = Re( b a ) . Аналогично ( a b ,  c ) = ( a b ,  c ) = ( b ,  a  c ) = (1,  b  ( a  c )) = (1, ( b  a )  c ) = ( b  a ,  c ) . Следовательно, Re( a b ) c = (( a b ) c , 1) = ( a b ,  c ) = ( a ,  c  b ) = ( a ( b c ), 1) = Re( a ( b c )) . По поляризованному тождеству N ( a ) ( c ,  d ) = ( a c ,  a d ) = ( a  a c ,  d ) поэтому L ( a ) L( a ) = N ( a ) . Применительно к 1 это дает a  a = N ( a ) . Замена a на a дает другое тождество. Подстановка формулы для a в L ( a )  L ( a ) = L ( a  a ) дает L ( a ) 2 = L ( a 2 ) .

Пара-Гурвицева алгебра

Другая операция ∗ может быть определена в алгебре Гурвица как

х  ∗  у = х  у

Алгебра ( A , ∗) является композиционной алгеброй, не являющейся в общем случае унитальной, известной как пара-алгебра Гурвица . [2] : 484  В размерностях 4 и 8 это пара-кватернионные [4] и пара-октонионные алгебры. [3] : 40, 41 

Пара-Гурвицева алгебра удовлетворяет [3] : 48 

( х ∗ у ) ∗ х = х ∗ ( у ∗ х ) = ⟨ х | х ⟩ у   . {\displaystyle (x*y)*x=x*(y*x)=\langle x|x\rangle y\ .}

Наоборот, алгебра с невырожденной симметричной билинейной формой, удовлетворяющая этому уравнению, является либо пара-Гурвицевой алгеброй, либо восьмимерной псевдооктонионной алгеброй . [3] : 49  Аналогично, гибкая алгебра, удовлетворяющая

⟨ х у | х у ⟩ = ⟨ х | х ⟩ ⟨ у | у ⟩   {\displaystyle \langle xy|xy\rangle =\langle x|x\rangle \langle y|y\rangle \ }

является либо алгеброй Гурвица, либо пара-алгеброй Гурвица, либо восьмимерной псевдооктонионной алгеброй. [3]

Ссылки

  1. ^ Сусуму Окубо (1978)
  2. ^ ab Макс-Альберт Кнус, Александр Меркурьев , Маркус Рост , Жан-Пьер Тиньоль (1998) «Композиция и триальность», глава 8 в «Книге инволюций» , стр. 451–511, Colloquium Publications v 44, Американское математическое общество ISBN  0-8218-0904-0
  3. ^ abcde Окубо, Сусуму (1995). Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике. Серия лекций памяти Монтролла по математической физике. Том 2. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 0-521-47215-6. MR  1356224. Zbl  0841.17001.
  4. ^ Термин «паракватернионы» иногда применяется к неродственным алгебрам.
  • "Okubo_algebra", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Окубо, Сусуму (1978), «Алгебры псевдокватернионов и псевдооктонионов», Hadronic Journal , 1 (4): 1250–1278, MR  0510100
  • Сусуму Окубо и Дж. Маршалл Осборн (1981) «Алгебры с невырожденными ассоциативными симметричными билинейными формами, допускающими композицию», Сообщения по алгебре 9(12): 1233–61, MR 0618901 и 9(20): 2015–73 MR 0640611.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Алгебра_Окубо&oldid=1209368618"