Пуассоновский вейвлет
Типы вейвлетов

В математике, в функциональном анализе, несколько различных вейвлетов известны под названием вейвлет Пуассона . В одном контексте термин «вейвлет Пуассона» используется для обозначения семейства вейвлетов, помеченных набором положительных целых чисел , члены которого связаны с распределением вероятностей Пуассона . Эти вейвлеты были впервые определены и изучены Карлин А. Косанович, Алланом Р. Мозером и Майклом Дж. Пиовосо в 1995–96 годах. [1] [2] В другом контексте этот термин относится к определенному вейвлету, который включает форму интегрального ядра Пуассона. [3] В еще одном контексте эта терминология используется для описания семейства комплексных вейвлетов, индексированных положительными целыми числами, которые связаны с производными интегрального ядра Пуассона. [4]

Вейвлеты, связанные с распределением вероятности Пуассона

Определение

Члены семейства вейвлетов Пуассона, соответствующие n = 1, 2, 3, 4.

Для каждого положительного целого числа n вейвлет Пуассона определяется как ψ н ( т ) {\displaystyle \psi _{n}(t)}

ψ н ( т ) = { ( т − н н ! ) т н − 1 е − т  для  т ≥ 0 0  для  т < 0. {\displaystyle \psi _{n}(t)={\begin{cases}\left({\frac {tn}{n!}}\right)t^{n-1}e^{-t}&{\text{ для }}t\geq 0\\0&{\text{ для }}t<0.\end{cases}}}

Чтобы увидеть связь между вейвлетом Пуассона и распределением Пуассона, пусть X будет дискретной случайной величиной, имеющей распределение Пуассона с параметром (средним значением) t и для каждого неотрицательного целого числа n пусть Prob( X = n ) = p n ( t ). Тогда мы имеем

п н ( т ) = т н н ! е − т . {\displaystyle p_{n}(t)={\frac {t^{n}}{n!}}e^{-t}.}

Волна Пуассона теперь задается выражением ψ н ( т ) {\displaystyle \psi _{n}(t)}

ψ н ( т ) = − г г т п н ( т ) . {\displaystyle \psi _{n}(t)=-{\frac {d}{dt}}p_{n}(t).}

Основные свойства

  • ψ н ( т ) {\displaystyle \psi _{n}(t)} — обратная разность значений распределения Пуассона:
ψ н ( т ) = п н ( т ) − п н − 1 ( т ) . {\displaystyle \psi _{n}(t)=p_{n}(t)-p_{n-1}(t).}
  • «Волнистость» членов этого семейства вейвлетов следует из
∫ − ∞ ∞ ψ н ( т ) г т = 0. {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(t)\,dt=0.}
  • Преобразование Фурье дано ψ н ( т ) {\displaystyle \psi _{n}(t)}
Ψ ( ω ) = − я ω ( 1 + я ω ) н + 1 . {\displaystyle \Psi (\omega )={\frac {-i\omega }{(1+i\omega )^{n+1}}}.}
  • Константа допустимости, связанная с ψ н ( т ) {\displaystyle \psi _{n}(t)}
С ψ н = ∫ − ∞ ∞ | Ψ н ( ω ) | 2 | ω | г ω = 1 н . {\displaystyle C_{\psi _{n}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left|\Psi _{n}(\omega )\right|^{2}}{|\omega |}}\,d\omega ={\frac {1}{n}}.}
  • Вейвлет Пуассона не является ортогональным семейством вейвлетов.

Пуассоновское вейвлет-преобразование

Семейство вейвлетов Пуассона может быть использовано для построения семейства вейвлет-преобразований Пуассона функций, определенных во временной области. Поскольку вейвлеты Пуассона также удовлетворяют условию допустимости, функции во временной области могут быть восстановлены из их вейвлет-преобразований Пуассона с использованием формулы для обратных вейвлет-преобразований непрерывного времени.

Если f ( t ) — функция во временной области, то ее n -е вейвлет-преобразование Пуассона задается выражением

( Вт н ф ) ( а , б ) = 1 | а | ∫ − ∞ ∞ ф ( т ) ψ н ( т − б а ) г т {\displaystyle (W_{n}f)(a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\psi _{n}\left({\frac {tb}{a}}\right)\,dt}

В обратном направлении, учитывая n -е вейвлет-преобразование Пуассона функции f ( t ) во временной области, функцию f ( t ) можно восстановить следующим образом: ( Вт н ф ) ( а , б ) {\displaystyle (W_{n}f)(a,b)}

ф ( т ) = 1 С ψ н ∫ − ∞ ∞ [ ∫ − ∞ ∞ { ( Вт н ф ) ( а , б ) 1 | а | ψ н ( т − б а ) } г б ] г а а 2 {\displaystyle f(t)={\frac {1}{C_{\psi _{n}}}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }\,\left\{(W_{n}f)(a,b){\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\psi _{n}\left({\frac {tb}{a}}\right)\,\right\}db\right]{\frac {da}{a^{2}}}}

Приложения

Пуассоновские вейвлет-преобразования применяются в многоуровневом анализе, идентификации систем и оценке параметров. Они особенно полезны при изучении задач, в которых функции во временной области состоят из линейных комбинаций затухающих экспонент с задержкой по времени.

Вейвлет, связанный с ядром Пуассона

Изображение вейвлета, связанного с ядром Пуассона.
Изображение преобразования Фурье вейвлета, связанного с ядром Пуассона.

Определение

Вейвлет Пуассона определяется функцией [3]

ψ ( т ) = 1 π 1 − т 2 ( 1 + т 2 ) 2 {\displaystyle \psi (t)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1-t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}}

Это можно выразить в виде

ψ ( т ) = П ( т ) + т г г т П ( т ) {\displaystyle \psi (t)=P(t)+t{\frac {d}{dt}}P(t)} где . П ( т ) = 1 π 1 1 + т 2 {\displaystyle P(t)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{1+t^{2}}}}

Связь с ядром Пуассона

Функция появляется как интегральное ядро ​​в решении некоторой начальной задачи оператора Лапласа . П ( т ) {\displaystyle P(t)}

Это задача начального значения: для любого из найти гармоническую функцию, определенную в верхней полуплоскости, удовлетворяющую следующим условиям: с ( х ) {\displaystyle s(x)} Л п ( Р ) {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} ϕ ( х , у ) {\displaystyle \фи (x,y)}

  1. ∫ − ∞ ∞ | ϕ ( х , у ) | п г х ≤ с < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\phi (x,y)|^{p}\,dx\leq c<\infty } , и
  2. ϕ ( х , у ) → с ( х ) {\displaystyle \phi (x,y)\rightarrow s(x)} как в . у → 0 {\displaystyle y\rightarrow 0} Л п ( Р ) {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}

Задача имеет следующее решение: существует ровно одна функция, удовлетворяющая двум условиям, и она задается выражением ϕ ( х , у ) {\displaystyle \фи (x,y)}

ϕ ( т , у ) = П у ( т ) ⋆ с ( т ) {\displaystyle \phi (t,y)=P_{y}(t)\star s(t)}

где и где " " обозначает операцию свертки . Функция является интегральным ядром для функции . Функция является гармоническим продолжением в верхнюю полуплоскость. П у ( т ) = 1 у П ( т у ) = 1 π у т 2 + у 2 {\displaystyle P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}} ⋆ {\displaystyle \звезда} П у ( т ) {\displaystyle P_{y}(t)} ϕ ( х , у ) {\displaystyle \фи (x,y)} ϕ ( х , у ) {\displaystyle \фи (x,y)} с ( х ) {\displaystyle s(x)}

Характеристики

  • «Волнистость» функции следует из
∫ − ∞ ∞ ψ ( т ) г т = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0} .
  • Преобразование Фурье определяется выражением ψ ( т ) {\displaystyle \psi (t)}
Ψ ( ω ) = | ω | е − | ω | {\displaystyle \Psi (\omega)=|\omega |e^{-|\omega |}} .
  • Константа допустимости равна
С ψ = ∫ − ∞ ∞ | Ψ ( ω ) | 2 | ω | г ω = 2. {\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left|\Psi (\omega )\right|^{2}}{|\omega |}}\,d\omega =2.}

Класс сложных вейвлетов, связанных с ядром Пуассона.

Графики действительных частей вейвлета Пуассона для . ψ н ( т ) {\displaystyle \psi _{n}(t)} н = 1 , 2 , 3 , 4 {\displaystyle n=1,2,3,4}
Графики мнимых частей вейвлета Пуассона для . ψ н ( т ) {\displaystyle \psi _{n}(t)} н = 1 , 2 , 3 , 4 {\displaystyle n=1,2,3,4}

Определение

Вейвлет Пуассона представляет собой семейство комплекснозначных функций, индексированных набором положительных целых чисел и определяемых формулой [4] [5]

ψ н ( т ) = 1 2 π ( 1 − я т ) − ( н + 1 ) {\displaystyle \psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}(1-it)^{-(n+1)}} где н = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\ldots}

Связь с ядром Пуассона

Функцию можно выразить как n -ю производную следующим образом: ψ н ( т ) {\displaystyle \psi _{n}(t)}

ψ н ( т ) = 1 2 π 1 н ! я н г н г т н ( ( 1 − я т ) − 1 ) {\displaystyle \psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{n!\,i^{n}}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\left((1-it)^{-1}\right)}

Запись функции в терминах интегрального ядра Пуассона выглядит следующим образом: ( 1 − я т ) − 1 {\displaystyle (1-it)^{-1}} П ( т ) = 1 1 + т 2 {\displaystyle P(t)={\frac {1}{1+t^{2}}}}

( 1 − я т ) − 1 = П ( т ) + я т П ( т ) {\displaystyle (1-it)^{-1}=P(t)+itP(t)}

у нас есть

ψ н ( т ) = 1 2 π 1 н ! я н г н г т н П ( т ) + я ( 1 2 π 1 н ! я н г н г т н ( т П ( т ) ) ) {\displaystyle \psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{n!\,i^{n}}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}P(t)+i\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{n!\,i^{n}}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\left(tP(t)\right)\right)}

Таким образом, можно интерпретировать как функцию, пропорциональную производным интегрального ядра Пуассона. ψ н ( т ) {\displaystyle \psi _{n}(t)}

Характеристики

Преобразование Фурье определяется выражением ψ н ( т ) {\displaystyle \psi _{n}(t)}

Ψ н ( ω ) = 1 Г ( н + 1 ) ω н е − ω ты ( ω ) {\displaystyle \Psi _{n}(\omega )={\frac {1}{\Gamma (n+1)}}\omega ^{n}e^{-\omega }u(\omega )}

где — единичная ступенчатая функция . u ( ω ) {\displaystyle u(\omega )}

Ссылки

  1. ^ Карлен А. Косанович, Аллан Р. Мозер и Майкл Дж. Пиовосо (1996). «Пуассоновское вейвлет-преобразование». Chemical Engineering Communications . 146 (1): 131–138. doi :10.1080/00986449608936485.
  2. ^ Карлен А. Косанович, Аллан Р. Мозер и Майкл Дж. Пиовосо (1997). «Новое семейство вейвлетов: вейвлет-преобразование Пуассона». Компьютеры в химической инженерии . 21 (6): 601–620. doi :10.1016/S0098-1354(96)00294-3.
  3. ^ аб Клес, Роланд; Хаагманс, Роджер, ред. (2000). Вейвлеты в науках о Земле . Берлин: Шпрингер. стр. 18–20.
  4. ^ ab Abdul J. Jerri (1998). Явление Гиббса в анализе Фурье, сплайнах и вейвлет-аппроксимациях . Дордрех: Springer Science+Business Media. стр. 222–224. ISBN 978-1-4419-4800-7.
  5. ^ Войбор А. Войчински (1997). Распределения в физических и инженерных науках: распределительное и фрактальное исчисление, интегральные преобразования и вейвлеты, том 1. Springer Science & Business Media. стр. 223. ISBN 9780817639242.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Poisson_wavelet&oldid=1226207262"