Теорема Петра–Дугласа–Неймана

Построение любого многоугольника, дающее правильный многоугольник с тем же числом сторон

В геометрии теорема Петра –Дугласа–Неймана (или теорема PDN ) является результатом, касающимся произвольных плоских многоугольников . Теорема утверждает, что определенная процедура , примененная к произвольному многоугольнику, всегда дает правильный многоугольник с тем же числом сторон, что и исходный многоугольник. Теорема была впервые опубликована Карелом Петром (1868–1950) из Праги в 1905 году (на чешском языке) ^[1] и в 1908 году (на немецком языке). ^[2]^[3] Она была независимо переоткрыта Джесси Дугласом (1897–1965) в 1940 году ^[4] , а также Б. Х. Нойманном (1909–2002) в 1941 году. ^[3]^[5] Название теоремы как теоремы Петра–Дугласа–Неймана или сокращенно как теоремы PDN принадлежит Стивену Б. Грею. ^[3] Ее также называют теоремой Дугласа , теоремой Дугласа–Неймана , теоремой Наполеона–Дугласа–Неймана и теоремой Петра . ^[3]

Теорема PDN является обобщением теоремы Наполеона , которая соответствует случаю треугольников , и теоремы ван Обеля , которая соответствует случаю четырехугольников .

Формулировка теоремы

Теорема Петра–Дугласа–Неймана утверждает следующее. ^[4]^[6]

Если равнобедренные треугольники с углами при вершине 2kπ/n для целого числа k с 1 ≤ k ≤ n − 2 возведены на сторонах произвольного n-угольника A ₀ , вершины которого являются вершинами нового n-угольника A ₁ , и если этот процесс повторяется n-2 раз, но с другим значением k для n-угольника, образованного из свободных вершин этих треугольников на каждом шаге, пока все значения 1 ≤ k ≤ n − 2 не будут использованы (в произвольном порядке) для формирования последовательности A ₁ , A ₂ , ... A _n-2 , n-угольников, то их центры тяжести совпадают с центрами тяжести A ₀ , а последний, A _n−2, является правильным n-угольником .

Специализация по треугольникам

Диаграмма, иллюстрирующая тот факт, что теорема Наполеона является частным случаем теоремы Петра–Дугласа–Неймана.

В случае треугольников значение n равно 3, а значение n − 2 равно 1. Следовательно, существует только одно возможное значение для k , а именно 1. Специализация теоремы на треугольники утверждает, что треугольник A ₁ является правильным 3-угольником, то есть равносторонним треугольником.

A ₁ образован вершинами равнобедренных треугольников с углом при вершине 2π/3, возведенных над сторонами треугольника A ₀ . Вершины A ₁ являются центрами равносторонних треугольников, возведенных над сторонами треугольника A ₀ . Таким образом, специализация теоремы PDN к треугольнику может быть сформулирована следующим образом:

Если над сторонами любого треугольника построены равносторонние треугольники, то треугольник, образованный центрами трех равносторонних треугольников, является равносторонним.

Последнее утверждение является утверждением теоремы Наполеона .

Специализация на четырехугольниках

В случае четырехугольников значение n равно 4, а значение n − 2 равно 2. Существует два возможных значения k , а именно 1 и 2, и, следовательно, два возможных угла при вершине, а именно:

(2×1×π)/4 = π/2 = 90° (соответствует k = 1)

(2×2×π)/4 = π = 180° (что соответствует k = 2).

Согласно PDN-теореме четырехугольник A ₂ является правильным 4-угольником, то есть квадратом . Двухэтапный процесс, дающий квадрат A _{2 ,} может быть осуществлен двумя различными способами. (Вершина Z равнобедренного треугольника с углом при вершине π, возведенного над отрезком XY , является серединой отрезка XY .)

Построить А₁используя угол при вершине π/2, а затем A₂с углом при вершине π.

В этом случае вершинами A ₁ являются свободные вершины равнобедренных треугольников с углами при вершине π/2, возведенных над сторонами четырехугольника A ₀ . Вершины четырехугольника A ₂ являются серединами сторон четырехугольника A ₁ . По теореме PDN A ₂ является квадратом.

Вершины четырехугольника A ₁ являются центрами квадратов, возведенных над сторонами четырехугольника A ₀ . Утверждение, что четырехугольник A ₂ является квадратом, эквивалентно утверждению, что диагонали A ₁ равны и перпендикулярны друг другу. Последнее утверждение составляет содержание теоремы ван Аубеля .

Таким образом, теорема ван Обеля является частным случаем PDN-теоремы.

Построить А₁используя угол при вершине π, а затем A₂с углом при вершине π/2.

В этом случае вершины A ₁ являются серединами сторон четырехугольника A ₀ , а вершины A ₂ являются вершинами треугольников с углами при вершине π/2 , возведенными над сторонами A ₁ . Теорема PDN утверждает, что A ₂ является квадратом и в этом случае.

Изображения, иллюстрирующие применение теоремы к четырехугольникам


Теорема Петра–Дугласа–Неймана, примененная к четырехугольнику A ₀ = ABCD . A ₁ = EFGH построен с использованием угла при вершине π/2 и A ₂ = PQRS с углом при вершине π.	Теорема Петра–Дугласа–Неймана, _{примененная} к четырехугольнику A0 = ABCD . A1 = EFGH построен с использованием угла при _{вершине} π и A2 ₌ PQRS с углом при вершине π/2.


Теорема Петра–Дугласа–Неймана, примененная к самопересекающемуся четырехугольнику A ₀ = ABCD . A ₁ = EFGH построен с использованием угла при вершине π/2 и A ₂ = PQRS с углом при вершине π.	Теорема Петра–Дугласа–Неймана, примененная к самопересекающемуся четырехугольнику A ₀ = ABCD . A ₁ = EFGH построен с использованием угла при вершине π и A ₂ = PQRS с углом при вершине π/2.


Диаграмма, иллюстрирующая тот факт, что теорема ван Обеля является частным случаем теоремы Петра–Дугласа–Неймана.

Специализация по пятиугольникам

В случае пятиугольников мы имеем n = 5 и n − 2 = 3. Таким образом, существует три возможных значения k , а именно 1, 2 и 3, и, следовательно, три возможных угла при вершине для равнобедренных треугольников:

(2×1×π)/5 = 2π/5 = 72°

(2×2×π)/5 = 4π/5 = 144°

(2×3×π)/5 = 6π/5 = 216°

Согласно PDN-теореме, A ₃ является правильным пятиугольником . Трехэтапный процесс, приводящий к построению правильного пятиугольника A _3, может быть выполнен шестью различными способами в зависимости от порядка, в котором выбираются углы при вершинах для построения равнобедренных треугольников.

Серийный номер	Угол при вершине в конструкции А ₁	Угол при вершине в конструкции А ₂	Угол при вершине в конструкции А ₃
1	72°	144°	216°
2	72°	216°	144°
3	144°	72°	216°
4	144°	216°	72°
5	216°	72°	144°
6	216°	144°	72°

Доказательство теоремы

Теорему можно доказать, используя некоторые элементарные понятия линейной алгебры. ^[3]^[7]

Доказательство начинается с кодирования n -угольника списком комплексных чисел, представляющих вершины n -угольника. Этот список можно рассматривать как вектор в n -мерном комплексном линейном пространстве C ⁿ . Возьмем n -угольник A и представим его комплексным вектором

А = ( а ₁ , а ₂ , ... , а _н ).

Пусть многоугольник B образован свободными вершинами подобных треугольников, построенных на сторонах A , и пусть он представлен комплексным вектором

В = ( б1 , б2 _, ... _,бn ₎ .

Тогда у нас есть

α( a _r − b _r ) = a _{r +1} − b _r , где α = exp( i θ ) для некоторого θ (здесь i — квадратный корень из −1).

Это дает следующее выражение для вычисления b _r :

б _р знак равно (1-α) ^-1 ( а _{р +1} - α а _р ).

В терминах линейного оператора S : C ⁿ → C ⁿ , который циклически переставляет координаты на одну позицию, имеем

B = (1−α) ⁻¹ ( S − α I ) A , где I — единичная матрица.

Это означает, что многоугольник A _j+1, полученный на j-м шаге, связан с предыдущим A _j соотношением

А _j+1 знак равно ( 1 - ω ^{σ _j} ) ^-1 ( S - ω ^{σ _j} я ) А _j ,

где ω = exp( 2π i / n ) — n- й первообразный корень из единицы, а σ _j — j-й член перестановки σ целочисленной последовательности (1,..., n-2) .

Последний многоугольник в последовательности, A _{n −2} , регулярность которого нам нужно показать, получается из A ₀ путем применения композиции всех следующих операторов:

( 1 − ω ^j ) ⁻¹ ( S − ω ^j I ) для j = 1, 2, ... , n − 2 .

(Эти множители коммутируют, поскольку все они являются полиномами одного и того же оператора S , поэтому порядок произведения не зависит от выбора перестановки σ .)

Многоугольник P = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) является правильным n -угольником, если каждая сторона P получается из следующей поворотом на угол 2π/ n , то есть если

п _{р + 1} − п _р = ω( п _{р + 2} − п _{р + 1} ).

Это условие можно сформулировать в терминах S следующим образом:

( S − I )( I − ω S ) P = 0.

Или эквивалентно как

( S − I )( S − ω ^{n − 1} I ) P = 0, так как ω ⁿ = 1.

Основной результат теоремы Петра–Дугласа–Неймана теперь следует из следующих вычислений.

( S − I )( S − ω ^{n − 1} I ) A _{n − 2}

знак равно ( S - я )( S - ω ^{п - 1} я ) ( 1 - ω ) ^-1 ( S - ω я ) ( 1 - ω ² ) ^-1 ( S - ω ² I ) ... ( 1 - ω ^{п - 2} ) ^-1 ( S - ω ^{п - 2} я ) А ₀

знак равно ( 1 - ω ) ^-1 ( 1 - ω ² ) ^-1 ... ( 1 - ω ^{п - 2} ) ^-1 ( S - я ) ( S - ω я ) ( S - ω ² я ) ... ( S - ω ^{п - 1} я ) А ₀

знак равно ( 1 - ω ) ^-1 ( 1 - ω ² ) ^-1 ... ( 1 - ω ^{п - 2} ) ^-1 ( S ^п - я ) А ₀

= 0, так как S ⁿ = I .

Чтобы показать, что все центроиды равны, заметим, что центроид c _A любого n-угольника получается путем усреднения всех вершин. Это означает, что, рассматривая A как n -компонентный вектор, его центроид задается путем взятия его скалярного произведения

с _А = (Е , А)

с вектором E:=(1/n) (1, 1, ..., 1) . Взяв скалярное произведение обеих частей уравнения

А _j+1 знак равно ( 1 - ω ^{σ _j} ) ^-1 ( S - ω ^{σ _j} я ) А _j ,

с E и учитывая, что E инвариантно относительно оператора циклической перестановки S , получаем

c _{A _j+1} знак равно (E, A _j+1 ) = ( 1 - ω ^{σ _j} ) ^-1 ( 1 - ω ^{σ _j} )(E, A _j ) = (E, A _j ) = c _{A _j} ,

поэтому все центроиды равны.

Ссылки

^ Петр, Карел (1905). «О одной теореме для многоугольников». Часопис про математику и физику (на чешском языке). 034 (2): 166–172 . doi : 10.21136/CPMF.1905.120936 . ISSN 1802-114X.
^ К. Петр (1908). «Эйн Сац убер Вилеке». Арх. Математика. Физ . 13 : 29–31 .
^ abcde Stephen B. Gray (2003). «Обобщение теоремы Петра–Дугласа–Неймана о n-угольниках» (PDF) . American Mathematical Monthly . 110 (3): 210– 227. CiteSeerX 10.1.1.605.2676 . doi :10.2307/3647935. JSTOR 3647935 . Получено 8 мая 2012 г. .
^ ab Дуглас, Джесси (1940). "О линейных преобразованиях многоугольников" (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 46 (6): 551– 561. doi : 10.1090/s0002-9904-1940-07259-3 . Получено 7 мая 2012 г. .
^ BH Neumann (1941). «Некоторые замечания о многоугольниках». Журнал Лондонского математического общества . s1-16 (4): 230– 245. doi :10.1112/jlms/s1-16.4.230.
^ Ван Ламоен, Флор; Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Петра–Неймана–Дугласа". Из MathWorld—A Wolfram Web Resource . Получено 8 мая 2012 г.
^ Омар Антолин Камарена. "Теорема Петра–Неймана–Дугласа через линейную алгебру" . Получено 10 января 2018 г.

Внешние ссылки

Харнад, Дж. (2024-05-27). "Теорема Петра-Дугласа-Неймана (теорема PDN)". YouTube .

Польстер, Буркард (09.06.2024). «Чудо Петра: почему оно было потеряно на 100 лет? (Мастер-класс математика)». YouTube . Получено 09.06.2024 .

[1] Петр, Карел (1905). «О одной теореме для многоугольников». Часопис про математику и физику (на чешском языке). 034 (2): 166–172 . doi : 10.21136/CPMF.1905.120936 . ISSN 1802-114X.

[2] К. Петр (1908). «Эйн Сац убер Вилеке». Арх. Математика. Физ . 13 : 29–31 .

[Gray-3] Stephen B. Gray (2003). «Обобщение теоремы Петра–Дугласа–Неймана о n-угольниках» (PDF) . American Mathematical Monthly . 110 (3): 210– 227. CiteSeerX 10.1.1.605.2676 . doi :10.2307/3647935. JSTOR 3647935 . Получено 8 мая 2012 г. .

[Douglas-4] Дуглас, Джесси (1940). "О линейных преобразованиях многоугольников" (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 46 (6): 551– 561. doi : 10.1090/s0002-9904-1940-07259-3 . Получено 7 мая 2012 г. .

[5] BH Neumann (1941). «Некоторые замечания о многоугольниках». Журнал Лондонского математического общества . s1-16 (4): 230– 245. doi :10.1112/jlms/s1-16.4.230.

[6] Ван Ламоен, Флор; Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Петра–Неймана–Дугласа". Из MathWorld—A Wolfram Web Resource . Получено 8 мая 2012 г.

[7] Омар Антолин Камарена. "Теорема Петра–Неймана–Дугласа через линейную алгебру" . Получено 10 января 2018 г.