Петри дуал

Многоугольник Петри додекаэдра — это косой десятиугольник . Если смотреть с оси симметрии тела 5-го порядка, то он выглядит как правильный десятиугольник. Каждая пара последовательных сторон принадлежит одному пятиугольнику (но ни одна тройка не принадлежит).

В топологической теории графов двойственный Петри вложенного графа ( на 2- многообразии со всеми гранями-дисками) — это другой вложенный граф, имеющий в качестве граней многоугольники Петри первого вложения. ^[1]

Двойственный Петри также называется Петриалом , а двойственный Петри вложенного графа может быть обозначен . ^[2] Его можно получить из знаковой системы вращения или представления вложения в виде ленточного графа путем скручивания каждого ребра вложения. $G$ $G^{\пи}$

Характеристики

Как и обычный дуальный граф , повторение операции Петри-дуального дважды возвращает к исходному поверхностному вложению. В отличие от обычного дуального графа (который является вложением в целом другого графа в ту же поверхность), Петри-дуальный является вложением того же графа в целом другую поверхность. ^[1]

Поверхностная двойственность и двойственность Петри являются двумя из шести операций Вильсона и вместе порождают группу этих операций. ^[3]

Правильные многогранники

Применение двойственного многогранника Петри к правильному многограннику даёт правильное отображение . ^[2] Число скошенных h -угольных граней равно g /2h , где g — порядок группы , а h — число Кокстера группы.

Например, двойственный Петри куба ( двудольный граф с восемью вершинами и двенадцатью ребрами, вложенный в сферу с шестью квадратными гранями) имеет четыре ^[4] шестиугольных грани, экваторы куба. Топологически он образует вложение того же графа в тор. ^[1]

Полученные таким образом регулярные карты выглядят следующим образом.

Петриальный тетраэдр , {3,3} ^$π$ , имеет 4 вершины, 6 ребер и 3 косоугольные грани. С эйлеровой характеристикой , χ , равной 1, он топологически идентичен полукубу , {4,3}/2.
Петриальный куб , {4,3} ^$π$ , имеет 8 вершин, 12 ребер и 4 косых шестиугольника, окрашенных здесь в красный, зеленый, синий и оранжевый цвета. С эйлеровой характеристикой 0 его также можно увидеть в четырех шестиугольных гранях шестиугольной мозаики как тип {6,3} _(2,0) .
Петриальный октаэдр , {3,4} ^$π$ , имеет 6 вершин, 12 ребер и 4 косые шестиугольные грани. Он имеет эйлерову характеристику −2 и имеет отображение в гиперболическую шестиугольную мозаику порядка 4 , как тип {6,4} ₃ .
Петриальный додекаэдр , {5,3} ^$π$ , имеет 20 вершин, 30 ребер и 6 косых десятиугольных граней, а также эйлерову характеристику −4, связанную с гиперболической мозаикой как тип {10,3} ₅ .
Петриальный икосаэдр , {3,5} ^$π$ , имеет 12 вершин, 30 ребер и 6 косых десятиугольных граней, а также эйлерову характеристику −12, связанную с гиперболической мозаикой как тип {10,5} ₃ .

Регулярные петриалы
Имя	Петриальный тетраэдр	Петриальный куб	Петриальный октаэдр	Петриальный додекаэдр	Петриальный икосаэдр
Символ	{3,3} ^$π$ , {4,3} ₃	{4,3} ^$π$ , {6,3} ₄	{3,4} ^$π$ , {6,4} ₃	{5,3} ^$π$ , {10,3}	{3,5} ^$π$ , {10,5}
(v,e,f), χ	(4,6,3), χ = 1	(8,12,4), χ = 0	(6,12,4), χ = −2	(20,30,6), χ = −4	(12,30,6), χ = −12
Лица	3 косых квадрата	4 косых шестиугольника		6 косых десятиугольников
Лица	3 косых квадрата
Изображение
Анимация
Связанные цифры	{4,3} ₃ = {4,3}/2 = {4,3} _(2,0)	{6,3} ₃ = {6,3} _(2,0)	{6,4} ₃ = {6,4} _(4,0)	{10,3} ₅	{10,5} ₃

Существуют также 4 петриала многогранников Кеплера–Пуансо :

Петриальный большой додекаэдр , {5,5/2} ^$π$ , имеет 12 вершин, 30 ребер и 10 косых шестиугольных граней с эйлеровой характеристикой , χ , равной -8.
Петриальный малый звездчатый додекаэдр , {5/2,5} ^$π$ , имеет 12 вершин, 30 ребер и 10 косых шестиугольных граней с χ, равным -8.
Петриальный большой икосаэдр , {3,5/2} ^$π$ , имеет 12 вершин, 30 ребер и 6 косых граней декаграммы с χ, равным -12.
Петриальный большой звездчатый додекаэдр , {5/2,3} ^$π$ , имеет 20 вершин, 30 ребер и 6 косых декаграммных граней с χ, равным -4.

Обычные звездчатые петриалы
Имя	Петриальный большой додекаэдр	Петриальный малый звездчатый додекаэдр	Петриальный большой икосаэдр	Петриальный большой звездчатый додекаэдр
Символ	{5,5/2} ^$π$ , {6,5/2}	{5/2,5} ^$π$ , {6,5}	{3,5/2} ^$π$ , {10/3,5/2}	{5/2,3} ^$π$ , {10/3,3}
(v,e,f), χ	(12,30,10), χ = -8	(12,30,10), χ = -8	(12,30,6), χ = -12	(20,30,6), χ = -4
Лица	10 косых шестиугольников		6 косых декаграмм (одна синяя декаграмма обведена)
Лица
Изображение
Анимация

Ссылки

^ abc Pisanski, Tomaž ; Randić, Milan (2000), «Мосты между геометрией и теорией графов», в Gorini, Catherine A. (ред.), Geometry at work , MAA Notes, т. 53, Вашингтон, округ Колумбия: Math. Assoc. America, стр. 174–194 , MR 1782654. См. в частности стр. 181.
^ ab МакМаллен, Питер; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники, Энциклопедия математики и ее приложений, т. 92, Cambridge University Press, стр. 192, ISBN 9780521814966
^ Джонс, GA; Торнтон, JS (1983), «Операции над отображениями и внешние автоморфизмы», Журнал комбинаторной теории , Серия B, 35 (2): 93–103 , doi : 10.1016/0095-8956(83)90065-5 , MR 0733017
^ Октаэдрическая симметрия имеет порядок 48, число Кокстера равно 6, 48/(2×6)=4

[pr-1] Pisanski, Tomaž ; Randić, Milan (2000), «Мосты между геометрией и теорией графов», в Gorini, Catherine A. (ред.), Geometry at work , MAA Notes, т. 53, Вашингтон, округ Колумбия: Math. Assoc. America, стр. 174–194 , MR 1782654. См. в частности стр. 181.

[arp-2] МакМаллен, Питер; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники, Энциклопедия математики и ее приложений, т. 92, Cambridge University Press, стр. 192, ISBN 9780521814966

[jt-3] Джонс, GA; Торнтон, JS (1983), «Операции над отображениями и внешние автоморфизмы», Журнал комбинаторной теории , Серия B, 35 (2): 93–103 , doi : 10.1016/0095-8956(83)90065-5 , MR 0733017

[4] Октаэдрическая симметрия имеет порядок 48, число Кокстера равно 6, 48/(2×6)=4