Теория пилотной волны
Одна из интерпретаций квантовой механики

Спорные эксперименты Коудера [1] , [2] [3] якобы «материализующие» модель пилотной волны .

В теоретической физике теория волны-пилота , также известная как бомовская механика , была первым известным примером теории скрытых переменных , представленной Луи де Бройлем в 1927 году. Ее более современная версия, теория де Бройля–Бома , интерпретирует квантовую механику как детерминированную теорию и избегает таких проблем, как корпускулярно-волновой дуализм , мгновенный коллапс волновой функции и парадокс кота Шредингера, будучи по своей сути нелокальной .

Теория волны-пилота де Бройля–Бома является одной из нескольких интерпретаций (нерелятивистской) квантовой механики .

История

Ранние результаты Луи де Бройля по теории пилотной волны были представлены в его диссертации (1924) в контексте атомных орбиталей, где волны являются стационарными. Ранние попытки разработать общую формулировку для динамики этих направляющих волн в терминах релятивистского волнового уравнения были безуспешными, пока в 1926 году Шредингер не разработал свое нерелятивистское волновое уравнение . Он также предположил, что, поскольку уравнение описывает волны в конфигурационном пространстве, от модели частиц следует отказаться. [4] Вскоре после этого [5] Макс Борн предположил, что волновая функция волнового уравнения Шредингера представляет собой плотность вероятности обнаружения частицы. Следуя этим результатам, де Бройль разработал динамические уравнения для своей теории пилотной волны. [6] Первоначально де Бройль предложил подход двойного решения , в котором квантовый объект состоит из физической волны ( u -волны) в реальном пространстве, которая имеет сферическую сингулярную область, которая приводит к поведению, подобному частице; в этой первоначальной форме своей теории ему не нужно было постулировать существование квантовой частицы. [7] Позднее он сформулировал ее как теорию, в которой частица сопровождается пилотной волной.

Де Бройль представил теорию волны-пилота на Сольвеевской конференции 1927 года . [8] Однако Вольфганг Паули выдвинул возражение против нее на конференции, заявив, что она не рассматривает должным образом случай неупругого рассеяния . Де Бройль не смог найти ответ на это возражение и отказался от подхода с использованием волны-пилота. В отличие от Дэвида Бома годы спустя, де Бройль не завершил свою теорию, чтобы охватить многочастичный случай. [7] Многочастичный случай математически показывает, что диссипация энергии при неупругом рассеянии может быть распределена по окружающей структуре поля с помощью пока неизвестного механизма теории скрытых переменных. [ необходимо разъяснение ]

В 1932 году Джон фон Нейман опубликовал книгу, [9] часть которой утверждала, что доказывает невозможность всех теорий скрытых переменных. Этот результат был признан ошибочным Гретой Германн [10] [11] три года спустя, хотя по ряду причин это оставалось незамеченным физическим сообществом более пятидесяти лет.

В 1952 году Дэвид Бом , недовольный господствующей ортодоксальностью, заново открыл теорию пилотной волны де Бройля. Бом развил теорию пилотной волны в то, что сейчас называется теорией де Бройля–Бома . [12] [13] Сама теория де Бройля–Бома могла бы остаться незамеченной большинством физиков, если бы ее не отстаивал Джон Белл , который также опроверг возражения против нее. В 1987 году Джон Белл заново открыл работу Греты Германн [14] и таким образом показал физическому сообществу, что возражения Паули и фон Неймана показали только то, что теория пилотной волны не имеет локальности .

Теория пилотной волны

Принципы

(a) Ходок в круговом загоне. Траектории увеличивающейся длины имеют цветовую кодировку в соответствии с локальной скоростью капли (b) Распределение вероятностей положения ходока примерно соответствует амплитуде моды волны Фарадея загона. [15]

Теория пилотной волны является теорией скрытых переменных . Следовательно:

  • теория реалистична (это означает, что ее концепции существуют независимо от наблюдателя);
  • теория имеет детерминизм .

Положения частиц считаются скрытыми переменными. Наблюдатель не знает точных значений этих переменных; он не может знать их точно, потому что любое измерение нарушает их. С другой стороны, наблюдатель определяется не волновой функцией своих собственных атомов, а положениями атомов. Поэтому то, что человек видит вокруг себя, также является положениями близлежащих вещей, а не их волновыми функциями.

Совокупность частиц имеет связанную с ней волну материи, которая развивается согласно уравнению Шредингера . Каждая частица следует детерминированной траектории, которая направляется волновой функцией; в совокупности плотность частиц соответствует величине волновой функции. Волновая функция не подвержена влиянию частицы и может существовать также как пустая волновая функция. [16]

Теория выявляет нелокальность , которая подразумевается в нерелятивистской формулировке квантовой механики, и использует ее для удовлетворения теоремы Белла . Можно показать, что эти нелокальные эффекты совместимы с теоремой об отсутствии связи , которая не позволяет использовать их для связи со скоростью, превышающей скорость света, и, таким образом, эмпирически совместимы с теорией относительности. [17]

Макроскопический аналог

Couder, Fort и др. утверждали [18] , что макроскопические капли масла на вибрирующей жидкой ванне могут быть использованы в качестве аналоговой модели пилотных волн; локализованная капля создает периодическое волновое поле вокруг себя. Они предположили, что резонансное взаимодействие между каплей и ее собственным волновым полем демонстрирует поведение, аналогичное поведению квантовых частиц: интерференция в эксперименте с двумя щелями, [19] непредсказуемое туннелирование [20] (зависящее сложным образом от практически скрытого состояния поля), квантование орбиты [21] (частица должна «найти резонанс» с возмущениями поля, которые она создает — после одного оборота ее внутренняя фаза должна вернуться в исходное состояние) и эффект Зеемана . [22] Попытки воспроизвести эти эксперименты [23] [24] показали, что взаимодействия стенки и капли, а не дифракция или интерференция пилотной волны, могут быть ответственны за наблюдаемые гидродинамические картины, которые отличаются от вызванных щелью интерференционных картин, демонстрируемых квантовыми частицами. [25]

Математические основы

Чтобы вывести пилотную волну де Бройля–Бома для электрона, квантовый лагранжиан

Л ( т ) = 1 2 м в 2 − ( В + В ) , {\displaystyle L(t)={\frac {1}{2}}mv^{2}-(V+Q),}

где — потенциальная энергия, — скорость, а — потенциал, связанный с квантовой силой (частица, толкаемая волновой функцией), интегрируется вдоль ровно одного пути (того, по которому фактически следует электрон). Это приводит к следующей формуле для пропагатора Бома [ требуется ссылка ] : В {\displaystyle V} в {\displaystyle v} В {\displaystyle Q}

К В ( Х 1 , т 1 ; Х 0 , т 0 ) = 1 Дж. ( т ) 1 2 опыт ⁡ [ я ℏ ∫ т 0 т 1 Л ( т ) г т ] . {\displaystyle K^{Q}(X_{1},t_{1};X_{0},t_{0})={\frac {1}{J(t)^{\frac {1}{2}}}}\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t)\,dt\right].}

Этот пропагатор позволяет точно отслеживать электрон во времени под воздействием квантового потенциала . В {\displaystyle Q}

Вывод уравнения Шредингера

Теория волны-пилота основана на динамике Гамильтона–Якоби [26] , а не на лагранжевой или гамильтоновой динамике . Используя уравнение Гамильтона–Якоби

ЧАС ( х → , ∇ → х С , т ) + ∂ С ∂ т ( х → , т ) = 0 {\displaystyle H\left(\,{\vec {x}}\,,\;{\vec {\nabla }}_{\!x}\,S\,,\;t\,\right)+{\partial S \over \partial t}\left(\,{\vec {x}},\,t\,\right)=0}

можно вывести уравнение Шредингера :

Рассмотрим классическую частицу, положение которой неизвестно с точностью. Мы должны иметь с ней дело статистически, поэтому известна только плотность вероятности. Вероятность должна сохраняться, т.е. для каждого . Следовательно, она должна удовлетворять уравнению непрерывности ρ ( х → , т ) {\displaystyle \rho ({\vec {x}},t)} ∫ ρ г 3 х → = 1 {\displaystyle \int \rho \,\mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}=1} т {\displaystyle т}

∂ ρ ∂ т = − ∇ → ⋅ ( ρ в → ) ( 1 ) {\displaystyle {\frac {\,\partial \rho \,}{\partial t}}=-{\vec {\nabla }}\cdot (\rho \,{\vec {v}})\qquad \qquad (1)}

где - скорость частицы. v → ( x → , t ) {\displaystyle \,{\vec {v}}({\vec {x}},t)\,}

В формулировке Гамильтона-Якоби классической механики скорость определяется выражением, где является решением уравнения Гамильтона-Якоби v → ( x → , t ) = 1 m ∇ → x S ( x → , t ) {\displaystyle \;{\vec {v}}({\vec {x}},t)={\frac {1}{\,m\,}}\,{\vec {\nabla }}_{\!x}S({\vec {x}},\,t)\;} S ( x → , t ) {\displaystyle \,S({\vec {x}},t)\,}

− ∂ S ∂ t = | ∇ S | 2 2 m + V ~ ( 2 ) {\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\;\left|\,\nabla S\,\right|^{2}\,}{2m}}+{\tilde {V}}\qquad \qquad (2)}

( 1 ) {\displaystyle \,(1)\,} и могут быть объединены в одно комплексное уравнение путем введения комплексной функции, тогда два уравнения будут эквивалентны ( 2 ) {\displaystyle \,(2)\,} ψ = ρ e i S ℏ , {\displaystyle \;\psi ={\sqrt {\rho \,}}\,e^{\frac {\,i\,S\,}{\hbar }}\;,}

i ℏ ∂ ψ ∂ t = ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ~ − Q ) ψ {\displaystyle i\,\hbar \,{\frac {\,\partial \psi \,}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\tilde {V}}-Q\right)\psi \quad }

с

Q = − ℏ 2 2 m ∇ 2 ρ ρ   . {\displaystyle \;Q=-{\frac {\;\hbar ^{2}\,}{\,2m\,}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho \,}}}{\sqrt {\rho \,}}}~.}

Зависящее от времени уравнение Шредингера получается, если начать с обычного потенциала с дополнительным квантовым потенциалом . Квантовый потенциал — это потенциал квантовой силы, который пропорционален (в приближении) кривизне амплитуды волновой функции. V ~ = V + Q , {\displaystyle \;{\tilde {V}}=V+Q\;,} Q {\displaystyle Q}

Обратите внимание, что этот потенциал тот же самый, что появляется в уравнениях Маделунга , классическом аналоге уравнения Шредингера.

Математическая формула для одной частицы

Волна материи де Бройля описывается зависящим от времени уравнением Шредингера:

i ℏ ∂ ψ ∂ t = ( − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ) ψ {\displaystyle i\,\hbar \,{\frac {\,\partial \psi \,}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{\,2m\,}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad }

Комплексную волновую функцию можно представить как:

ψ = ρ exp ⁡ ( i S ℏ )   {\displaystyle \psi ={\sqrt {\rho \,}}\;\exp \left({\frac {i\,S}{\hbar }}\right)~}

Подставляя это в уравнение Шредингера, можно вывести два новых уравнения для действительных переменных. Первое — это уравнение непрерывности для плотности вероятности [12] ρ : {\displaystyle \,\rho \,:}

∂ ρ ∂ t + ∇ → ⋅ ( ρ v → ) = 0   , {\displaystyle {\frac {\,\partial \rho \,}{\,\partial t\,}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho \,{\vec {v}}\right)=0~,}

где поле скорости определяется «уравнением наведения»

v → ( r → , t ) = 1 m ∇ → S ( r → , t )   . {\displaystyle {\vec {v}}\left(\,{\vec {r}},\,t\,\right)={\frac {1}{\,m\,}}\,{\vec {\nabla }}S\left(\,{\vec {r}},\,t\,\right)~.}

Согласно теории пилотной волны, точечная частица и материальная волна являются как реальными, так и различными физическими сущностями (в отличие от стандартной квантовой механики, которая не постулирует никаких физических частиц или волновых сущностей, а только наблюдаемый дуализм волна-частица). Пилотная волна направляет движение точечных частиц, как описано в уравнении наведения.

Обычная квантовая механика и теория пилотной волны основаны на одном и том же частном дифференциальном уравнении. Главное отличие состоит в том, что в обычной квантовой механике уравнение Шредингера связано с реальностью постулатом Борна, который гласит, что плотность вероятности положения частицы определяется по формуле Теория пилотной волны считает уравнение наведения фундаментальным законом и рассматривает правило Борна как производную концепцию. ρ = | ψ | 2   . {\displaystyle \;\rho =|\psi |^{2}~.}

Второе уравнение представляет собой модифицированное уравнение Гамильтона–Якоби для действия S :

− ∂ S ∂ t = | ∇ → S | 2 2 m + V + Q   , {\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\;\left|\,{\vec {\nabla }}S\,\right|^{2}\,}{\,2m\,}}+V+Q~,}

где Q — квантовый потенциал, определяемый как

Q = − ℏ 2 2 m ∇ 2 ρ ρ   . {\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{\,2m\,}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho \,}}}{\sqrt {\rho \,}}}~.}

Если мы решим пренебречь Q , наше уравнение сведется к уравнению Гамильтона–Якоби классической точечной частицы. [a] Таким образом, квантовый потенциал ответственен за все загадочные эффекты квантовой механики.

Можно также объединить модифицированное уравнение Гамильтона-Якоби с уравнением наведения, чтобы вывести квазиньютоновское уравнение движения.

m d d t v → = − ∇ → ( V + Q )   , {\displaystyle m\,{\frac {d}{dt}}\,{\vec {v}}=-{\vec {\nabla }}(V+Q)~,}

где гидродинамическая производная по времени определяется как

d d t = ∂ ∂ t + v → ⋅ ∇ →   . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\,\partial t\,}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}~.}

Математическая формула для множественных частиц

Уравнение Шредингера для волновой функции многих тел имеет вид ψ ( r → 1 , r → 2 , ⋯ , t ) {\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\cdots ,t)}

i ℏ ∂ ψ ∂ t = ( − ℏ 2 2 ∑ i = 1 N ∇ i 2 m i + V ( r 1 , r 2 , ⋯ r N ) ) ψ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\nabla _{i}^{2}}{m_{i}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})\right)\psi }

Комплексную волновую функцию можно представить как:

ψ = ρ exp ⁡ ( i S ℏ ) {\displaystyle \psi ={\sqrt {\rho \,}}\;\exp \left({\frac {i\,S}{\hbar }}\right)}

Пилотная волна направляет движение частиц. Уравнение наведения для j-й частицы:

v → j = ∇ j S m j . {\displaystyle {\vec {v}}_{j}={\frac {\nabla _{j}S}{m_{j}}}\;.}

Скорость j-й частицы явно зависит от положения других частиц. Это означает, что теория нелокальна.

Относительность

Расширение релятивистского случая со спином разрабатывалось с 1990-х годов. [27] [28] [29] [30] [31] [32]

Пустая волновая функция

Люсьен Харди [33] и Джон Стюарт Белл [16] подчеркнули, что в картине квантовой механики де Бройля-Бома могут существовать пустые волны , представленные волновыми функциями, распространяющимися в пространстве и времени, но не переносящими энергию или импульс, [34] и не связанными с частицей. Та же концепция была названа призрачными волнами (или "Gespensterfelder", призрачными полями ) Альбертом Эйнштейном . [34] Понятие пустой волновой функции обсуждалось спорно. [35] [36] [37] Напротив, многомировая интерпретация квантовой механики не требует пустых волновых функций. [16]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Строго говоря, это только полуклассический предел; [ необходимо уточнение ] поскольку принцип суперпозиции все еще действует, необходим «механизм декогеренции», чтобы избавиться от него. Взаимодействие с окружающей средой может обеспечить этот механизм.

Ссылки

  1. ^ Wolchover, Natalie (11 октября 2018 г.). «Знаменитый эксперимент обрекает альтернативу квантовой странности». Журнал Quanta . Получено 17 октября 2018 г. Капли масла, направляемые «пилотными волнами», не смогли воспроизвести результаты квантового эксперимента с двумя щелями
  2. ^ Couder, Y.; Boudaoud, A.; Protière, S.; Moukhtar, J.; Fort, E. (2010). «Блуждающие капли: форма корпускулярно-волнового дуализма на макроскопическом уровне?» (PDF) . Europhysics News . 41 (1): 14–18. Bibcode :2010ENews..41a..14C. doi : 10.1051/epn/2010101 .
  3. ^ "Эксперименты Ива Кудера объясняют дуализм волн и частиц с помощью кремниевых капель". Как работает Вселенная?. Сквозь червоточину . 13 июля 2011 г. Архивировано из оригинала 22 декабря 2021 г.
  4. ^ Валентини, Энтони; Баччагалуппи, Гвидо (24 сентября 2006 г.). «Квантовая теория на перепутье: переосмысление Сольвеевской конференции 1927 года». arXiv : quant-ph/0609184 .
  5. ^ Борн, М. (1926). «Квантенмеханик дер Стоссворгенге». Zeitschrift für Physik . 38 (11–12): 803–827. Бибкод : 1926ZPhy...38..803B. дои : 10.1007/BF01397184. S2CID  126244962.
  6. ^ де Бройль, Л. (1927). «Ондуляторная механика и атомная структура материала и ткани». Журнал Physique et le Radium . 8 (5): 225–241. Бибкод : 1927JPhRa...8..225D. doi : 10.1051/jphysrad: 0192700805022500.
  7. ^ ab Dewdney, C.; Horton, G.; Lam, MM; Malik, Z.; Schmidt, M. (1992). «Корпусно-волновой дуализм и интерпретация квантовой механики». Foundations of Physics . 22 (10): 1217–1265. Bibcode : 1992FoPh...22.1217D. doi : 10.1007/BF01889712. S2CID  122894371.
  8. ^ Международный институт физики Сольвея (1928). Электроны и фотоны: отношения и дискуссии на Cinquième Conseil de Physique tenu à Bruxelles 24 или 29 октября 1927 года . Готье-Виллар.
  9. ^ фон Нейман, Дж. (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Спрингер.
  10. ^ Зеевинк, Михиль (2016). Крулл, Элиз; Баччагалуппи, Гвидо (ред.). Грета Германн - Между физикой и философией. Дордрехт: Springer Netherlands. стр. 107–117. doi :10.1007/978-94-024-0970-3_7. ISBN 978-94-024-0970-3.
  11. ^ Герман, Г.: Die naturphilosophischen Grundlagen der Quantenmechanik (Auszug). Abhandlungen der Fries'schen Schule 6, 75–152 (1935). Английский перевод: Глава 15 книги «Грете Герман — Между физикой и философией», Элиза Крулл и Гвидо Баччиагалуппи, ред., Springer, 2016, 239–278. [Том 42 исследований по истории и философии науки]
  12. ^ ab Bohm, D. (1952). "Предложенная интерпретация квантовой теории в терминах скрытых переменных, I". Physical Review . 85 (2): 166–179. Bibcode : 1952PhRv...85..166B. doi : 10.1103/PhysRev.85.166.
  13. ^ Бом, Д. (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах скрытых переменных, II». Physical Review . 85 (2): 180–193. Bibcode : 1952PhRv...85..180B. doi : 10.1103/PhysRev.85.180.
  14. ^ Белл, Дж. С. (1987). Выразимое и невыразимое в квантовой механике . Cambridge University Press. ISBN 978-0521334952.
  15. ^ Harris, Daniel M.; Bush, John WM (2013). "Пилотно-волновая динамика шагающих капель" (PDF) . Physics of Fluids . 25 (9): 091112–091112–2. Bibcode :2013PhFl...25i1112H. doi :10.1063/1.4820128. hdl : 1721.1/92913 . S2CID  120607553. Архивировано из оригинала (PDF) 27 ноября 2016 г. . Получено 27 ноября 2016 г. .
  16. ^ abc Bell, JS (1992). «Шесть возможных миров квантовой механики». Foundations of Physics . 22 (10): 1201–1215. Bibcode : 1992FoPh...22.1201B. doi : 10.1007/BF01889711. S2CID  119542806.
  17. ^ Вестман, Ганс (29 октября 2004 г.). Темы в основах квантовой теории и теории относительности (PhD). Гетеборгский университет. hdl :2077/16325.
  18. ^ Ив Кудер. Объясняет дуализм волны/частицы с помощью кремниевых капель [через червоточину], 2 августа 2011 г. , получено 26 августа 2023 г.
  19. ^ Couder, Yves; Fort, Emmanuel (2006). «Дифракция и интерференция отдельных частиц в макроскопическом масштабе». Physical Review Letters . 97 (15): 154101. Bibcode : 2006PhRvL..97o4101C. doi : 10.1103/PhysRevLett.97.154101. PMID  17155330.
  20. ^ Эдди, А.; Форт, Э.; Моиси, Ф.; Кудер, И. (2009). «Непредсказуемое туннелирование классической ассоциации волна-частица». Physical Review Letters . 102 (24): 240401. Bibcode : 2009PhRvL.102x0401E. doi : 10.1103/PhysRevLett.102.240401. PMID  19658983.
  21. ^ Форт, Э.; Эдди, А.; Будауд, А.; Мухтар, Дж.; Кудер, И. (2010). «Квантование классических орбит, вызванное памятью пути». PNAS . 107 (41): 17515–17520. arXiv : 1307.6051 . Bibcode :2010PNAS..10717515F. doi : 10.1073/pnas.1007386107 . PMC 2955113 . S2CID  53462533. 
  22. ^ Эдди, А.; Мухтар, Дж.; Перрард, С.; Форт, Э.; Кудер, И. (2012). «Расщепление уровней в макроскопическом масштабе». Physical Review Letters . 108 (26): 264503. Bibcode : 2012PhRvL.108z4503E. doi : 10.1103/PhysRevLett.108.264503. PMID  23004988.
  23. ^ Пуччи, Г. (2018). «Бегающие капли, взаимодействующие с одинарными и двойными щелями» (PDF) . Журнал механики жидкости . 835 (835): 1136–1156. Bibcode :2018JFM...835.1136P. doi :10.1017/jfm.2017.790. S2CID  37760205.
  24. ^ Андерсен, Андерс (2016). «Двухщелевой эксперимент с частицами, управляемыми одиночной волной, и его связь с квантовой механикой». Phys. Rev. E. 92 ( 1): 013006. doi :10.1103/PhysRevE.92.013006. PMID  26274269.
  25. ^ Вулховер, Натали (11 октября 2018 г.). «Знаменитый эксперимент обрекает альтернативу квантовой странности». Журнал Quanta .
  26. ^ Towler, M. (10 февраля 2009 г.). «Теория пилот-волны Де Бройля-Бома и основы квантовой механики». Кембриджский университет. Архивировано из оригинала 10 апреля 2016 г. Получено 3 июля 2014 г.
  27. ^ Николич, Х. (2004). «Траектории бомовских частиц в релятивистской бозонной квантовой теории поля». Foundations of Physics Letters . 17 (4): 363–380. arXiv : quant-ph/0208185 . Bibcode : 2004FoPhL..17..363N. CiteSeerX 10.1.1.253.838 . doi : 10.1023/B:FOPL.0000035670.31755.0a. S2CID  1927035.  
  28. ^ Николич, Х. (2005). «Траектории бомовских частиц в релятивистской фермионной квантовой теории поля». Foundations of Physics Letters . 18 (2): 123–138. arXiv : quant-ph/0302152 . Bibcode : 2005FoPhL..18..123N. doi : 10.1007/s10702-005-3957-3. S2CID  15304186.
  29. ^ Дюрр, Д.; Гольдштейн, С .; Мюнх-Берндль, К.; Занги, Н. (1999). «Модели гиперповерхности Бома–Дирака». Physical Review A. 60 ( 4): 2729–2736. arXiv : quant-ph/9801070 . Bibcode : 1999PhRvA..60.2729D. doi : 10.1103/physreva.60.2729. S2CID  52562586.
  30. ^ Дюрр, Детлеф; Голдштейн, Шелдон; Норсен, Трэвис; Струйве, Уорд; Занги, Нино (2014). «Можно ли сделать бомовскую механику релятивистской?». Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 470 (2162): 20130699. arXiv : 1307.1714 . Bibcode : 2013RSPSA.47030699D. doi : 10.1098/rspa.2013.0699. PMC 3896068. PMID  24511259 . 
  31. ^ Fabbri, Luca (2022). "формулировка полей Дирака де Бройля-Бома". Foundations of Physics . 52 (6): 116. arXiv : 2207.05755 . Bibcode : 2022FoPh...52..116F. doi : 10.1007/s10701-022-00641-2. S2CID  250491612.
  32. ^ Fabbri, Luca (2023). "Теория Дирака в гидродинамической форме". Основы физики . 53 (3): 54. arXiv : 2303.17461 . Bibcode : 2023FoPh...53...54F. doi : 10.1007/s10701-023-00695-w. S2CID  257833858.
  33. ^ Харди, Л. (1992). «О существовании пустых волн в квантовой теории». Physics Letters A. 167 ( 1): 11–16. Bibcode :1992PhLA..167...11H. doi :10.1016/0375-9601(92)90618-V.
  34. ^ ab Selleri, F.; Van der Merwe, A. (1990). Квантовые парадоксы и физическая реальность. Kluwer Academic Publishers. стр. 85–86. ISBN 978-0-7923-0253-7.
  35. ^ Жуковски, М. (1993).«О существовании пустых волн в квантовой теории»: комментарий. Physics Letters A. 175 ( 3–4): 257–258. Bibcode : 1993PhLA..175..257Z. doi : 10.1016/0375-9601(93)90837-P.
  36. ^ Zeh, HD (1999). «Почему квантовая теория Бома?». Foundations of Physics Letters . 12 (2): 197–200. arXiv : quant-ph/9812059 . Bibcode : 1999FoPhL..12..197Z. doi : 10.1023/A:1021669308832. S2CID  15405774.
  37. ^ Vaidman, L. (2005). «Реальность в бомовской квантовой механике или можно ли убить пустой волновой пулей?». Foundations of Physics . 35 (2): 299–312. arXiv : quant-ph/0312227 . Bibcode : 2005FoPh...35..299V. doi : 10.1007/s10701-004-1945-2. S2CID  18990771.
  • «Пилотные волны, бомовская метафизика и основы квантовой механики». Архивировано 10 апреля 2016 г. в Wayback Machine , курс лекций по теории пилотных волн Майка Таулера , Кембриджский университет (2009 г.).
  • «Бомовская механика» — статья Шелдона Голдштейна в Стэнфордской энциклопедии философии , осень 2021 г.
  • Демонстрации механики Бома Клауса фон Блоха в: Проект демонстраций Вольфрама
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pilot_wave_theory&oldid=1255751405"