Упорядоченный экспоненциальный

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Упорядоченная экспоненциальная» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Упорядоченная экспонента , также называемая упорядоченной по пути экспонентой , — это математическая операция, определенная в некоммутативных алгебрах , эквивалентная экспоненте интеграла в коммутативных алгебрах . На практике упорядоченная экспонента используется в матричных и операторных алгебрах. Это своего рода интеграл произведения , или интеграл Вольтерра.

Пусть A — алгебра над полем K , а a ( t ) — элемент A , параметризованный действительными числами,

${\displaystyle a:\mathbb {R} \to A.}$

Параметр t в a ( t ) в этом контексте часто называют параметром времени .

Упорядоченная экспонента a обозначается

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {OE} [a](t)\equiv {\mathcal {T}}\left\{e^{\int _{0}^{t}a(t')\,dt'}\right\}&\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{t}dt'_{1}\cdots \int _{0}^{t}dt'_{n}\;{\mathcal {T}}\left\{a(t'_{1})\cdots a(t'_{n})\right\}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{t}dt'_{1}\int _{0}^{t'_{1}}dt'_{2}\int _{0}^{t'_{2}}dt'_{3}\cdots \int _{0}^{t'_{n-1}}dt'_{n}\;a(t'_{n})\cdots a(t'_{1})\end{aligned}}}$

где член n = 0 равен 1 и где — оператор упорядочения по времени . Это операция высшего порядка, которая гарантирует, что экспонента упорядочена по времени, так что любое произведение a ( t ) , которое встречается в разложении экспоненты, упорядочено таким образом, что значение t увеличивается справа налево от произведения. Например:${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{a(1.2)a(9.5)a(4.1)\right\}=a(9.5)a(4.1)a(1.2).}$

Упорядочение по времени необходимо, поскольку произведения в алгебре не обязательно коммутативны.

Операция отображает параметризованный элемент на другой параметризованный элемент или, выражаясь символически,

${\displaystyle \operatorname {OE} \mathrel {:} (\mathbb {R} \to A)\to (\mathbb {R} \to A).}$

Существуют различные способы более строгого определения этого интеграла.

Упорядоченную экспоненту можно определить как левый интеграл произведения бесконечно малых экспонент или, что эквивалентно, как упорядоченное произведение экспонент в пределе , когда число членов возрастает до бесконечности:

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=\prod _{0}^{t}e^{a(t')\,dt'}\equiv \lim _{N\to \infty }\left(e^{a(t_{N})\,\Delta t}e^{a(t_{N-1})\,\Delta t}\cdots e^{a(t_{1})\,\Delta t}e^{a(t_{0})\,\Delta t}\right)}$

где моменты времени { t ₀ , ..., t _N } определяются как t _i ≡ i Δ t для i = 0, ..., N и Δ t ≡ t / N .

Упорядоченная экспонента на самом деле является геометрическим интегралом ^{[ сломанный якорь ]} . ^{[1] [2] [3]}

Упорядоченная экспонента является единственным решением задачи начального значения :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\operatorname {OE} [a](t)&=a(t)\operatorname {OE} [a](t),\\[5pt]\operatorname {OE} [a](0)&=1.\end{aligned}}}$

Упорядоченная экспонента является решением интегрального уравнения :

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t')\operatorname {OE} [a](t')\,dt'.}$

Это уравнение эквивалентно предыдущей задаче начального значения.

Упорядоченную экспоненту можно определить как бесконечную сумму,

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t_{1})\,dt_{1}+\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\;a(t_{1})a(t_{2})+\cdots .}$

Это можно получить путем рекурсивной подстановки интегрального уравнения в само себя.

Дано многообразие , где для с групповым преобразованием выполняется в точке :${\displaystyle M}$${\displaystyle e\in TM}$${\displaystyle g:e\mapsto ge}$${\displaystyle x\in M}$

${\displaystyle de(x)+\operatorname {J} (x)e(x)=0.}$

Здесь обозначает внешнее дифференцирование и является оператором связи (поле 1-формы), действующим на . При интегрировании вышеприведенного уравнения выполняется (теперь является оператором связи, выраженным в координатном базисе)${\displaystyle d}$${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$${\displaystyle e(x)}$${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$

${\displaystyle e(y)=\operatorname {P} \exp \left(-\int _{x}^{y}J(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right)e(x)}$

с оператором упорядочения пути , который упорядочивает факторы в порядке пути . Для особого случая, который является антисимметричным оператором и представляет собой бесконечно малый прямоугольник с длинами сторон и углами в точках выше, выражение упрощается следующим образом:${\displaystyle \operatorname {P} }$${\displaystyle \gamma (t)\in M}$${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle |u|,|v|}$${\displaystyle x,x+u,x+u+v,x+v,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]e(x)\\[5pt]={}&\exp[-\operatorname {J} (x+v)(-v)]\exp[-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)]\exp[-\operatorname {J} (x+u)v]\exp[-\operatorname {J} (x)u]e(x)\\[5pt]={}&[1-\operatorname {J} (x+v)(-v)][1-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)][1-\operatorname {J} (x+u)v][1-\operatorname {J} (x)u]e(x).\end{aligned}}}$

Следовательно, она имеет тождество группового преобразования . Если — гладкая связь, то, расширяя указанную величину до второго порядка по бесконечно малым величинам, получаем для упорядоченной экспоненты тождество с поправочным членом, пропорциональным тензору кривизны .${\displaystyle \operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]\mapsto g\operatorname {OE} [\operatorname {J} ]g^{-1}}$${\displaystyle -\operatorname {J} (x)}$${\displaystyle |u|,|v|}$

• Упорядочение путей (по сути та же концепция)
• Расширение Магнуса
• Интеграл продукта
• мера Хаара
• Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях
• Неопределенный продукт
• Фрактальная производная

• Сайт неньютоновского исчисления