Полярное пространство

В математике , в области геометрии , полярное пространство ранга n ( n ≥ 3 ), или проективного индекса n − 1 , состоит из множества P , традиционно называемого множеством точек, вместе с некоторыми подмножествами P , называемыми подпространствами , которые удовлетворяют следующим аксиомам:

• Каждое подпространство изоморфно проективному пространству P ^d ( K ) с −1 ≤ d ≤ ( n − 1) и K — телом . (То есть это дезаргова проективная геометрия.) Для каждого подпространства соответствующее d называется его размерностью.
• Пересечение двух подпространств всегда является подпространством.
• Для каждого подпространства A размерности n − 1 и каждой точки p, не лежащей в A , существует единственное подпространство B размерности n − 1, содержащее p и такое, что A ∩ B является ( n − 2) -мерным. Точки в A ∩ B — это в точности точки A , которые находятся в общем подпространстве размерности 1 с p .
• Существует по крайней мере два непересекающихся подпространства размерности n − 1 .

Можно определить и изучить немного больший класс объектов, используя только связь между точками и прямыми: полярное пространство — это частичное линейное пространство ( P , L ), так что для каждой точки p ∈ P и каждой прямой l ∈ L множество точек l, коллинеарных p, является либо единичным объектом, либо всем l .

Конечные полярные пространства (где P — конечное множество) также изучаются как комбинаторные объекты .

Полярное пространство ранга два является обобщенным четырехугольником ; в этом случае, в последнем определении, множество точек прямой, коллинеарной с точкой p, является всем , только если p ∈ . Можно восстановить первое определение из второго при предположениях, что прямые имеют более 2 точек, точки лежат более чем на 2 прямых, и существуют прямая и точка p, не лежащие на , такие, что p коллинеарна всем точкам  .${\displaystyle л}$${\displaystyle л}$${\displaystyle л}$${\displaystyle л}$${\displaystyle л}$${\displaystyle л}$

Пусть будет проективным пространством размерности над конечным полем и пусть будет рефлексивной полуторалинейной формой или квадратичной формой на базовом векторном пространстве. Элементами конечного классического полярного пространства, связанными с этой формой, являются элементы полностью изотропных подпространств (когда — полуторалинейная форма) или полностью сингулярных подпространств (когда — квадратичная форма) относительно . Индекс Витта формы равен наибольшей размерности векторного пространства подпространства, содержащегося в полярном пространстве, и он называется рангом полярного пространства. Эти конечные классические полярные пространства можно обобщить следующей таблицей, где — размерность базового проективного пространства, а — ранг полярного пространства. Число точек в a обозначается как и оно равно . Когда равно , мы получаем обобщенный четырехугольник. ${\displaystyle PG(n,q)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle PG(n,q)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$${\displaystyle PG(k,q)}$${\displaystyle \theta _{k}(q)}$${\displaystyle q^{k}+q^{k-1}+\cdots +1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 2}$

Форма	${\displaystyle n+1}$	Имя	Обозначение	Количество баллов	Группа коллинеации
Переменный	${\displaystyle 2r}$	Симплектический	${\displaystyle W(2r-1,q)}$	${\displaystyle (q^{r}+1)\theta _{r-1}(q)}$	${\displaystyle \mathrm {P\Gamma Sp} (2r,q)}$
Эрмитов	${\displaystyle 2r}$	Эрмитов	${\displaystyle H(2r-1,q)}$	${\displaystyle (q^{r-1/2}+1)\theta _{r-1}(q)}$	${\displaystyle \mathrm {P\Gamma U(2r,q)} }$
Эрмитов	${\displaystyle 2r+1}$	Эрмитов	${\displaystyle H(2r,q)}$	${\displaystyle (q^{r+1/2}+1)\theta _{r-1}(q)}$	${\displaystyle \mathrm {P\Gamma U(2r+1,q)} }$
Квадратичный	${\displaystyle 2r}$	Гиперболический	${\displaystyle Q^{+}(2r-1,q)}$	${\displaystyle (q^{r-1}+1)\theta _{r-1}(q)}$	${\displaystyle \mathrm {P\Gamma O^{+}} (2r,q)}$
Квадратичный	${\displaystyle 2r+1}$	Параболический	${\displaystyle Q(2r,q)}$	${\displaystyle (q^{r}+1)\theta _{r-1}(q)}$	${\displaystyle \mathrm {P\Gamma O} (2r+1,q)}$
Квадратичный	${\displaystyle 2r+2}$	Эллиптический	${\displaystyle Q^{-}(2r+1,q)}$	${\displaystyle (q^{r+1}+1)\theta _{r-1}(q)}$	${\displaystyle \mathrm {P\Gamma O^{-}} (2r+2,q)}$

Жак Тит доказал, что конечное полярное пространство ранга не менее трех всегда изоморфно одному из трех типов классических полярных пространств, приведенных выше. Это оставляет открытой только проблему классификации конечных обобщенных четырехугольников.

• Болл, Симеон (2015), Конечная геометрия и комбинаторные приложения, Студенческие тексты Лондонского математического общества, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-1107518438.

• Бьюкенхаут, Фрэнсис (2000), Предыстория и история полярных пространств и обобщенных многоугольников (PDF)
• Букенхаут, Фрэнсис; Коэн, Ардже М. (2013), Диаграммная геометрия: связанная с классическими группами и зданиями, Серия современных обзоров по математике, часть 3, т. 57, Гейдельберг: Springer, MR  3014979
• Кэмерон, Питер Дж. (2015), Проективные и полярные пространства (PDF) , QMW Maths Notes, т. 13, Лондон: Школа математических наук колледжа королевы Марии и Вестфилда, MR  1153019