Второй полярный момент площади

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Для проверки данной статьи необходимы дополнительные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  "Второй полярный момент области" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2019 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: чрезмерное выделение жирным шрифтом и курсивом.Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, если можете. ( октябрь 2023 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Второй полярный момент площади , также известный (неправильно, в разговорной речи) как «полярный момент инерции» или даже «момент инерции», — это величина, используемая для описания сопротивления крутильной деформации ( прогибу ) в объектах (или сегментах объекта) с неизменным поперечным сечением и без существенной деформации или деформации вне плоскости. ^[1] Он является составной частью второго момента площади , связанной с теоремой о перпендикулярной оси . В то время как плоский второй момент площади описывает сопротивление объекта прогибу ( изгибу ) при воздействии силы, приложенной к плоскости, параллельной центральной оси, полярный второй момент площади описывает сопротивление объекта прогибу при воздействии момента, приложенного в плоскости, перпендикулярной центральной оси объекта (т. е. параллельной поперечному сечению). Подобно расчетам плоского второго момента площади ( , , и ), полярный второй момент площади часто обозначается как . Хотя в ряде учебников по инженерии и академических публикаций он также обозначается как или , следует уделять этому обозначению особое внимание, чтобы его не путали с постоянной кручения , , используемой для нецилиндрических объектов.${\displaystyle I_{x}}$${\displaystyle I_{y}}$${\displaystyle I_{xy}}$${\displaystyle I_{z}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J_{z}}$${\displaystyle J_{t}}$

Проще говоря, полярный момент площади — это сопротивление вала или балки деформации кручением, как функция его формы. Жесткость исходит только из площади поперечного сечения объекта и не зависит от его материального состава или модуля сдвига . Чем больше величина второго полярного момента площади, тем больше крутильная жесткость объекта.

Уравнение, описывающее полярный момент площади, представляет собой кратный интеграл по площади поперечного сечения объекта.${\displaystyle А}$

$${\displaystyle J=\iint _{A}r^{2}\,dA}$$где - расстояние до элемента .${\displaystyle r}$${\displaystyle дА}$

Подставим компоненты и , используя теорему Пифагора :${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle J=\iint _{A}\left(x^{2}+y^{2}\right)dx\,dy}$$$${\displaystyle J=\iint _{A}x^{2}\,dx\,dy+\iint _{A}y^{2}\,dx\,dy}$$

Учитывая плоские вторые моменты уравнений площади, где:$${\displaystyle I_{x}=\iint _{A}y^{2}dx\,dy}$$$${\displaystyle I_{y}=\iint _{A}x^{2}dx\,dy}$$

Показано, что полярный момент площади можно описать как сумму и плоскостных моментов площади, причем${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle I_{x}}$${\displaystyle I_{y}}$$${\displaystyle \therefore J=I_{z}=I_{x}+I_{y}}$$

Это также показано в теореме о перпендикулярной оси . ^[2] Для объектов, имеющих вращательную симметрию, ^[3] таких как цилиндр или полая трубка, уравнение можно упростить до: или$${\displaystyle J=2I_{x}}$$$${\displaystyle J=2I_{y}}$$

Для круглого сечения с радиусом :${\displaystyle R}$$${\displaystyle I_{z}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}r^{2}(r\,dr\,d\phi )={\frac {\pi R^{4}}{2}}}$$

Единицей измерения в системе СИ для полярного момента инерции , как и для плоского момента инерции , является метр в четвертой степени ( м ⁴ ) и дюйм в четвертой степени ( дюйм ⁴ ) в традиционных единицах измерения США и имперских единицах измерения .

Полярный второй момент площади может быть недостаточным для использования при анализе балок и валов с некруглыми поперечными сечениями из-за их тенденции к деформации при скручивании, вызывающей деформации вне плоскости. В таких случаях следует заменить константу кручения , где включена соответствующая константа деформации для компенсации эффекта деформации. В рамках этого существуют статьи, в которых проводится различие между полярным вторым моментом площади , , и крутильной константой , , которая больше не используется для описания полярного второго момента площади. ^[4]${\displaystyle I_{z}}$${\displaystyle J_{t}}$${\displaystyle J}$

В объектах со значительными поперечными изменениями (вдоль оси приложенного крутящего момента), которые невозможно проанализировать по сегментам, может потребоваться более сложный подход. См. 3-D эластичность .

Хотя полярный второй момент площади чаще всего используется для расчета углового смещения объекта, подверженного моменту ( крутящему моменту ), приложенному параллельно поперечному сечению, указанное значение жесткости не имеет никакого отношения к сопротивлению кручению, оказываемому объекту как функции его составных материалов. Жесткость, обеспечиваемая материалом объекта, является характеристикой его модуля сдвига , . Объединяя эти две характеристики с длиной вала, , можно рассчитать угловое отклонение вала, , из-за приложенного крутящего момента, :${\displaystyle G}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle T}$$${\displaystyle \theta ={\frac {TL}{JG}}}$$

Как показано, чем больше модуль сдвига материала и полярный второй момент площади (т.е. больше площадь поперечного сечения), тем выше сопротивление изгибу при кручении.

Полярный второй момент площади появляется в формулах, описывающих крутильное напряжение и угловое смещение.

Напряжения кручения: где — напряжение сдвига кручения, — приложенный крутящий момент, — расстояние от центральной оси, — полярный второй момент площади.$${\displaystyle \tau ={\frac {T\,r}{J_{z}}}}$$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle T}$${\displaystyle r}$${\displaystyle J_{z}}$

Примечание: В круглом валу напряжение сдвига максимально на поверхности вала.

Расчет радиуса вала паровой турбины для турбоагрегата:

Предположения:

• Мощность, передаваемая по шахте, составляет 1000 МВт , что типично для крупной атомной электростанции . 
• Предел текучести стали, используемой для изготовления вала ( τтеч ) _, составляет: 250  ×  10 ⁶  Н/м ² .
• Частота электричества составляет 50 Гц ; это типичная частота в Европе. В Северной Америке частота составляет 60 Гц. Это предполагает, что существует соотношение 1:1 между скоростью вращения турбины и частотой сети.  

Угловую частоту можно рассчитать по следующей формуле:$${\displaystyle \omega =2\pi f}$$

Крутящий момент, передаваемый валом, связан с мощностью следующим уравнением:$${\displaystyle P=T\omega }$$

Таким образом, угловая частота составляет 314,16 рад / с , а крутящий момент — 3,1831 × 10 ⁶ Н·м .    

Максимальный крутящий момент составляет:$${\displaystyle T_{\max }={\frac {\tau _{\max }J_{z}}{r}}}$$

После подстановки полярного второго момента площади получается следующее выражение:$${\displaystyle r={\sqrt[{3}]{\frac {2T_{\max }}{\pi \tau _{\max }}}}}$$

Радиус r = 0,200 м = 200 мм, или диаметр 400 мм. Если добавить коэффициент запаса прочности 5 и пересчитать радиус с допустимым напряжением, равным τ _доп = τ _{выход /5} , то в результате получим радиус 0,343 м , или диаметр 690 мм, приблизительный размер вала турбоагрегата на атомной электростанции.     

Полярный второй момент площади:$${\displaystyle I_{z}={\frac {\pi \left(D^{4}-d^{4}\right)}{32}}}$$

Момент инерции:$${\displaystyle I_{c}=I_{z}\rho l={\frac {\pi \rho l\left(D^{4}-d^{4}\right)}{64}}}$$

Полярный второй момент площади$${\displaystyle I_{z}={\frac {\pi D^{4}}{32}}}$$

Момент инерции , где:$${\displaystyle I_{c}=I_{z}\rho l={\frac {\pi \rho lD^{4}}{64}}}$$

• ${\displaystyle d}$внутренний диаметр в метрах (м)
• ${\displaystyle D}$внешний диаметр в метрах (м)
• ${\displaystyle I_{c}}$момент инерции в кг·м ²
• ${\displaystyle I_{z}}$- полярный инерционный момент площади в метрах в четвертой степени (м ⁴ )
• ${\displaystyle l}$длина цилиндра в метрах (м)
• ${\displaystyle \rho }$удельная масса в кг/м ³

• Постоянная кручения
• Пружина кручения
• Торсионная подвеска
• Второй момент площади
• Модуль сдвига
• Список вторых моментов площади

• Кручение валов - engineeringtoolbox.com
• Упругие свойства и модуль Юнга для некоторых материалов - engineeringtoolbox.com
• База данных свойств материалов - matweb.com