Теорема Петре

В математике (линейная) теорема Петре, названная в честь Яака Петре , является результатом функционального анализа , который дает характеристику дифференциальных операторов с точки зрения их влияния на обобщенные функциональные пространства , и без упоминания дифференциации в явных терминах. Теорема Петре является примером теоремы конечного порядка, в которой функция или функтор , определенный очень общим образом, может быть фактически показан как полином из-за некоторого внешнего условия или симметрии, наложенной на него.

В этой статье рассматриваются две формы теоремы Питера. Первая — это оригинальная версия, которая, хотя и весьма полезна сама по себе, на самом деле слишком общая для большинства приложений.

Пусть M — гладкое многообразие , а E и F — два векторных расслоения на M. Пусть

${\displaystyle \Гамма ^{\infty }(E),\ {\hbox{и}}\ \Гамма ^{\infty }(F)}$

будут пространствами гладких сечений E и F. Оператор

${\displaystyle D:\Gamma ^{\infty }(E)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(F)}$

является морфизмом пучков , который линеен на сечениях, таких, что носитель D не возрастает : supp Ds ⊆ supp s для каждого гладкого сечения s из E . Исходная теорема Петре утверждает, что для каждой точки p в M существует окрестность U точки p и целое число k (зависящее от U ) такие, что D является дифференциальным оператором порядка k над U . Это означает, что D пропускается через линейное отображение i _D из k - струи сечений E в пространство гладких сечений F :

${\displaystyle D=i_{D} \circ j^{k}}$

где

${\displaystyle j^{k}:\Gamma ^{\infty }E\rightarrow J^{k}E}$

является оператором k -струи и

${\displaystyle i_{D}:J^{k}E\rightarrow F}$

является линейным отображением векторных расслоений.

Проблема инвариантна относительно локального диффеоморфизма, поэтому ее достаточно доказать, когда M — открытое множество в Rn ^, а E и F — тривиальные расслоения. На этом этапе она опирается в основном на две леммы:

• Лемма 1. Если выполнены условия теоремы, то для любых x ∈ M и C > 0 существует окрестность V точки x и положительное целое число k такие, что для любого y ∈ V \{ x } и для любого сечения s множества E , k -струя которого обращается в нуль в точке y ( j ^k s ( y )=0), имеем | Ds ( y )|<C.
• Лемма 2. Первой леммы достаточно для доказательства теоремы.

Начнем с доказательства леммы 1.

Предположим, что лемма ложна. Тогда существует последовательность x _k , стремящаяся к x , и последовательность очень непересекающихся шаров B _k вокруг x _k (что означает, что геодезическое расстояние между любыми двумя такими шарами не равно нулю), и сечения s _k множества E над каждым B _k такие, что j ^k s _k ( x _k )=0, но | Ds _k ( x _k )|≥C>0.

Пусть ρ( x ) обозначает стандартную функцию выпуклости для единичного шара в начале координат: гладкую вещественную функцию, равную 1 на B _1/2 (0), которая исчезает до бесконечности на границе единичного шара.

Рассмотрим каждую другую секцию s _2k . При x _2k они удовлетворяют

j ^2k s _2k ( x _2k )=0.

Предположим, что задано 2k . Тогда, поскольку эти функции гладкие и каждая удовлетворяет j ^2k ( s _2k )( x _2k )=0, можно указать меньший шар B′ _δ ( x _2k ) таким образом, что производные более высокого порядка подчиняются следующей оценке:

${\displaystyle \sum _{|\alpha |\leq k}\ \sup _{y\in B'_{\delta }(x_{2k})}|\nabla ^{\alpha }s_{k}(y)|\leq {\frac {1}{M_{k}}}\left({\frac {\delta }{2}}\right)^{k}}$

где

${\displaystyle M_{k}=\sum _{|\alpha |\leq k}\sup |\nabla ^{\alpha }\rho |.}$

Сейчас

${\displaystyle \rho _{2k}(y):=\rho \left({\frac {y-x_{2k}}{\delta }}\right)}$

является стандартной функцией выпуклости, поддерживаемой в B′ _δ ( x _2k ), а производная произведения s _2k ρ _2k ограничена таким образом, что

${\displaystyle \max _{|\alpha |\leq k}\ \sup _{y\in B'_{\delta }(x_{2k})}|\nabla ^{\alpha }(\rho _{ 2k}s_{2k})|\leq 2^{-k}.}$

В результате, поскольку следующий ряд и все частичные суммы его производных сходятся равномерно

${\displaystyle q(y)=\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{2k}(y)s_{2k}(y),}$

q ( ​​y ) — гладкая функция на всем V .

Теперь заметим, что поскольку s _2k и _2k s _2k равны в окрестности x _2k ,${\displaystyle \ро}$

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }|Dq(x_{2k})|\geq C}$

Итак, по непрерывности | Dq ( x )|≥ C>0. С другой стороны,

${\displaystyle \lim _ {k\rightarrow \infty } Dq (x_ {2k+1}) = 0}$

так как Dq ( x _2k+1 )=0, потому что q тождественно равен нулю в B _2k+1 , а D — невозрастающий носитель. Поэтому Dq ( x )=0. Это противоречие.

Теперь докажем лемму 2.

Сначала откажемся от константы C из первой леммы. Покажем, что при тех же предположениях, что и в лемме 1, |Ds(y)|=0. Выберем y в V \{ x } так, чтобы j ^k s (y)=0, но | Ds ( y )|= g >0. Масштабируем s с коэффициентом 2 C /g. Тогда, если g не равен нулю, по линейности D , | Ds ( y )|=2 C > C , что невозможно по лемме 1. Это доказывает теорему в проколотой окрестности V \{ x }.

Теперь мы должны продолжить дифференциальный оператор в центральную точку x в проколотой окрестности. D — линейный дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами. Более того, он переводит ростки гладких функций в ростки гладких функций также в точке x . Таким образом, коэффициенты D также гладкие в точке x .

Пусть M — компактное гладкое многообразие (возможно, с границей ), а E и F — конечномерные векторные расслоения на M. Пусть

${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)}$быть набором гладких сечений E. Оператор

${\displaystyle D:\Gamma ^{\infty }(E)\rightarrow \Gamma ^{\infty }(F)}$

является гладкой функцией ( многообразий Фреше ), которая линейна на слоях и сохраняет базовую точку на M :

${\displaystyle \pi \circ D_ {p} = p.}$

Теорема Peetre утверждает, что для каждого оператора D существует целое число k такое, что D является дифференциальным оператором порядка k . В частности, мы можем разложить

${\displaystyle D=i_{D} \circ j^{k}}$

где — отображение из струй сечений E в расслоение F. См. также внутренние дифференциальные операторы .${\displaystyle i_{D}}$

Рассмотрим следующий оператор:

${\displaystyle (Lf)(x_{0})=\lim _{r\to 0}{\frac {2d}{r^{2}}}{\frac {1}{|S_{r}|}}\int _{S_{r}}(f(x)-f(x_{0}))dx}$

где и — сфера с центром в точке с радиусом . Фактически это лапласиан. Мы покажем, покажем — дифференциальный оператор по теореме Петре. Основная идея заключается в том, что поскольку определяется только в терминах поведения вблизи , он локален по своей природе; в частности, если локально равен нулю, то и , и, следовательно, носитель не может расти.${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle S_{r}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle L}$${\displaystyle Lf(x_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Lf}$

Техническое доказательство выглядит следующим образом.

Пусть и и — тривиальные расслоения ранга . ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle 1}$

Тогда и являются просто пространством гладких функций на . Как пучок, является множеством гладких функций на открытом множестве , а ограничение является ограничением функции.${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)}$${\displaystyle \Gamma ^{\infty }(F)}$${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle U}$

Чтобы увидеть, действительно ли это морфизм, нам нужно проверить открытые множества и такие, что и . Это ясно, потому что для , и являются просто , так как в конечном итоге находится внутри обоих и в любом случае.${\displaystyle L}$${\displaystyle (Lu)|V=L(u|V)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V\subseteq U}$${\displaystyle u\in C^{\infty }(U)}$${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle [(Lu)|V](x)}$${\displaystyle [L(u|V)](x)}$${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {2d}{r^{2}}}{\frac {1}{|S_{r}|}}\int _{S_{r}}(u(y)-u(x))dy}$${\displaystyle S_{r}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

Легко проверить, что это линейно: ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L(f+g)=L(f)+L(g)}$и${\displaystyle L(af)=aL(f)}$

Наконец, мы проверяем, что локально в том смысле, что . Если , то такое, что в шаре радиуса с центром в . Таким образом, для ,${\displaystyle L}$${\displaystyle suppLf\subseteq suppf}$${\displaystyle x_{0}\notin supp(f)}$${\displaystyle \exists r>0}$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x\in B(x_{0},r)}$

${\displaystyle \int _{S_{r'}}(f(y)-f(x))dy=0}$

для , и, следовательно , . Следовательно, .${\displaystyle r'<r-|x-x_{0}|}$${\displaystyle (Lf)(x)=0}$${\displaystyle x_{0}\notin suppLf}$

Итак, по теореме Петре, является дифференциальным оператором.${\displaystyle L}$

• Питер Дж., Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels, Math. Скан. 7 (1959), 211–218.
• Питер Дж. Исправление в статье Une caractérisation abstraite des opérateurs différentiels , Math. Скан. 8 (1960), 116–120.
• Тернг, CL , Естественные векторные расслоения и естественные дифференциальные операторы , Am. J. Math. 100 (1978), 775-828.