Интеграл продукта

Интеграл произведения — это любой аналог обычного интеграла исчисления , основанный на произведении . Интеграл произведения был разработан математиком Вито Вольтеррой в 1887 году для решения систем линейных дифференциальных уравнений . ^{[1] [2]}

Классический интеграл Римана от функции можно определить соотношением${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\Delta x\to 0}\sum f(x_{i})\,\Delta x,}$

где предел берется по всем разделам интервала , нормы которых стремятся к нулю. Интегралы произведений подобны, но берут предел произведения вместо предела суммы . Их можно рассматривать как « непрерывные » версии « дискретных » произведений . Они определяются как${\displaystyle [а,б]}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {\big (}1+f(x_{i})\,\Delta x{\big )}.}$

Для случая , интеграл произведения сводится в точности к случаю интегрирования Лебега , то есть к классическому исчислению. Таким образом, интересные случаи возникают для функций, где есть либо некоторая коммутативная алгебра , такая как конечномерное матричное поле , либо если есть некоммутативная алгебра . Теории для этих двух случаев, коммутативного и некоммутативного, имеют мало общего. Некоммутативный случай гораздо сложнее; он требует надлежащего упорядочения путей, чтобы сделать интеграл хорошо определенным.${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f:[a,b]\to A}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$

Для коммутативного случая в литературе распространены три различных определения, называемые Тип I, Тип II или геометрический и Тип III или бигеометрический . ^{[3] [4] [5]} Такие интегралы нашли применение в эпидемиологии ( оценка Каплана–Майера ) и стохастической популяционной динамике . Геометрический интеграл вместе с геометрической производной полезен в анализе изображений ^[6] и в изучении явлений роста/распада ( например , в экономическом росте , бактериальном росте и радиоактивном распаде ). ^{[7] [8]} Бигеометрический интеграл вместе с бигеометрической производной полезен в некоторых приложениях фракталов , [ ^{9] [10] [11] [12]} и в теории эластичности в экономике. ^{[3] [5] [13]}

Некоммутативный случай обычно возникает в квантовой механике и квантовой теории поля . Подынтегральное выражение обычно является оператором, принадлежащим некоторой некоммутативной алгебре . В этом случае необходимо быть осторожным, чтобы установить порядок путей при интегрировании. Типичным результатом является упорядоченная экспонента . Разложение Магнуса предоставляет один из методов вычисления интеграла Вольтерры. Примерами являются разложение Дайсона , интегралы, которые возникают в разложении произведения операторов , и линия Вильсона , интеграл произведения по калибровочному полю. Петля Вильсона является следом линии Вильсона. Интеграл произведения также встречается в теории управления , как ряд Пеано–Бейкера, описывающий переходы состояний в линейных системах, записанных в форме типа основного уравнения .

Интеграл произведения Вольтерры наиболее полезен при применении к матричнозначным функциям или функциям со значениями в банаховой алгебре . При применении к скалярам, ​​принадлежащим некоммутативному полю, матрицам и операторам, т. е. к математическим объектам, которые не коммутируют, интеграл Вольтерры распадается на два определения. ^[14]

Левый интеграл произведения равен

${\displaystyle P(A,D)=\prod _{i=m}^{1}(\mathbb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i})=(\mathbb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m})\cdots (\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1})}$

При такой записи левых произведений (т.е. нормальных произведений, примененных слева)

${\displaystyle \prod _{a}^{b}(\mathbb {1} +A(t)dt)=\lim _{\max \Delta t_{i}\to 0}P(A,D)}$

Правильный интеграл произведения

${\displaystyle P(A,D)^{*}=\prod _{i=1}^{m}(\mathbb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i})=(\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1})\cdots (\mathbb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m})}$

С этой нотацией правильных произведений (т.е. примененных справа)

${\displaystyle (\mathbb {1} +A(t)dt)\prod _{a}^{b}=\lim _{\max \Delta t_{i}\to 0}P(A,D)^{*}}$

Где — единичная матрица, а D — разбиение интервала [a,b] в смысле Римана, т.е. предел находится по максимальному интервалу в разбиении. Обратите внимание, как в этом случае упорядочение по времени становится очевидным в определениях.${\displaystyle \mathbb {1} }$

Расширение Магнуса обеспечивает метод вычисления интеграла произведения. Оно определяет непрерывную версию формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа .

Интеграл произведения удовлетворяет набору свойств, определяющих однопараметрическую непрерывную группу ; они изложены в двух статьях, демонстрирующих приложения: ряд Дайсона и ряд Пеано–Бейкера .

Коммутативный случай намного проще, и, как следствие, появилось большое разнообразие различных обозначений и определений. В литературе популярны три различных стиля. В этом подразделе принята нотация произведения для интегрирования произведения вместо интеграла (обычно модифицированного наложенным символом времени или буквой P), предпочитаемого Вольтеррой и другими. Принята произвольная классификация типов для наведения некоторого порядка в этой области.${\displaystyle \textstyle \prod}$${\displaystyle \textstyle \int }$

Когда интегрируемая функция выражена в действительных числах, то теория сводится в точности к теории интегрирования Лебега .

Интеграл произведения типа I соответствует оригинальному определению Вольтерры. [ ^{2] [15] [16] Для} скалярных функций существует следующее соотношение :${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}=\exp \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right),}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}f(x)^{dx}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})^{\Delta x}}=\exp \left(\int _{a}^{b}\ln f(x)\,dx\right),}$

который называется геометрическим интегралом . Логарифм хорошо определен, если f принимает значения в действительных или комплексных числах, или если f принимает значения в коммутативном поле коммутирующих операторов следового класса . Это определение интеграла произведения является непрерывным аналогом дискретного оператора произведения (с ) и мультипликативным аналогом (нормального/стандартного/ аддитивного ) интеграла (с ): ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=a}^{b}}$${\displaystyle i,a,b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}dx}$${\displaystyle x\in [a,b]}$

	добавка	мультипликативный
дискретный	${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}f(i)}$	${\displaystyle \prod _{i=a}^{b}f(i)}$
непрерывный	${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$	${\displaystyle \prod _{a}^{b}f(x)^{dx}}$

Это очень полезно в стохастике , где логарифм правдоподобия (т.е. логарифм интеграла произведения независимых случайных величин ) равен интегралу логарифма этих ( бесконечно малого числа) случайных величин :

${\displaystyle \ln \prod _{a}^{b}p(x)^{dx}=\int _{a}^{b}\ln p(x)\,dx.}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}f(x)^{d(\ln x)}=\exp \left(\int _{\ln(a)}^{\ln(b)}\ln f(e^{x})\,dx\right),}$

Интеграл произведения типа III называется бигеометрическим интегралом .

Для коммутативного случая справедливы следующие результаты для интеграла произведения типа II (геометрического интеграла).

${\displaystyle \prod _{a}^{b}c^{dx}=c^{b-a},}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}x^{dx}={\frac {b^{b}}{a^{a}}}{\rm {e}}^{a-b},}$

${\displaystyle \prod _{0}^{b}x^{dx}=b^{b}{\rm {e}}^{-b},}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}\left(f(x)^{k}\right)^{dx}=\left(\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}\right)^{k},}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}\left(c^{f(x)}\right)^{dx}=c^{\int _{a}^{b}f(x)\,dx},}$

Геометрический интеграл (тип II выше) играет центральную роль в геометрическом исчислении , ^{[3] [4] [17],} которое является мультипликативным исчислением. Обратный геометрическому интегралу, который является геометрической производной , обозначаемой , определяется с помощью следующего соотношения:${\displaystyle f^{*}(x)}$

${\displaystyle f^{*}(x)=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}$

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

Основная теорема

${\displaystyle \prod _{a}^{b}f^{*}(x)^{dx}=\prod _{a}^{b}\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx\right)={\frac {f(b)}{f(a)}},}$

Правило продукта

${\displaystyle (fg)^{*}=f^{*}g^{*}.}$

Правило частного

${\displaystyle (f/g)^{*}=f^{*}/g^{*}.}$

Закон больших чисел

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{X_{1}X_{2}\cdots X_{n}}}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\prod _{x}X^{dF(x)},}$

где X — случайная величина с распределением вероятностей F ( x ).

Сравните со стандартным законом больших чисел :

${\displaystyle {\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\int X\,dF(x).}$

Когда подынтегральное выражение принимает значения в действительных числах , то интервалы произведений становятся простыми для работы с использованием простых функций . Так же, как в случае версии Лебега (классических) интегралов , можно вычислить интегралы произведений, аппроксимируя их интегралами произведений простых функций . Случай геометрических интегралов типа II сводится в точности к случаю классического интегрирования Лебега.

Поскольку простые функции обобщают ступенчатые функции , в дальнейшем мы будем рассматривать только частный случай простых функций, которые являются ступенчатыми функциями. Это также облегчит сравнение определения Лебега с определением Римана .

Дана ступенчатая функция с помеченным разделом${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b,\quad x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1},x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2},\dots ,x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n},}$

Одно приближение «определения Римана» интеграла произведения типа I дается формулой ^[18]

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left[{\big (}1+f(t_{k}){\big )}\cdot (x_{k}-x_{k-1})\right].}$

Интеграл произведения (типа I) был определен как, грубо говоря, предел этих произведений Людвигом Шлезингером в статье 1931 года. ^{[ которая? ]}

Другое приближение «определения Римана» интеграла произведения типа I определяется как

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\exp {\big (}f(t_{k})\cdot (x_{k}-x_{k-1}){\big )}.}$

Когда — постоянная функция , предел первого типа приближения равен второму типу приближения. ^[19] Обратите внимание, что в общем случае для ступенчатой ​​функции значение второго типа приближения не зависит от разбиения, пока разбиение является уточнением разбиения , определяющего ступенчатую функцию, тогда как значение первого типа приближения зависит от точности разбиения, даже когда оно является уточнением разбиения, определяющего ступенчатую функцию.${\displaystyle f}$

Оказывается, что ^[20] для любой функции, интегрируемой по произведению , предел первого типа приближения равен пределу второго типа приближения. Поскольку для ступенчатых функций значение второго типа приближения не зависит от тонкости разбиения для разбиений «достаточно тонких», имеет смысл определить ^[21] «интеграл произведения Лебега (типа I)» ступенчатой ​​функции как${\displaystyle f}$

${\displaystyle \prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{k=1}^{n}\exp {\big (}f(s_{k})\cdot (y_{k}-y_{k-1}){\big )},}$

где — помеченное разбиение, соответствующее ступенчатой ​​функции . (В отличие от этого, соответствующая величина не будет однозначно определена с использованием первого типа приближения.)${\displaystyle y_{0}<a=s_{1}<y_{1}<\dots <y_{n-1}<s_{n}<y_{n}=b}$${\displaystyle f}$

Это легко обобщается на произвольные мерные пространства . Если — мерное пространство с мерой , то для любой интегрируемой по произведению простой функции (т.е. конической комбинации индикаторных функций для некоторых непересекающихся измеримых множеств ), ее интеграл произведения типа I определяется как${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)}$${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\subseteq X}$

${\displaystyle \prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{k=1}^{n}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\big )},}$

так как — значение в любой точке . В частном случае, когда , — мера Лебега , а все измеримые множества — интервалы , можно проверить, что это равно определению, данному выше для этого частного случая. Аналогично теории интегралов Лебега (классических) , интеграл произведения типа I любой интегрируемой по произведению функции может быть записан как предел возрастающей последовательности интегралов произведения Вольтерра простых интегрируемых по произведению функций.${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A_{k}}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A_{k}}$${\displaystyle f}$

Взяв логарифмы обеих частей приведенного выше определения, получаем, что для любой простой функции, интегрируемой по произведению :${\displaystyle f}$

${\displaystyle \ln \left(\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\right)=\ln \left(\prod _{k=1}^{n}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\big )}\right)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k})=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\iff }$

${\displaystyle \prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right),}$

где мы использовали определение интеграла для простых функций. Более того, поскольку непрерывные функции типа можно заменить пределами, а интеграл произведения любой интегрируемой по произведению функции равен пределу интегралов произведения простых функций, то отсюда следует, что соотношение${\displaystyle \exp }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)}$

справедливо в общем случае для любого интегрируемого произведения . Это явно обобщает свойство, упомянутое выше.${\displaystyle f}$

Интеграл типа I является мультипликативным как функция множества , ^[22] , что можно показать, используя указанное выше свойство. Более конкретно, если задана функция, интегрируемая произведением, можно определить функцию множества , определив для каждого измеримого множества ,${\displaystyle f}$${\displaystyle {\cal {V}}_{f}}$${\displaystyle B\subseteq X}$

${\displaystyle {\cal {V}}_{f}(B){\overset {def}{=}}\prod _{B}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{X}{\big (}1+(f\cdot I_{B})(x)\,d\mu (x){\big )},}$

где обозначает индикаторную функцию . Тогда для любых двух непересекающихся измеримых множеств имеем${\displaystyle I_{B}(x)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B_{1},B_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {V}}_{f}(B_{1}\sqcup B_{2})&=\prod _{B_{1}\sqcup B_{2}}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\\&=\exp \left(\int _{B_{1}\sqcup B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)+\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)\right)\exp \left(\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\prod _{B_{1}}(1+f(x)d\mu (x))\prod _{B_{2}}(1+f(x)\,d\mu (x))\\&={\cal {V}}_{f}(B_{1}){\cal {V}}_{f}(B_{2}).\end{aligned}}}$

Это свойство можно противопоставить мерам, которые являются сигма-аддитивными функциями множеств .

Однако интеграл типа I не является мультипликативным как функционал . При наличии двух функций, интегрируемых по произведению , и измеримого множества , обычно имеет место, что${\displaystyle f,g}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \prod _{A}{\big (}1+(fg)(x)\,d\mu (x){\big )}\neq \prod _{A}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\prod _{A}{\big (}1+g(x)\,d\mu (x){\big )}.}$

Если — мерное пространство с мерой , то для любой интегрируемой по произведению простой функции (т.е. конической комбинации индикаторных функций для некоторых непересекающихся измеримых множеств ) ее интеграл произведения типа II определяется как${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)}$${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\subseteq X}$

${\displaystyle \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}{\overset {def}{=}}\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{\mu (A_{k})}.}$

Это можно рассматривать как обобщение определения, данного выше.

Взяв логарифмы обеих частей, мы видим, что для любой простой функции, интегрируемой по произведению :${\displaystyle f}$

${\displaystyle \ln \left(\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}\right)=\sum _{k=1}^{n}\ln(a_{k})\mu (A_{k})=\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\iff \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right),}$

где было использовано определение интеграла Лебега для простых функций. Это наблюдение, аналогичное уже сделанному выше для интегралов типа II, позволяет полностью свести «теорию Лебега геометрических интегралов типа II» к теории Лебега (классических) интегралов. Другими словами, поскольку непрерывные функции типа и можно поменять местами с пределами, а интеграл произведения любой интегрируемой по произведению функции равен пределу некоторой возрастающей последовательности интегралов произведения простых функций, то отсюда следует, что соотношение${\displaystyle \exp }$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right)}$

выполняется в общем случае для любого интегрируемого произведения . Это обобщает свойство геометрических интегралов, упомянутое выше.${\displaystyle f}$

• мера Хаара
• итерация Пикара
• Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях
• Неопределенный продукт
• Логарифмическая производная
• Упорядоченный экспоненциальный
• Фрактальная производная

• Сайт неньютоновского исчисления
• Ричард Гилл, Интеграция продуктов
• Ричард Гилл, символ интегрального продукта
• Дэвид Манура, «Исчисление продукта»
• Тайлер Нейлон, Легкие границы для n!
• Введение в многочленное (произведение) и бесхребетное исчисление
• Заметки об уравнении Лакса
• Антонин Славик, Введение в интеграцию продуктов
• Антонин Славик, Интеграция продуктов Henstock-Kurzweil и McShane