Закрытое множество

Подмножество, которое является как открытым, так и закрытым

В топологии открыто-замкнутое множество ( контраманто от закрыто -открытое множество ) в топологическом пространстве — это множество, которое одновременно открыто и замкнуто . То, что это возможно, может показаться нелогичным, поскольку общие значения открытого и закрытого являются антонимами, но их математические определения не являются взаимоисключающими . Множество замкнуто, если его дополнение открыто, что оставляет возможность открытого множества, дополнение которого также открыто, делая оба множества как открытыми , так и замкнутыми, и, следовательно, открыто-замкнутыми. Как описал тополог Джеймс Манкрес , в отличие от двери , «множество может быть открытым, или замкнутым, или обоими, или ни тем, ни другим!» ^[1], подчеркивая, что значение «открыто»/«закрыто» для дверей не связано с их значением для множеств (и поэтому дихотомия открытая/закрытая дверь не переносится на открытые/закрытые множества). Это отличие от дверей дало классу топологических пространств, известных как « пространства дверей », их название.

Примеры

В любом топологическом пространстве пустое множество и все пространство являются открыто-замкнутыми. ^[2]^[3] $X,$ $X$

Теперь рассмотрим пространство , состоящее из объединения двух открытых интервалов и Топология на наследуется как топология подпространства от обычной топологии на действительной прямой В множество открыто-замкнуто, как и множество Это довольно типичный пример: всякий раз , когда пространство состоит из конечного числа непересекающихся связных компонент таким образом, компоненты будут открыто-замкнутыми. $X$ $(0,1)$ $(2,3)$ $\mathbb {R} .$ $X$ $\mathbb {R} .$ $X,$ $(0,1)$ $(2,3).$

Теперь пусть будет бесконечным множеством в дискретной метрике – то есть, две точки имеют расстояние 1, если они не являются одной и той же точкой, и 0 в противном случае. В результирующем метрическом пространстве любое одноэлементное множество открыто; следовательно, любое множество, являющееся объединением отдельных точек, открыто. Поскольку любое множество открыто, дополнение любого множества также открыто, и, следовательно, любое множество замкнуто. Таким образом, все множества в этом метрическом пространстве являются открыто-замкнутыми. $X$ $p,q\in X$

В качестве менее тривиального примера рассмотрим пространство всех рациональных чисел с их обычной топологией и множество всех положительных рациональных чисел, квадрат которых больше 2. Используя тот факт, что не принадлежит одному, можно довольно легко показать, что является открыто-замкнутым подмножеством ( не является открыто-замкнутым подмножеством действительной прямой ; оно не является ни открытым, ни замкнутым в ). $\mathbb {Q}$ $А$ ${\sqrt {2}}$ $\mathbb {Q} ,$ $А$ $\mathbb {Q} .$ $А$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} .$

Характеристики

Топологическое пространство связно тогда и только тогда , когда единственными открыто-замкнутыми множествами являются пустое множество и оно само. $X$ $X$
Множество является открыто-замкнутым тогда и только тогда, когда его граница пуста. ^[4]
Любое открыто-замкнутое множество представляет собой объединение (возможно, бесконечного числа) связных компонент.
Если все компоненты связности открыты (например, если имеет только конечное число компонентов или если является локально связным ), то множество является открыто-замкнутым в тогда и только тогда, когда оно является объединением компонент связности. $X$ $X$ $X$ $X$
Топологическое пространство дискретно тогда и только тогда, когда все его подмножества открыто-замкнуты. $X$
Используя объединение и пересечение в качестве операций, открыто-замкнутые подмножества данного топологического пространства образуют булеву алгебру . Каждая булева алгебра может быть получена таким образом из подходящего топологического пространства: см. теорему Стоуна о представлении для булевых алгебр . $X$

Смотрите также

Список тождеств и отношений множеств – Равенства для комбинаций множеств

Примечания

^ Манкрес 2000, стр. 91.
^ Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (1992) [1982]. Введение в реальный анализ (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 348.(относительно действительных чисел и пустого множества в R)
^ Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1961). Топология . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. стр. 56.(относительно топологических пространств)
^ Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Довер. стр. 87. ISBN 0-486-66352-3. Пусть — подмножество топологического пространства. Докажите, что тогда и только тогда, когда — открыто и замкнуто. $А$ $\operatorname {Bdry} (A)=\varnothing$ $А$ (Представлено как упражнение 7)

Ссылки

Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе издание). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Моррис, Сидни А. "Топология без слез". Архивировано из оригинала 19 апреля 2013 г.

[FOOTNOTEMunkres200091-1] Манкрес 2000, стр. 91.

[2] Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (1992) [1982]. Введение в реальный анализ (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 348.(относительно действительных чисел и пустого множества в R)

[3] Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1961). Топология . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. стр. 56.(относительно топологических пространств)

[4] Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Довер. стр. 87. ISBN 0-486-66352-3. Пусть — подмножество топологического пространства. Докажите, что тогда и только тогда, когда — открыто и замкнуто. $А$ $\operatorname {Bdry} (A)=\varnothing$ $А$ (Представлено как упражнение 7)